2025年中考数学三轮复习之代数式

2025年中考数学三轮复习之代数式

选择题（共10小题）

1.（2025•南岗区模拟）如图，用★摆出下列一组图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要★（）

个.

☆

☆.

☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆

第1个图形第2个图形第3个图形

A.13B.14C.15D.16

2.（2025•潮阳区一模）如图所示，将形状和大小完全相同的“丫按一定规律摆成下列图形.第1幅图中

v的个数为3,第2幅图中“，的个数为8,第3幅图中“丫的个数为15,…，以此类推，第7幅图

中的个数为（）

3.（2025•重庆模拟）下列图形都是由同样大小的圆圈按一定规律组成，如图①中共有3个圆圈，图②中

共有8个圆圈，图③中共有15个国图，图④中共有24个圆圈，■,按此规律排列，则图⑩中圆圈的个

数为多少（）

OOOOOOO

oOOOOOOOOOOO

oOOoOOOOOOOOO

oOOOO

oOOOOOOO

OOOOO

①②④

A.120B.99C.143D.121

4.（2025•徐州模拟）有依次排列的3个数：6,2,8,对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，

所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：6,-4,2,6,8,这称为第一次操作；做第二次同

样的操作后也可产生一个新数串：6,-10,-4,6,2,4,6,2,8,继续依次操作下去，问：从数串

6,2,8开始操作第2023次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（）

A.4056B.4058C.4060D.4062

5.（2025•重庆模拟）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律连线组成的，其中第①个图形一共

有4个实心圆点，第②个图形一共有7个实心圆点，第③个图形一共有10个实心圆点，…，按此规律

排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（）

A.16

（2025•沈阳模拟）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+2201°的值.

解：设5=1+2+22+23+24+…+22010①,

将等式两边同时乘2得：25=2+22+23+24+--•+22010+22011@,

②-①得得2S-S=22011-1,BPS="=二】=22。11—i.

Z—1

请你仿照此法求1+3+32+33+34+-+32024的值为（）

7.（2025•重庆模拟）由""22）个正整数组成的一列数，记为xi,尤2,X3,…%，任意改变它们的顺序后

记作yi,y2,yy-yn,若（尤i+yi）（彳2+y2）（无3+y3）…（尤”+»）,下列说法中正确的个数是（）

①若尤1=2,X2=4,无3=6…%=2"，则M■一定为偶数；

②当"=3时，若xi,X2,冷为三个连续整数，则M一定为偶数；

③若M为偶数，则〃一定为奇数；

④若M为奇数，则w一定为偶数；

A.4B.3C.2D.1

8.（2025•广东校级模拟）如图是一个俄罗斯方块游戏，将正整数1至2024按一定规律排列如图表.通过

按键操作平移或90°旋转图表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）

12345678

910111213141516

1718192021222324

2526272829303132

・・・

A.2021B.2022C.2023D.2024

9.（2025•濂溪区校级模拟）如图，下列图案均由相同的小正方形组成，第1个图案由2个小正方形组成,

第2个图案由4个小正方形组成……依此规律，第25个图案由m个小正方形组成，则m的值为（）

第1个第2个第3个第4个

A.25B.48C.50D.52

10.（2025•丛台区校级一模）已知式子尤-3y的值是3,则式子1-3x+9y的值是（）

A.-8B.-6C.6D.8

二.填空题（共5小题）

11.（2025•秦都区校级模拟）某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一

定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行

的总路程是米.

12.（2025•赛罕区校级模拟）若x+y=3,孙=2,贝Ux-y+町2的值是.

13.（2025•沈丘县校级一模）请写出"c的一个同类项：

14.（2025•望城区一模）在1、3两个数之间写上两个数之和4,看作第一次操作；再在1、4、3每相邻两

157

个数之间写上两个数之和的力得到二和二两个数，看作第二次操作；第3次操作就在第二次操作基础上，

222

1

每相邻两个数之间写上这两个数之和的-第4次操作就在第三次操作基础上，每相邻两个数之间写上

1

这两个数之和的一；经过4次操作后所有数的和是

4

15.（2025•汇川区一模）数学知识广泛应用于化学领域，是研究化学的重要工具.比如在学习化学式时,

甲烷化学式为CH4,乙烷化学式为C246,丙烷化学式为C3”8,按此规律，当碳原子的数目为w（"为

正整数）时，氢原子的数目是.

三.解答题（共5小题）

16.（2025•蠡县一模）自从有了用字母表示数，我们就可以表达、研究具有更普遍意义的数量关系，有助

于我们发现一些有趣的结论，并能解释其中的道理.根据下列步骤来完成一个有趣的题吧！

第一步：从2到9中选一个喜欢的自然数；

第二步：用这个数乘3,再减去1；

第三步：将第二步的结果乘-4,再加上7；

第四步：将第三步的结果加上你选择的数.

(1)若选的自然数为3,求按以上步骤操作所得的数；

(2)小明发现按以上步骤操作后所得的数始终能被n整除，设选择的自然数为X,请论证小明的发现

正确.

17.(2025•全椒县一模)观察下列各式的规律.

532

第1个等式：一+1+1=一，

22

742

第2个等式：一+2+1=一

33

952

第3个等式：一+3+1=一；

44

(1)根据上述规律，直接写出第4个等式：.

(2)猜想满足上述规律的第〃个等式，并证明其成立.

18.(2025•金安区校级一模)将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形(如图所示)，

记为第一次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每

次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去.

第1次操作第2次操作

(1)如果剪w次共能得到个等边三角形，

(2)若原等边三角形的边长为1,设所表示第”次所剪出的小等边三角形的边长，如。1=和

①试用含n的式子表示an=;

②计算ai+a2+ai+...+an—；

111111111

(3)运用(2)的结论，计算-+-+—+—+―+―+——+——+---的值.

3612244896192384768

19.(2025•阜平县校级一模)如图，正方形A8CD的边长为a,点E在AB边上，四边形EFG8也是正方

形，它的边长为6(a>b),连结AF、CF、AC.

(1)用含a,b的代数式表示△AFC的面积Si；

(2)△AEF的面积为S2,△FGC的面积为S3,当CG=6,AE=2时，求2S1-(S3-8)的值.

20.（2025•石家庄一模）聪聪计算机课上利用软件编写了相关联的程序A和'如图，在程序A中△处输

入一个正整数，则程序自动在口处填补出一个比△处大1的数字并显示计算结果，同时程序3会复制

11

程序A中相应位置的数值完成程序3的计算并显示计算结果.例:△处输入1,则程序A完成运算「=

1X22

111

程序B完成运算二—-=

122

探究：若△处输入数字2,则程序A的结果为,程序B的结果

为;若△处输入数字5,则程序A的结果为,程序5的

11

结果为；若△处输入数字100,设程序A的结果为〃，则〃-填

应用：请利用“探究”中发现的结论证明，------+------------=-------

n（n+l）（7i+l）（7i+2）7i（7i+2）

程序B

2025年中考数学三轮复习之代数式

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案DDADBABBCA

选择题（共10小题）

1.（2025•南岗区模拟）如图，用★摆出下列一组图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要★（

个.

☆

☆☆

☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆

第1个图形第2个图形第3个图形

A.13B.14C.15D.16

【考点】规律型：图形的变化类.

【专题】猜想归纳；推理能力.

【答案】D

【分析】根据所给图形，依次求出图形中★的个数，发现规律即可解决问题.

【解答】解：由所给图形可知，

第1个图形中★的个数为：4=1X3+1；

第2个图形中★的个数为：7=2义3+1；

第3个图形中★的个数为：10=3X3+1；

•••，

所以第〃个图形中★的个数为（3〃+1）个.

当n=5时，

3/7+1=3X5+1=16（个），

即第5个图形中★的个数为16个.

故选：D.

【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现★的个数依次增加3是解题的关键.

2.（2025•潮阳区一模）如图所示，将形状和大小完全相同的按一定规律摆成下列图形.第1幅图中

“V的个数为3,第2幅图中“V的个数为8,第3幅图中“；’的个数为15,…，以此类推，第7幅图

中“的个数为（）

第1幅图第2幅图第3幅图第4幅图

A.35B.48C.56D.63

【考点】规律型：图形的变化类.

【专题】几何图形；运算能力.

【答案】D

【分析】根据前几幅图中的个数，可以发现它们的变化规律.

【解答】解：.第1幅图中“，'的个数为3,第2幅图中的个数为8,第3幅图中“y的个数为15,…，

以此类推，

由题意可得，

第1幅图形中的个数为3=22-1,

第2幅图形中“•”的个数为8=32-1,

第3幅图形中的个数为15=42-1,

由此可得第"幅图中，“•”的个数为（«+1）2-1

则第7幅图形中的个数为82-1=63,

故选：D.

【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的个数的变化规律,

利用数形结合的思想解答.

3.（2025•重庆模拟）下列图形都是由同样大小的圆圈按一定规律组成，如图①中共有3个圆圈，图②中

共有8个圆圈，图③中共有15个国图，图④中共有24个圆圈，按此规律排列，则图⑩中圆圈的个

数为多少（）

OOOOOOO

OO

oOOOOOOOOO

oOOoOOOOOOOOO

oOO

oOOOOOOOOO

OOOOO

①②③④

A.120B.99C.143D.121

【考点】规律型：图形的变化类.

【专题】几何图形；运算能力.

【答案】A

【分析】根据已有图形中规律，进行找规律求解即可.

【解答】解：如图①中共有3个圆圈，图②中共有8个圆圈，图③中共有15个国图，图④中共有24

个圆圈，

图①中共有圆圈3=1+1X2（个）；

图②中共有圆圈8=2+2X3（个）；

图③中共有圆圈15=3+3X4（个）；

图④中共有圆圈24=4+4X5（个）；

图⑩中共有圆圈10+10X11=120（个）.

故选：A.

【点评】本题考查了图形规律探究，读懂题意，找出规律是解题的关键.

4.（2025•徐州模拟）有依次排列的3个数：6,2,8,对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，

所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：6,-4,2,6,8,这称为第一次操作；做第二次同

样的操作后也可产生一个新数串：6,-10,-4,6,2,4,6,2,8,继续依次操作下去，问：从数串

6,2,8开始操作第2023次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（）

A.4056B.4058C.4060D.4062

【考点】规律型：数字的变化类.

【专题】规律型；实数；数据分析观念；运算能力.

【答案】D

【分析】首先根据题意，分别求出前三次操作得到的数分别是多少，再求出它们的和各是多少；然后总

结出第〃次操作：求和结果是16+2”，再把“=2023代入，求出算式的值是多少即可.

【解答】解：第一次操作：6,-4,2,6,8,求和结果：18

第二次操作：6,-10,-4,6,2,4,6,2,8,求和结果：20

第三次操作：6,-16,-10,6,-4,10,6,-4,2,2,4,2,6,-4,2,6,8,求和结果：22

第"次操作:求和结果：16+2”

.•.第2023次结果为：16+2X2023=4062.

故选：D.

【点评】此题主要考查了规律型：数字的变化类，解答的关键是理解清楚题意，求得存在的规律.

5.（2025•重庆模拟）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律连线组成的，其中第①个图形一共

有4个实心圆点，第②个图形一共有7个实心圆点，第③个图形一共有10个实心圆点，…，按此规律

排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（）

①②③

A.16B.19C.21D.23

【考点】规律型：图形的变化类.

【专题】规律型；运算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】根据已知图形中实心圆点的个数得出规律：第九个图形中实心圆点的个数为2〃+w+l,据此求

解可得.

【解答】解：•••第①个图形中实心圆点的个数4=2X1+2,

第②个图形中实心圆点的个数7=2X2+3,

第③个图形中实心圆点的个数10=2X3+4,

，第⑥个图形中实心圆点的个数为2X6+7=19,

故选：B.

【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第"个图形中实心圆点的个数

为1n+n+1的规律.

6.（2025•沈阳模拟）阅读材料：l+2+22+23+24+-+22010W>.

解：设S=l+2+2?+23+24+…+22°1°①，

将等式两边同时乘2得：2S=2+2?+23+24+…+2?°叫22°u②，

?2011_1

②-①得得2s-S=22011-1,BPS==22011-1.

Z.—1

2342024

请你仿照此法求1+3+3+3+3+-+3的值为（）

32025_I

D.-----------

223

【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算.

【专题】规律型；运算能力.

【答案】A

【分析】设原式=S,则得出3S-S,即可求出S的值.

【解答】解：仿照范例，令5=1+3+32+33+34+…+32°24①，

等式两侧同乘3得：3s=3+32+33+34+…+32024+32025②，

将②式-①式得：3S-S=(3+32+33+34+-+32024+32025)-(1+3+32+33+34+-+32024),

整理得：2s=32°25-I,

(32°25_1).

故选：A.

【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据原式得出正确的倍数关系是解题的关键.

7.(2025•重庆模拟)由w522)个正整数组成的一列数，记为羽，尤2,X3,…初，任意改变它们的顺序后

记作yi,"，yy-yn,若M=(xi+yi)(X2+”)(尤3+*)-(xn+yn),下列说法中正确的个数是()

①若xi=2,X2=4,尤3=6…尤”=2〃，则M一定为偶数；

②当”=3时，若XI,X2,尤3为三个连续整数，则M一定为偶数；

③若M为偶数，则w一定为奇数；

④若M为奇数，则w一定为偶数；

A.4B.3C.2D.1

【考点】规律型：数字的变化类.

【专题】规律型；运算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】根据偶数+偶数=偶数，偶数+奇数=奇数，奇数+奇数=偶数，偶数X偶数=偶数，偶数X奇

数=偶数，分别对每一结论进行推断即可.

【解答】解：①。1=2,%2=4,x3=6-xn=2n,

.'.yi,yi,w”也分别是偶数，

，xi+yi、尤2+中、x3+y3、…、切的结果分别是偶数，

是偶数，

故①符合题意；

'."xi,xi,无3为三个连续整数,

三个数中必有两个偶数一个奇数或两个奇数一个偶数，

任意改变它们的顺序后yi,”，*中必有两个偶数一个奇数或两个奇数一个偶数，

，xi+yi、X2+”、X3+”中一定有一个偶数，

一定为偶数；

故②符合题意；

为偶数，

；.xi+yi、无2+y2、X3+*、…，物+»中一定有一个偶数，

若XI,尤2,尤3,…物均为偶数时，”无论奇数还是偶数，M都是偶数，

故③不符合题意；

为奇数，

；.xi+yi、X2+y2、X3+*、…，Xa+w中一定都是奇数，

.'.XI,XI,尤3,…X”中奇数与偶数的个数相等，

二〃是偶数,

故④符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查数字的变化规律，理解题意，根据奇数与偶数的性质进行推断是解题的关键.

8.（2025•广东校级模拟）如图是一个俄罗斯方块游戏，将正整数1至2024按一定规律排列如图表.通过

按键操作平移或90°旋转图表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）

12345678

910111213141516

1718192021222324

2526272829303132

・・・

A.2021B.2022C.2023D.2024

【考点】列代数式；规律型：数字的变化类.

【专题】整式；推理能力.

【答案】B

【分析】设方框中中间的数字为X,则另外两个数分别为（x-l）,（X+1）或（X-8）,（x+8）,将三个

数相加，可得出三个数之和为3无，进而可得出三个数之和为3的倍数，再结合2022+3=674,即可得

出结论.

【解答】解：设方框中中间的数字为x,则另外两个数分别为（x-1）,（尤+1）或（x-8）,（x+8）,

三个数之和为x-1+x+x+l=3x或尤-8+尤+x+8=3x,

三个数之和为3的倍数.

又：2022+3=674,

二方框中三个数的和可能是2022.

故选：B.

【点评】本题考查了列代数式以及规律型：数字的变化类，根据各数之间的关系，找出三个数之和为3

的倍数是解题的关键.

9.（2025•濂溪区校级模拟）如图，下列图案均由相同的小正方形组成，第1个图案由2个小正方形组成,

第2个图案由4个小正方形组成……依此规律，第25个图案由m个小正方形组成，则m的值为（）

m:ftrffinii……

第1个第2个第3个第4个

A.25B.48C.50D.52

【考点】规律型：图形的变化类.

【专题】规律型；运算能力.

【答案】C

【分析】根据前面几个图形可得到第〃个图形中小正方形的数量为2”，即可求解.

【解答】解：第1个图案由2个小正方形组成，

第2个图案由4个小正方形组成，

第3个图案由6个小正方形组成，

第4个图案由8个小正方形组成，

第n个图形由2n小正方形组成，

...第25个图案由冽=25X2=50个小正方形组成，

故选：C.

【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据规律归纳出第w个图形中小正方形的数量解题的关键.

10.（2025•丛台区校级一模）已知式子x-3y的值是3,则式子1-3尤+9y的值是（）

A.-8B.-6C.6D.8

【考点】代数式求值.

【专题】计算题；整体思想；整式；运算能力.

【答案】A

【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可.

【解答】解：VI-3x+9y=-3x+9y+l,

.•.当x-3y=3时，原式=-3x+9y+l=-3（x-3y）+1=-3X3+1=-8.

故选：A.

【点评】本题考查代数式求值，把代数式中的字母用具体的数代替，按照代数式规定的运算，计算的结

果就是代数式的值.

二.填空题（共5小题）

11.（2025•秦都区校级模拟）某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一

定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行

的总路程是60米.

一向左转30。《------------1不

开始］―►赫髓嬴向前飞行狗-结束］

【考点】代数式求值；有理数的混合运算.

【专题】实数；整式；运算能力.

【答案】60.

【分析】根据流程图得到路程是正多边形，根据外角得到边数，再求解即可得到答案.

【解答】解：由题意知飞行轨迹是正多边形，多边形外角为30°,

ono

正多边形的边数为WF=12,

勇勇的无人机飞行的总路程是12X5=60（米），

故答案为：60.

【点评】本题考查正多边形的性质与流程图，解题的关键是掌握正多边形的性质.

12.（2025•赛罕区校级模拟）若无+y=3,肛=2,则尤-v+xy2的值是3.

【考点】代数式求值.

【专题】整体思想；整式；运算能力.

【答案】3.

【分析】利用整体代入的方法先将孙代入，合并同类项后再代入运算即可.

【解答】解：,.•尤+丫=3,肛=2,

".x-y+xy1

=尤-y+（xy）y

=x-y+2y

=x+y

=3.

故答案为：3.

【点评】本题主要考查了求代数式的值,整体代入的解题思想,熟练运用整体代入的方法是解题的关键.

13.（2025•沈丘县校级一模）请写出He的一个同类项：4abe（答案不唯一）.

【考点】同类项.

【专题】整式；运算能力.

【答案】4abe（答案不唯一）.

【分析】根据同类项的定义解答即可.

【解答】解：答案不唯一，如4"c.

故答案为：4abe（答案不唯一）.

【点评】本题考查了同类项的定义，熟知所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同

类项是解题的关键.

14.（2025•望城区一模）在1、3两个数之间写上两个数之和4,看作第一次操作；再在1、4、3每相邻两

157

个数之间写上两个数之和的一，得到和一两个数，看作第二次操作；第3次操作就在第二次操作基础上，

每相邻两个数之间写上这两个数之和的|第4次操作就在第三次操作基础上，每相邻两个数之间写上

这两个数之和的:经过4次操作后所有数的和是32.

4

【考点】规律型：数字的变化类.

【专题】计算题；推理能力.

【答案】32.

【分析】按照题干操作，列举出第四次操作的结果，再计算即可得解.

【解答】解：设每一次操作之后所有数的和为S,

第一次操作：1,4,3,

Si=4+4=8,

57

第二次操作：1，一，4,3,

22

S2=S+尹5与7=8+6=14,

…一心751315713

第三次操作：1,,4,—,,3,

626626

7131513

S3=S2+(+营+营+营=14+8=22,

此时我们可以发现每次增加的数比前一次多2,

所以54=53+10=32,当然我们也可以继续探究一次得出结果，

13711571337131537171331

第四次操作:,一，，一，—，，，4，,,—，—，,,，3

2461226624862212624

13117371331731

54=&+24+12+6+24+T+2+12+24=22+10=32,

所以经过4次操作后所有数的和是32；

故答案为：32.

【点评】本题主要考查了数字规律探究，列举法操作对比数据是解题关键，

15.（2025•汇川区一模）数学知识广泛应用于化学领域，是研究化学的重要工具.比如在学习化学式时，

甲烷化学式为CH4,乙烷化学式为C246,丙烷化学式为C3H8,按此规律，当碳原子的数目为w（"为

正整数）时，氢原子的数目是2〃+2.

【考点】规律型：图形的变化类；列代数式.

【专题】跨学科；规律型；推理能力.

【答案】2n+2.

【分析】根据给出的三个化学式的例子可知，C原子每增加1个，H原子增加2个，由此找到规律.

【解答】解：因为甲烷化学式为CH4,乙烷化学式为C2H6,丙烷化学式为C3H8,

所以C原子每增加1个，”原子增加2个，

所以当碳原子的数目为〃（”为正整数）时，氢原子的数目是2（〃-1）+4=2"+2.

故答案为：2/2.

【点评】本题考查了以化学学科为背景的列代数式相关的知识，根据给出的例子，找到规律是解题的关

键.

三.解答题（共5小题）

16.（2025•蠡县一模）自从有了用字母表示数，我们就可以表达、研究具有更普遍意义的数量关系，有助

于我们发现一些有趣的结论，并能解释其中的道理.根据下列步骤来完成一个有趣的题吧！

第一步：从2到9中选一个喜欢的自然数；

第二步：用这个数乘3,再减去1；

第三步：将第二步的结果乘-4,再加上7；

第四步：将第三步的结果加上你选择的数.

(1)若选的自然数为3,求按以上步骤操作所得的数；

(2)小明发现按以上步骤操作后所得的数始终能被11整除，设选择的自然数为x,请论证小明的发现

正确.

【考点】列代数式.

【专题】整式；运算能力.

【答案】(1)-22；(2)详见解析.

【分析】(1)根据题意列出式子进行计算即可；

(2)根据题意列出代数式，得到结果是11的倍数.即可得到答案.

【解答】解：(1)根据题意可得(3X3-1)X(-4)+7+3

=8*(-4)+10

=-32+10

=-22；

(2)证明：根据题意可得：

-4(3x-1)+7+x

=-12x+4+7+x

=11-llx

=11(1-x),

是2到9的自然数，

-尤是整数，

/.Il(1-%)能被11整除.

【点评】本题考查了列代数式，掌握列代数式的方法是关键.

17.(2025•全椒县一模)观察下列各式的规律.

532

第1个等式：一+1+1=—,

22

742

第2个等式：一+2+1=一

33

952

第3个等式：一+3+1=一；

44

（1）根据上述规律，直接写出第4个等式：—+4+1=一

55

（2）猜想满足上述规律的第〃个等式，并证明其成立.

【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算.

【专题】规律型；运算能力.

（答案［（1）三+4+1=—；

2n+30+2）2

（2）+n+1=-一证明见解析.

n+1n+1

535

【分析】（1）模仿题意，直接写出第4个等式1+4=”，即可作答.

66

2n+3（九+2）2

（2）结合（1）的结论，易得—+n+1=-—再把等式左边进行变形整理，即可作答.

n+1n+1

【解答】解：（1）模仿题意，直接写出第4个等式为：

—+4+1=-；

55

故答案为：—+4+1=—；

271+3（71+2）2

（2）由（1）的规律得第〃个等式：-----+71+1=-------，

n+1n+1

证明如下：

2n+32n+3（九+1）2

左边二+九+1=

n+1n+1n+1

2n+3几2+2九十1

n+1n+1

7i2+4n+4_（几+2）2

=右边,

n+1-n+1

271+30+2）2

+n+1=•成立.

n+1n+1

【点评】本题考查了数字类的规律以及分式的加减混合运算.发现规律及熟练掌握分式的运算法则是关

键.

18.（2025•金安区校级一模）将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如图所示）,

记为第一次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每

次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去.

第1次操作第2次操作

(1)如果剪九次共能得到(3/1)个等边三角形,

(2)若原等边三角形的边长为1,设即表示第〃次所剪出的小等边三角形的边长，如

1

=

①试用含n的式子表不an—;

]

②计算。1+。2+〃3+…+an=1—A

111111iii

(3)运用(2)的结论，计算一+-+—+—+—+—+---+----+----的值.

3612244896192384768

【考点】规律型：图形的变化类；列代数式.

【专题】规律型；猜想归纳；推理能力.

【答案】(1)(3〃+1)；

1

(2)①7

②]一十；

511

(3)---.

768

【分析】(1)每剪一次，等边三角形的个数增加3,据此可解决问题；

(2)①依次求出等边三角形的边长，根据发现的规律即可解决问题；

②根据①中的结论即可解决问题；

(3)运用(2)的结论，进行计算即可.

【解答】解：(1)由题知，

剪1次共得到的等边三角形个数为：4=1X3+1；

剪2次共得到的等边三角形个数为：7=2义3+1；

剪3次共得到的等边三角形个数为：10=3X3+1；

所以剪〃次共得到的等边三角形个数为(3«+1)个.

故答案为：(3a+l).

(2)①由题知，

因为原等边三角形的边长为1,

所以第1次所剪出的小等边三角形的边长为：

11

第2次所剪出的小等边三角形的边长为：二=有;

422

11

第3次所剪出的小等边三角形的边长为：-=—；

823

1

所以第〃次所剪出的小等边三角形的边长为：—，

=萍

1

故答案为：—.

②由题知，

1111

。1+〃2+〃3+・••+斯=小H---7---Q+…+；

,222

ill1

令S=2+理+/+…+呼①，

111

则2s=l+a+/+…+尸②，

②-①得，

S=1一算，

1

即。1+〃2+。3+.••1一呼;.

故答案为：1—

(3)由题知，

原式=♦*(1+，+*+…+今)

=Wx(2一羽

_21

=3-768

=511

=768'

【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键.

19.(2025•阜平县校级一模)如图，正方形ABC。的边长为0,点E在AB边上，四边形EFGB也是正方

形，它的边长为b(a>b),连结AF、CF、AC.

(1)用含a,b的代数式表示尸C的面积Si；

(2)的面积为S2,△FGC的面积为S3,当CG=6,AE=2时，求2S1-(S3-S2)的值.

【考点】列代数式.

【专题】整式；运算能力.

【答案】(1)5a2；

(2)12.

【分析】(1)利用Sz\A尸。=S1=S^A8C+S梯形-S/xGC尸即可求解；

(2)根据三角形面积公式分别表示出S2,S3,代入2SL(S3-S2)中，化简后，由GC=a+》=6,AE

=b-a=2,代入计算即可.

【解答】解：(1)由条件可得S^AFC=S1=SAABC+S梯形AFGB-S^GCF

111

—,a2+2力(a+b)—qb(a+b)

=^a2；

(2)S2=(〃-/?)=品。一52,S3=+b)=+'坟,

A2S1-(S3-S2)

=2XI。2-2b2-^7?。+7b2)

=(a+Z?)(a-b),

■:CG=6,AE=2,

••〃+Z?=6,ci~Z?=2,

.'.2S1-(S3-S2)=6X2=12.

【点评】本题主要考查列代数式，单项式乘多项式与几何图形的面积，化简求值.熟练掌握以上知识点

是关键.

20.(2025•石家庄一模)聪聪计算机课上利用软件编写了相关联的程序A和'如图，在程序A中△处输

入一个正整数，则程序自动在口处填补出一个比△处大1的数字并显示计算结果，同时程序8会复制

11

程序A中相应位置的数值完成程序2的计算并显示计算结果.例:△处输入1,则程序A完成运算密=?

111

程序2完成运算r5=3

11

探究：若△处输入数字2,则程序A的结果为-，程序5的结果为-；若△处输入数字5,则程

66

11

序4的结果为不，程序3的结果为二；；若△处输入数字100,设程序A的结果为〃，则〃=

11

---(填或“

100101

12

应用:请利用“探究”中发现的结论证明+

7101+1)(n+l)(n+2)