2025年中考数学二轮总复习：几何最值问题

微专题42几何最值问题

类型一利用“垂线段最短”解决最值问题

方法解读

类型一定一动型一定两动型

P是直线/外的定点，H是直线/上的动M是NR4c内部的定点，N,P分别是A3,

条件

点AC上的动点

BB

•Pf

图示―

1ACAP\~C

-------H-------'M，

结论线段PH是点、P到直线1的最短距离PM+PN的最小值为M'N的长

1.（人教八上练习改编）如图，在等边AABC中，A3=4,点。是边上的动点，则线段

AD的最小值是.

A

Rnc

第1题图

2.（2024东莞模拟）如图，在等边AABC中，AB=6,点P是边上的动点，将△A3P绕

点A逆时针旋转60°得到△ACQ,点。是AC边的中点，连接则DQ的最小值是.

第2题图

3.如图，在AABC中，ZABC=35°,。是边AC上一点，E,R分别是射线A4,3c上异

于点3的动点，连接DB,DE,EF,若/CBD=10°,BD=6,则DE+EF的最小值为.

第3题图

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4.（2024中山模拟）如图，在RtZkABC中，ZA=90°,〃为3c的中点，H为AB上一点,

过点C作CG〃A3,交H0的延长线于点G,若AC=8,AB=6,则四边形ACG"周长的最小

值是.

第4题图

5.（2024梅州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数丁=九+6的图象与x轴交于点A,

与y轴交于点3,点尸在线段A3上，PC,尤轴于点C,则△PC。周长的最小值为.

6.如图，在等腰AABC中，NB4c=45°,AB=AC,点、P,Q,R分别为边BC,AB,AC

上（均不与端点重合）的动点，当^PQR的周长最小时，则NPQR+NPRQ的度数为.

第6题图

类型二利用“两点之间线段最短”解决最值问题

方法解读

类型「两定点不二动点型一定点十两动点型两定点+定长型一

异侧同侧P是NA03内部的定

A,B是定点,M,N分别是

条件A,3是定点，尸是直线/上的点，M,N分别是

h,/2上的动点，且MNL/1

动点03上的动点

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PA+PB的最PA+PB的最

△PMN周长的最小值AM+MN+BN的最小值为

结论小值为A3的小值为A*的

为尸尸”的长A5+MN的长

长长

1.7北师九上随堂练习改编）如图，在边长为4的正方形A3。中，E为边A3上一点，且

AE=1,R为对角线3。上一动点，连接ERCF,则EF+CT的最小值为.

第1题图

2.如图，在等腰AABC中，AB=BC,AC=3,的垂直平分线DE分别交A3,3c边于点

D,E,R为AC边的中点，尸为线段DE上一动点，若AABC的面积是9,则PC+PR的最小

值为.

第2题图

3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=%+fec+c与x轴交于点A,B（4,0）,与

y轴交于点C（0,—3）.点P是抛物线对称轴上一点，连接AP、CP,当AP+CP的值最小时,

点P的坐标为.

4.如图，在矩形A3CD中，AB=3,AD=2,E,R分别是A3,CD上的动点，EF//BC,则

AF+EF+CE的最小值为.

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5.（2024香洲区二模）如图，点A（1,m）和3（n,2）在反比例函数y=3的图象上，点C,

X

。分别是X轴正半轴和y轴正半轴上的动点，连接A3,BC,CD,DA,则四边形A3CD周长

的最小值为.

类型三与圆有关的最值问题（6年5考）

考向1点圆、线圆最值问题

方法一点圆最值问题

方法解读

条件：如图，平面内一定点。和E是。。上的动点，连接DE.

结论：当圆心。在线段DE上时，DE取得最大值（图①），当圆心。在DE的延长线上时，

DE取得最小值（图②）.

1.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,。。的半径为1,若圆心。在矩形ABCD的边

上运动，则点C到。。上的点的距离的最大值为.

第1题图

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2.（2024珠海模拟）如图，。〃的半径为4,圆心”的坐标为（6,8）,点P是OM上的

任意一点，PALPB,且PA,P3与x轴分别交于A,3两点.若点A,点3关于原点。对称,

则当AB取最小值时，点A的坐标为.

第2题图

3.（2024东莞一模）如图，抛物线产¥—4与x轴交于A，5两点，P是以点C（0,3）为

圆心，2为半径的圆上的动点，连接P4,点Q是线段PA的中点，连接。。，则线段OQ的最

大值是.

第3题图

方法二线圆最值问题

方法解读

图①图②

条件：如图，。。与直线/相离，设O。的半径为「，圆心。到直线/的距离为d,尸是。。上

的动点.

结论：点尸到直线/的最小距离为d—r（图①），最大距离为d+r（图②）.

4.如图，在矩形A3CD中，AB=4,BC=3,以点3为圆心，1为半径作圆，P是。3上一

动点，。是对角线AC上一动点，则PQ的最小值为.

第4题图

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5.如图，在矩形A3CD中，AB=3,BC=4,。为矩形A3CD的中心，以点。为圆心，1为

半径作OD,P为。。上的一个动点，连接AP,OP,0A,则AA。尸面积的最大值为.

第5题图

6.如图，在RtZkABC中，AB=4,BC=2,ZABC=9Q°,半径为1的。。在斜边AC上滚

动，点。是。。上一点，则四边形ABCD的最大面积为.

考向2利用辅助圆求最值（6年4考）

方法一定点定长作圆（2021.10）

方法解读

原理：圆的定义：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合.

情形：在平面内，点A为定点，点3为动点，且A3长度固定.

动点轨迹：动点3的轨迹是以点A为圆心，A3长为半径的圆或圆弧的一部分.

1.（2020广东17题4分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于

梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平

面内的线或点，模型如图，NA3C=90°,点M,N分别在射线A4,BC±.,长度始终保

持不变，MN=4,E为MN的中点，点。到B4,的距离分别为4和2.在此滑动过程中，

猫与老鼠的距离DE的最小值为.

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2.（2024烟台）如图，在口A3CD中，ZC=120°,AB=8,3C=10.E为边CD的中点，F

为边AD上的一动点，将△DER沿ER翻折得△DEF连接AD,则△A3。面积的最小

值为.

第2题图

3.如图，在菱形A3CD中，AB=6,ZABC=60°,E为BC上一动点,连接DE,作点C

关于直线DE的对称点R连接3F则3R的最小值为.

第3题图

方法二定弦定角作圆（6年2考：2021.10、17）

方法解读

情形：如图，在AABC中，ZC（«）为定角，所对的弦A3长度固定.

动点轨迹：（1）当0<a<90°时，点C的轨迹如图①所示，即Q；（2）当a=90°时，

点C的轨迹如图②所示，即。。（不含A,3两点）；（3）当90°<a<180°时，点C的轨

1

2LAOB+/LACB=\SOC

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第4题图

4.（2024梅州市一模）在直角AABC中，ZACB=90°,AC=4,3c=6,点P是△ABC内

一点，满足NC3P=NACP,则P4的最小值为.

5.（2021广东17题4分）在AABC中，NA3C=90°,A3=2,3C=3.点。为平面上一个

动点，ZADB=45°,则线段CD长度的最小值为.

6.（2021广东10题改编）设。为坐标原点，点43为抛物线y=%2上的两个动点，且。4，。丘

连接点A,B,过点。作0CLA3于点C,则点C到y轴距离的最大值为.

方法三四点共圆（6年2考：2024.22,2023.23）

方法解读

情况一（同侧型）：如图①②，线段A3长度为情况二（异侧型）：如图③，由点A,

条件定值，点C,。为A3同侧两动点，且NAC3=B,C,。构成的四边形中，ZADC

ZADB+ZABC=180°

D万DCD，—、、

类型、0'

、、一J'、、R

图①图②图③

结论A,B,C,。四点共圆

7.（人教八上练习改编）如图，在△ABC和△ACD中，ZABC=ZADC=45°,AC=6,则

AD的最大值为.

第7题图

8.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,。是斜边A3上一动点，连接CD,

将线段CD绕点。逆时针旋转90°得到CE,连接BE,DE,。是DE的中点，连接。C,OA,

则AO的最小值为.

C

第8题图

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9.如图，在菱形A5CD中，ZABC=60°,AB=6,点石，尸分别是边BC,A5上的点，且

AF=BE,连接。厂与A片交于点G,连接。G,则。G的最大值为.

AD

第9题图

几何画板动态演示

四点共圆求最值

类型四利用二次函数性质解决最值问题

[6年2考：2022.23(2),2021.9]

方法解读

要求y=a/+法+c(aWO)的最值，可将解析式化为顶点式，确定其对称轴是否在自变量x

的取值范围内，再画出图象，利用数形结合思想及所给端点与对称轴的距离，依据二次函数增

减性求最值.

1.(2021广东9题3分)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，

此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a,b,c,记p

=£±|±£,则其面积S=Jp(p-a)(p-bXp-c).这个公式也被称为海伦一秦九韶公式.若p

=5,c=4,则此三角形面积的最大值为()

A.V5B.4C.2V5D.5

2.如图，二次函数尸一#—3+2的图象与x轴交于A,3两点，与y轴交于点C,且。

Cm,n')是第二象限内抛物线上一点，则四边形。CD4的面积的最大值为.

3.如图，Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3C=4,点。是AC的中点，点E是A3上一动点,

点R是3c上一动点，且点E不与端点重合，ZDEF=45°,则3R的最大值为.

C

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第3题图

类型一利用“垂线段最短”解决最值问题

1.2V3【解析】如解图，过点A作于点£＞，，根据垂线段最短可知，当点。与点

。重合时，的值最小.,.♦△ABC为等边三角形，."。二人"％•,.3»=8=抑7=2,.•.AD

=JAB2—BD'2=2W,：.线段AD的最小值是2倔

A

A

BITDC

第1题解图

2.学【解析】,.♦△ABC是等边三角形，.•.NJB=NAC3=60°,AB=AC=6,如解图，过

点。作DQUCQ于点Q，，由旋转可得NACQ=NB=60°,・•.点Q为射线CQ上的动点，又

VZACB=60°,AZBCQ=120°,..•点。是AC边的中点，：.CD=^AC=3,当DQLCQ

时，DQ的长最小，止匕时，点。与。重合，ZCDQ'=30°,：.CQ'=lCD=l，：,DQ'=JDC2~CQ'

=第，的最小值是手.

A

RPC

第2题解图

3.3V3【解析】如解图，作点。关于B4的对称点。'，连接DD',BD',过点。作的垂

线交B4于点E,交BC于点F,由对称的性质得。E=DE,：.DE+EF=D'E+EF=D'F,止匕

时DE+ER的值最小，最小值为线段。户的长.•.,NABC=35°,ZCBD=10°,BD=6,

：.ZDBA=ZD'BA=AABC-ZCBD=25°,BD'=BD=6,：.ZCBD'=35+25°=60°,

：.D'F=BD'sin60°=6X^=3A/3,...DE+ER的最小值为3g.

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第3题解图

4.22【解析】\'CG//AB,：.ZB=ZMCG,是的中点，：.BM=CM,在和

(回BFMCG

BM=CM,注△CMG(ASA),：.HM=GM,BH=CG,'：AB=6,

^\BMHFCMG

AC=8,四边形ACGH的周长=AC+CG+GH+AH=A3+AC+GH=14+GH,如解图，当

GH最小时，即GHLAB时，四边形ACGH的周长有最小值，•.•NA=90°，GH〃AC,

四边形ACGH为矩形，...GH=AC=8,...四边形ACGH周长的最小值为14+8=22.

第4题解图

5.3V2+6【解析】由直线丁=尤+6的解析式得，当x=0时，尸无+6=6,当y=0时，x+6

=0,解得x=—6,,一次函数y=x+6的图象与x轴交于点A,与y轴交于点3,...Al—6,

0),3(0,6),则04=03=6,.•.△A3。是等腰直角三角形，由题意，可设点尸的坐标为(a,

a+6)(-6<o<0),轴，：.OC=~a,PC=a+6,，△PC。的周长为OC+PC+OP

=~a+a+6+OP=6+OP,则求△PC。周长的最小值只要求出OP的最小值即可，如解图，

过点0作OD±AB于点D,则OP的最小值为OD的长，即此时点P与点D重合，•.,0D，A5,

：.AD=BD,.*.OD=|AB=|XJ62+62=3V2,二△PC。周长的最小值为6+。。=3e+6.

4cc

第5题解图

6.90°【解析】如解图，作点尸关于A3的对称点P,关于AC的对称点尸〃，连接PP",

分别交A3,AC于点Q,R,连接AP,4P".贝I]PQ=PQ,P"R=PR,AP=AP'=AP",ZP'AQ

=ZPAQ,ZP"AR=ZPAR,：.C^PQR=PQ+QR+PR=P'Q+QR+P"R=P'P",ZP'AP"=

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ZP'AQ+ZPAQ+ZP"AR+ZPAR=2ZBAC=2X45°=90°,，△4P尸”为等腰直角三角形,

AP=AP'=AP",：.P'P"=V2AP,当AP,3c时，AP最短，即周长最小，止匕时NAPQ

=ZAPQ=45°,ZAP"R=ZAPR=45°,：.ZQPR=90°,：.ZPQR+ZPRQ=9Q°.

第6题解图

类型二利用“两点之间线段最短”解决最值问题

1.5【解析】如解图，连接CE交3。于点/，.•.ER+CENCE,.•.当点R与点尸重合，即

C,RE三点共线时,ER+CT有最小值，最小值为CE的长.四边形A3CD为正方形，...NABC

=90°,AB=BC=4,'：AE=1,：,BE=3,在RtZkBCE中，由勾股定理，得CE=JBE2+BC2

=5,.•.Ef'+CT的最小值为5.

AD

RC

第1题解图

2.6【解析】如解图，连接BP.・・・。£是线段BC的垂直平分线，，点5与C关于。石对称,

BP=CP,：.PC+PF=BP+PF^BF,当B,P,厂三点共线时，PC+P厂最小.•・•尸为AC边的

中点，AB=BC,：.BF±AC,ASAABC=|ACBF=9.VAC=3,：.BF=6,/.PC+P/的最小值

为6.

A

REC

第2题解图

3.(|,一?)【解析】如解图，连接3C交抛物线对称轴于点P,此时AP+CP的值最小，：

9

17-1-4/?+r=0

-,解得：,・••抛物线表达式为y=%2

(c=-3

-4—3,・••抛物线对称轴为直线元=2,设直线3c的表达式为机W0),将8(4,0),

42

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7?——3TTL—

，解得'4,直线3C的表达式为丁=%一3,

(4m+n-0(n=—3'4

当时，y=：.点P的坐标为G，一3.

2828

/中

P/

第3题解图

4.7【解析】由题意知ER=3C=AD=2,如解图，过点R作R7〃。石，交3c延长线于点G,

连接AG,'.,EF//BC,四边形ERGC为平行四边形，：.CE=GF,CG=EF=2,贝UAR+CE

=AF+R7NAG,.•.当A,F,G三点共线时，AP+CE取得最小值，最小值为AG的长，•..BG

=BC+CG=4,.,.在Rt^ABG中，AG=JAB2+BG2=5,：.AG+EF=7,.•.AR+ER+CE的

最小值为7.

ArR

第4题解图

5.4V5【解析】•.•点A(l,附和3(〃，2)在反比例函数y=£的图象上，.•.m=4,n=2,：.A(1,

4),BQ,2),：.AB=V5,如解图，分别作点A关于y轴的对称点A，，作点3关于x轴的对称

点4，连接AR交y轴于点。，交x轴于点C,此时四边形A3CD的周长最小，最小值为AB

+AB的值.根据对称的性质，得4(—1,4),B'(2,—2),.,.4皮=3西，...四边形43。周长

的最小值为3A/5+V5=4V5.

y

伏-・•

飞

R'

第5题解图

类型三与圆有关的最值问题

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考向1点圆'线圆最值问题

1.6【解析】如解图，在。。上任取一点E，，连接OE，、CE',则CEWCO+OE，，当C、。、

E三点共线时，CE取得最大值，即当点E与E重合时，CE取最大值，要求CE的最大值，即

求C。的最大值.连接AC,：COWAC,・,.当点。与点A重合时,C。取得最大值时.在RtAABC

中，'：AB=3,BC=4,：.AC=5,二。。最大=5,二CE最大=0C最大+0E=6..•.点C到。。上的

点的距离的最大值为6.

第1题解图

2.(-6,0)【解析】如解图，连接P。，•.•PALPB,••.NAPB=90°,•点A、点3关于原

点。对称，...49=3。=2。，.•.A3=2P。，若要使A3取得最小值，则尸。需取得最小值，连

接。M交OM于点P,当点P位于P位置时，OP取得最小值，过点M作"Q，x轴于点。，

VM(6,8),则OQ=6,MQ=8,：.OM=10,又•.,MP'=r=4,/.OP'=MO-MP'=10-4=6,

：.OA=OP'=6,・'.点A坐标为(一6,0).

3.1【解析】如解图，连接3尸，当y=0时，%2—4=0,解得xi=4,&=—4,则A(—4,

0),3(4,0),：.OB=4,•。是线段P4的中点，.二。。为AABP的中位线，AOQ=^BP,当

3P最大时，。。最大，当3尸过圆心C时，PB最大,如解图，当点尸运动到P位置时，BP

最大，此时，OQ取得最大值，最大值为沙3),：.OC=3,：.BC=JOB2+OC2=5,

.,.叱=5+2=7,.,.线段OQ的最大值是最

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4.1【解析】如解图，过点3作3QLAC于点Q,交。3于点P,此时PQ的值最小...•在

矩形A3CD中，AB=4,BC=3,。3的半径为1,，AC=^AB2+BC2=j42+32=5,BP=1,

.,.sinNACB=*=饕=g解得3Q=若.，加=如一族=7一1=].'PQ的最小值为1

/IC*DC»ooooo

第4题解图

5.9【解析】如解图，连接”当点尸到AC的距离最大时，少°尸的面积最大，过点。

作AC的垂线，与。。在矩形ABCD外交于点P,交AC于点此时△A。尸的面积最大.：

在矩形A3。中,A5=3,BC=4,：,AC=\AB-+BC^=5,AD=4,.•.O4=|,^AD-DC=

lACDM,：,DM=^/.PM=PD+DM=1+△AOP面积的最大值为，）APM=

lv517_17

—z\—z\--------------

2254

第5题解图

22

6.4+2遥【解析】•.23=4,BC=2,ZABC=90°,：.AC=^AB+BC=2V5."：S四边形ABC。

=5AABC+5AACD,SAABC=2AB,BC=4,・••当SAACO取得最大值时，S四边形ABCD有最大值.如解图，

过点。作DELAC于点E,过点。作。fUAC于点E连接。。，'：DE^OD+OF,.•.当

O,R三点共线，即当点E与点口重合时，DE取得最大值，最大值即为。。+。/的值.：。。

在AC上滚动，...DE最大=。。+。尸=2,...SAACD最大最大=^X2而乂2=2瓶，

S四边形A3CZ）最大=SaABC~\~SAAC。最大=4+2V5.

第6题解图

考向2利用辅助圆求最值

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1.2V5-2【解析】如解图，连接BE,3D由题意得J22+42=2V5,'：ZMBN=9Q°,

MN=4,E为MN的中点，・,.点E的运动轨迹是以点3为圆心，2为半径的

弧，.•.当点E落在线段3。上时，DE的值最小，.'.DE的最小值为2遥一2.

BNc

第1题解图

2.20g—16【解析】如解图，以点E为圆心，EC长为半径作圆，过点E作EGLAB交A4

的延长线于点G,交OE于点此时的面积最小，•在口A3CD中，ZC=120°,

：.ZABC=6Q°,'：BC=W,易得A3与CD间的距离为5百，：.EG=5^3,为边CD的

中点，：.DE=D'E=^CD=4,/.GD,=5V3-4,.•.SAABD的最小值为?X8X(5V5—4)=208一

第2题解图

3.6V3-6【解析】如解图，连接DR根据对称性质可知DR=CD,：四边形A3CD为菱

形，••.A5=AD=CD=JDR=6,・•.点R的运动轨迹为以点。为圆心，CD长为半径的泥，连接

BD交废于点G,当B,F,。三点共线，即点R与点G重合时，3R的值最小，最小值为BG

的长，过点A作于点M,♦在菱形A3CD中，ZABC=60°,AZABD=3Q°,在

RtAA3M中，3M=ABcos30°=3y/3,：.BD=643,"：DG=AD=6,：.BG=BD-DG=6y[3~

6,即3R的最小值为6g—6.

第3题解图

4.2【解析】如解图，取3c的中点。，以3c为直径作O。，与A3交于点E,连接。P,

AO,"：ZACB=90°,：.ZACP+ZBCP=90°,,：ZCBP=ZACP,：.ZCBP+ZBCP=90°,

：.ZCPB=9Q°,・•.点P在以BC为直径的圆弧CE上运动，AP^AO-OP,当点P,A,O

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三点共线时，PA有最小值，•点。是的中点，BC=6,ZBPC=9Q°,：.PO=CO=1BC

=3,在RtAAC。中，VAC=4,：.A0=JoC2+AC2=^32+42=5,，己4的最小值=5—3

=2.

第4题解图

5.V5-V2【解析】如解图，根据定弦定角，确定△A3。的外接圆O。，点。在。。的优弧

加上运动，连接A。，BO,DO,CD,0C,过点。作OfUBC于点EVZADB=45°,

AZAOB=90°,"：OA=OB,A3=2,△043是等腰直角三角形，,。4=。3=多3=e,

ZABO=45°,AZOBF=ZABC-ZABO=45°,，△03R是等腰直角三角形，：.OF=BF

=%B=1,,:BC=3,：.FC=BC-BF=2,：.0C=JoF2+FC2=V5,,：OD+CD^OC,：.

当点。运动到OC与。。的交点E时，CD的值最小，最小值为。C—0E,即逐一VI

第5题解图

6.1【解析】设A(a,a2),B(b,廿)，则直线。4的解析式为y=ax,...左OA・左OB

=-1,左OB=一.,.直线。3的解析式为y=—%,将点3(6,/)代入y=一%中，得/=

a=ma+n

一：b：.b=一+：.B(一亍,2),设直线AB的解析式为(mWO),

与=m-(--)+n，

解得jm=a—土...直线AB的解析式为y=(q—3%+1,如解图，设A3与y轴交于点。，当x

In=1a

=0时，y=l,：.D(0,1),即。。=1,'：OC±AB,.•.点C在以。。为直径的圆上，当点C

在半圆0D的中点处时，点C到y轴的距离最大，止匕时OC=CD,过点C作CE，。。于点E,

是直径，：.ZOCD=90°,：.CE=DE=-OD=~.

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第6题解图

7.6V2【解析】•.,NA3C=NADC=45°,B,C,。四点共圆，AC为O。的弦，如

解图，当AD为。。的直径时，取得最大值，此时NACD=90°,V