2025年中考数学三轮复习之二次根式

2025年中考数学三轮复习之二次根式

选择题（共10小题）

月+何的运算结果应在（）

1.（2025•官渡区校级模拟）估算同X、

A.6至!I7之间B.7至U8之间C.8到9之间D.9到10之间

2.（2025•秦淮区校级模拟）当xWl时，在实数范围内一定有意义的式子是（）

111,____

A.1----B.-----C.„D.7x—1

11-Xx2-l

3.(2025•方山县一模)当a=V^+l,b=/一1时，撩b_a铲的值为（）

A.1B.2V2C.4V2D.4

4.（2025•郑州模拟）下列运算正确的是()

a+11

A.J(-2)2=—2B.-----——=a(aH0)

aa

C.2V3-V3=2D.(〃2)3=〃6

5.（2025•娄底模拟）下列计算正确的是()

A〃4.〃2=8B.(-Gb)3=-/户

C.-(〃-/?)2=-〃2一2ab~廿D.=(Va)2(a>0)

6.（2025•重庆模拟）估计gx电+VIU+&的运算结果应在（）

A.2至U3之间B.3至IJ4之间C.4至1）5之间D.5至IJ6之间

.________V

7.（2025•徐州模拟）已知尸归+店6+3'则泮值为（）

8.(2025•大东区模拟)下列计算正确的是()

A.a3+a5=tz6B.a64-a3=a2C.(-a)2=a2D.Va^=a

9.（2025•光山县二模）已知一等腰三角形的周长为12班，其中一边长24，则这个等腰三角形的腰长为

A.2V5B.5V5C.2b或5逐D.无法确定

10.（2025•重庆模拟）己知恒等式（百％-&）"=即尤"++与_2工"-2------1-arx+a0,其中n

为正整数，下列说法：

①山＞1；

aO

②当〃=4时,1*1+1的1+\a2\+|a/=49+20V6；

2

③当n为奇数时，(ccn+ct-n-2+…+的)2—(an_1+an_3+…+a0)=1；

④当W为偶数时，(斯+斯一2+-，+°0)*(碗-1+即一3+~，+41)<-24.

其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

填空题（共5小题）

11.（2025•方山县一模）写出一个能与g合并的实数：.

12.（2025•蠡县一模）如图，数轴上的点/表示实数标、且标与鱼的积为有理数，则整数机的值为

।।।।%一

-101234

13.（2025•镇坪县一模）计算：V3XV6-V32=.

14.（2025•山东一模）请写出一个二次根式,使它满足只含有一个字母无，且当

了22时有意义.

15.（2025•越秀区校级一模）要使有意义,则实数尤的取值范围是.

x-2---------------

三.解答题（共5小题）

16.（2025•合肥一模）计算：|百一2|一（一|）。+或x限

17.（2025•陕西校级二模）计算：|2&一3|+（—》-3+乃X%.

18.（2025•西安二模）计算：（―x+（―—3|.

19.（2025•乌鲁木齐模拟）化简或计算：

（1）4x—（2—V3）0+|4—V8|；

⑵（一铲嚼一儿

20.（2025•交口县一模）（1）计算：g-38X（|尸+J（-3）2.

（2）化简：（2m+n）（2m—n）—（2m—n）2+4mQ—n）.

2025年中考数学三轮复习之二次根式

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案BBCDDCCCBB

选择题（共10小题）

1.（2025•官渡区校级模拟）估算闻xJI+痴的运算结果应在（）

A.6到7之间B.7到8之间C.8到9之间D.9到10之间

【考点】二次根式的混合运算；估算无理数的大小.

【专题】实数；二次根式；运算能力.

【答案】B

【分析】先根据二次根式的混合运算法则计算，再利用夹逼法估算无理数的大小即可.

【解答】解：V45xJ|+V20

=V9+V20

=3+720.

VVT6<V20<V25,

.•.4<V20<5,

.•.7<3+V20<8,

即估算同xJ|+回的运算结果应在7到8之间，

故选：B.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

2.（2025•秦淮区校级模拟）当XTM时，在实数范围内一定有意义的式子是（）

【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件.

【专题】分式；二次根式；运算能力.

【答案】B

【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分别解答判断即可.

【解答】解：A、若1-1在实数范围内有意义，则无?0,故此选项不符合题意；

B、若二一在实数范围内有意义，则1-xWO,即故此选项符合题意；

1-x

1

C、若^在实数范围内有意义，则/-1W0,即xW±l,故此选项不符合题意；

x2-l

D、若正二T在实数范围内有意义，则尤-1N0,即故此选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键.

3.(2025•方山县一模)当&=/+1,6=/—1时，窟匕-a/的值为()

A.1B.2V2C.4V2D.4

【考点】二次根式的化简求值.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】C

33

【分析】先对ab-ab因式分解，提取公因式ab得ab-/),再用平方差公式进一步分解为ab(a

-b)(a+b).接着代入a=鱼+Lb=y/2—1,分别计算(a+6),(a-b),ab的值，最后相乘得出结

果.

【解答】解：：a=&+l,b=V2-1,

ab=(V2+1)(V2—1)=1,a+b—V2+1+V2—1=2V2,a-b—(V2+1)-(V2-1)=2,

a%-ab3

=ab(a2-b2),

=ab(a+b)(a-b),

当a=V2+1,b=V2—1时，

原式=1X2V2X2=4vL

故选：C.

【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键.

4.(2025•郑州模拟)下列运算正确的是()

I--------Cl+l1

A.J(-2)2=-2B.------——=a(aW0)

aa

C.2V3-V3=2D.(a2)3=a6

【考点】二次根式的加减法；塞的乘方与积的乘方；分式的加减法；二次根式的性质与化简.

【专题】整式；分式；二次根式；运算能力.

【答案】D

【分析】利用二次根式的性质，二次根式的加减法则，分式的加减法，募的乘方逐项判断即可.

【解答】解：正可=2,则A不符合题意；

——--="I1=-=1(aWO),贝I]B不符合题意；

aaaa

2g-g=百，则C不符合题意；

(C?2)3=“6,则£)符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查二次根式的性质，二次根式的加减，分式的加减法，幕的乘方，熟练掌握相关运算法

则是解题的关键.

5.(2025•娄底模拟)下列计算正确的是()

4,28253

A.flci=aB.(-«Z?)3=-ab

C.-(a-b)2=-cr-2ab-b1D.=(Va)2(a>0)

【考点】二次根式的乘除法；同底数塞的乘法；暴的乘方与积的乘方；完全平方公式；二次根式的性质

与化简.

【专题】计算题.

【答案】D

【分析】根据同底数暴的乘法，暴的乘方，完全平方公式，二次根式的性质逐一判断即可.

【解答】解：A、。4./=/+2=/，原选项计算错误，不符合题意；

B、(-^b)3=-心/，原选项计算错误，不符合题意；

C、-(a-6)2=-(a2-2ab-b2)--a2+2ab-b2,原选项计算错误，不符合题意；

D、=(Va)2(a>0),原选项计算正确，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了同底数幕的乘法，幕的乘方，完全平方公式，二次根式的性质，熟练掌握运算法则

是解题的关键.

6.(2025•重庆模拟)估计届xJ|+VTU+鱼的运算结果应在()

A.2到3之间B.3到4之间C.4到5之间D.5到6之间

【考点】二次根式的混合运算；估算无理数的大小.

【专题】计算题.

【答案】C

【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算.

【解答】解：原式=2旧X号+VTU+鱼=2+遮=2+2.236=4.236,故选C.

【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的

形式后再运算.最后估计无理数的大小.

7.（2025•徐州模拟）已知y=斤兆+V^^+3,则一的值为（）

x

4A33

A.—B.--QC.—D.--7

3344

【考点】二次根式有意义的条件.

【答案】c

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出X、y的值，计算即可.

【解答】解：由题意得，4-x20,x-420,

解得x=4,

贝！1y=3,

,y3

则一=一，

X4

故选：C.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件,掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键.

8.（2025•大东区模拟）下列计算正确的是（）

35663222

A.a+a=aB.a4-«=aC.（-a）=ciD.=a

【考点】二次根式的性质与化简；合并同类项；同底数塞的除法.

【专题】计算题.

【答案】C

【分析】根据这些运算法则依次判断即可.

【解答】解：A、/与/不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意；

B、a6-^a3=a3,选项错误，不符合题意；

C、（-a）2=a2,选项正确，符合题意；

。、=a,当a20时，V^=a,当a<0时，，次=—a,选项错误，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题主要考查合并同类项、同底数暴的除法、积的乘方运算、二次根式的化简，掌握以上性质

是解题的关键.

9.（2025•光山县二模）已知一等腰三角形的周长为12百，其中一边长2西，则这个等腰三角形的腰长为

（）

A.2V5B.5V5C.2有或5有D.无法确定

【考点】二次根式的应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】B

【分析】由题意知，分一边长2击为腰，一边长2愿为底边两种情况求解，然后对两种情况进行判断作

答即可.

【解答】解：由题意知，分一边长2声为腰，一边长2遍为底边两种情况求解；

①当一边长2曲为腰时，则底边长为124一2x2时=8西，

2有+2逐=4V5<8V5,

此时不能构成三角形，舍去；

②当一边长2代为底边时，则腰长为I?"2近=5«；

综上所述，腰长为5代，

故选：B.

【点评】本题考查了二次根式的加减运算，三角形的三边关系，等腰三角形的性质.熟练掌握二次根式

的加减运算，三角形的三边关系，等腰三角形的性质是解题的关键.

10.（2025•重庆模拟）已知恒等式（遮光—鱼尸=a/"+cin-i久"T+与_2--2H----Fa1x+a0,其中n

为正整数，下列说法：

①幺>1；

aO

a

②当n=4时,|a4|+1的1+\2\+|%J=49+20V6；

③当n为奇数时，（a九+an-2+…+%.）2—（%i-i+a九一3+…+劭产=1;

④当〃为偶数时，（〃〃+〃〃-2+…+”（））•（〃〃-1+劭-3+…+〃1）<-24.

其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【考点】二次根式的混合运算；规律型：数字的变化类.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】B

【分析】利用整式的乘法法则，当〃=1时，ar=V3/a0=-V2,—=—<1,可判断①错误；当

〃=4时，(8％-企尸=9/一12e工3+36/一8乃1+4,经过计算，可判断②错误；

nnnn

当〃为奇数时，令1=1,则(遍%-V2)=(V3-V2),(V3x+V2)=(V3+V2),得(an

nn

。1)2—(cin_i4~<xn-3+…+a。)?=(V3—V2)(V3+V2)=1,可判断③正确；

当"为偶数时，当〃=2时，

A-

(cin+ccn-2+…+口。),(。九一1+。九-3+…+。1)=(3+2),(―2/^)=10V6V—24；

当九=4时，(<1rl+ccn-2+…+口。),(。九一1+a九一3+…+%)=(9+36+4),(―12V6—8V6)=—980V6；

-980V6<-24,依此类推，可判断④正确；即可判断出有几个正确的.

【解答】解：①当n=\时，的=V3/a=—V2,—=-7=<1，

0a。—V2

故①错误，不符合题意；

②当〃=4时，(8％-V2)4=9x4-12V6%3+36x2-8V6x+4,

4—

a4=(V3)=9,%=12V6,〃2=36,%=-8A/6,〃o=4,

I(I41+1^31+\^21+l^iI=9+12A/6+36+8A/6=45+20V6,

故②错误，不符合题意；

③当〃为奇数时，令x=l,

则(遮工—鱼尸

nn-2

=anx+a九_1%九_1+an_2x4---Farx+a0

=(V3-V2)n,

(V3x+V2)n

nn=2

=anx++an_2x4----F+a0

=l+〃〃-2+…+QI+QO

=(V3+V2)n,

(an+an-2■1----1-al)2一(an-l+an-3---a0)2

=(即+〃〃-1+即一2+…+Q1+40)(an-an-l+an-2-…+m-40)

=(V3-V2)n(V3+V2)n

=1,

故③正确，符合题意；

④当w为偶数时，

当”=2时，（旧一企）2=3—2乃+2,

=

((ln+Un-2+…+Go),(Gn-1+^-n-3+…+口1)(3+2),(—2^/6)——10V6<-24;

当〃=4时，(值一企)4=9-12巡+36-8乃+4,

(an+an_2+…+QQ),(fin-1+^n-3+…+cii)=(9+36+4),(-12>/6—8'\/6)=-980V6；

-980V6<-24,

依此类推，

(tzw+o/j-2+-+ao)•(-1+a«-3+-+«i)<-24,

故④正确，符合题意；

故答案为：B.

【点评】本题主要考查了整式的乘法的应用及实数的运算，考查分析问题解决问题的能力，熟练掌握以

上知识点是关键，属于中档题.

二.填空题(共5小题)

11.(2025•方山县一模)写出一个能与合并的实数：W(答案不唯一)..

【考点】同类二次根式.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】V3(答案不唯一).

【分析】根据同类二次根式的定义得出答案即可.

【解答】解：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同

类二次根式，同类二次根式才能合并.

VV12=2V3,

，能与g合并的实数可以为旧，

故答案为：V3(答案不唯一).

【点评】本题考查了同类二次根式，根据二次根式的性质化简，能熟记同类二次根式的定义(几个二次

根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式)是解此题的关

键.

12.(2025•蠡县一模)如图，数轴上的点M表示实数标、且标与鱼的积为有理数,则整数m的值为8.

।।।.一

-101234

【考点】分母有理化；实数与数轴；二次根式的乘除法.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】8.

【分析】先求出4＜机＜9,再根据标与鱼的积为有理数求解即可.

【解答】解：由条件可知2V标＜3,

：.4＜m＜9,

:标与鱼的积为有理数，且2企又声=8,

••加=8,

故答案为：8.

【点评】本题考查了实数与数轴，二次根式的计算，解决本题的关键是熟练掌握实数与数轴及二次根式

的乘法运算.

13.（2025•镇坪县一模）计算：V3xV6-V32--V2.

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】-迎.

【分析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答.

【解答】解：V3xV6—V32

=3V2-4V2

=—V2,

故答案为：-五.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.

14.（2025•山东一模）请写出一个二次根式VI（答案不唯一），使它满足只含有一个字母羽且

当x22时有意义.

【考点】二次根式有意义的条件；二次根式的定义.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】（答案不唯一）.

【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.

【解答】解：由题意可知：A/7^2（答案不唯一）满足条件，

故答案为：/口（答案不唯一）.

【点评】本题考查二次根式有意义的条件、二次根式的定义，熟练掌握相关的知识点是解题的关键.

・Vx4~1

15.（2025•越秀区校级一模）要使一丁有意义，则实数%的取值范围是12-1且122.

X-2-------------

【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件.

【专题】分式；二次根式；符号意识.

【答案】X2-1且XW2.

【分析】直接利用二次根式有意义则被开方数是非负数，再利用分式有意义的条件，其分母不为零，进

而得出答案.

【解答】解：要使在g有意义，贝h+1>0且X-2W0,

X-2

解得：X，-1且xW2.

故答案为：X2-1且％W2.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，注意分式有意义的条件是解题

关键.

三.解答题（共5小题）

16.（2025•合肥一模）计算：|百一2|一（一|）。+&*用

【考点】二次根式的混合运算；零指数幕.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】1+V3.

【分析】先根据绝对值、零指数累的意义和二次根式的乘法法则运算，然后合并即可.

【解答】解：原式=2-W-\+声,x短xW

=2-V3-1+2V3

=1+V3.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和零指数募

是解决问题的关键.

17.（2025•陕西校级二模）计算:|2V2-3|++V6XV3.

【考点】二次根式的混合运算；负整数指数累.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】V2-5.

【分析】先化简绝对值、计算负整数指数塞和二次根式的乘法，再计算二次根式的加减法即可得.

【解答】解：原式=3—2A/2+（—8）+V18

=3-2V2-8+3V2

=V2—5.

【点评】本题考查了化简绝对值、负整数指数幕、二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键.

-1

18.(2025•西安二模)计算：(-V8)XV3+(-i)-2-|V6-3|.

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】一连+1.

【分析】先化简负整数指数幕，绝对值，然后算乘法，最后算加减.

【解答】解：原式=一2在+(—2》一(3-n)

=-2V6+4—3+V6

=-V6+1.

【点评】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的乘法，负整数指数累及实数的绝对值，掌握相关

运算法则是解题的关键.

19.(2025•乌鲁木齐模拟)化简或计算：

(1)4XJ|-(2-V3)°+|4-V8|:

⑵(一铲一/一•

【考点】二次根式的混合运算；分式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】(1)3；

3

(2)-b.

【分析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；

(2)先算乘方，再算除法，后算加减，即可解答.

【解答】解：(1)4xJj-(2-V3)°+|4-V8|

=4x^-l+4-2V2

=2V2-1+4-2V2

=3；

（2）r--V上空一°

a25b3

=F-7—匕

b22a2

Sb,

=-2~b

=%

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.

20.(2025•交口县一模)(1)计算：g-3百x(|)T+5(一3)2.

3

(2)化简：(2m+n)(2m—n)—(2m—n)2+4m(^—n).

【考点】二次根式的混合运算；整式的混合运算；负整数指数哥.

【专题】整式；二次根式；运算能力.

【答案】(1)3；

(2)3m-2M2.

【分析】(1)利用二次根式的性质及运算法则，负整数指数塞计算即可；

(2)利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式法则展开后再合并同类项即可.

【解答】解：⑴原式=2b-3遍X,+3

=2V3-2V3+3

=3；

(2)原式=4渥--(4m2-4mn+n2)+3m-4mn

=4m2-n2-4m2+4mn-n2+3m-4mn

=3m-2几2.

【点评】本题考查二次根式的混合运算，整式的混合运算，负整数指数幕，熟练掌握相关运算法则是解

题的关键.

考点卡片

1.实数与数轴

(1)实数与数轴上的点是一一对应关系.

任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表

示的数，不是有理数，就是无理数.

(2)在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是

在数轴上这个数对应的点与原点的距离.

(3)利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原

点左侧，绝对值大的反而小.

2.估算无理数的大小

估算无理数大小要用逼近法.

思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值.

3.合并同类项

(1)定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项.

(2)合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变.

(3)合并同类项时要注意以下三点：

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；

字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化

简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数

不变.

4.规律型：数字的变化类

探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识

的基础上去探究，观察思考发现规律.

(1)探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数

量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式.

(2)利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为无，再利用它们之间的关系，设

出其他未知数，然后列方程.

5.同底数塞的乘法

（1）同底数累的乘法法则：同底数塞相乘，底数不变，指数相加.

am-an=am+n（m,”是正整数）

（2）推广：am-an-aP=am+n+P（加，n,p都是正整数）

在应用同底数幕的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25,（/庐）3与（/庐）%（x-y）2

与（x-y）3等；②。可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数

相加.

（3）概括整合：同底数暴的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键.在运用时要抓

住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幕.

6.易的乘方与积的乘方

（1）幕的乘方法则：底数不变，指数相乘.

n=0nm（m,〃是正整数）

注意：①暴的乘方的底数指的是累的底数；②性质中“指数相乘”指的是暴的指数与乘方的指数相乘，这

里注意与同底数幕的乘法中“指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘.

（加〃=4%"（力是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计

算出最后的结果.

7.同底数塞的除法

同底数累的除法法则：底数不变，指数相减.

am^an=amn（a^O,m,〃是正整数，机＞〃）

①底数aWO,因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1,而不是0；

③应用同底数幕除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什

么.

8.完全平方公式

（1）完全平方公式：（a±6）2=a2±2ab+b2'.

可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”.

（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项

分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同.

(3)应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a,6可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和(或

差)的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方

公式.

9.整式的混合运算

(1)有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺

序相似.

(2)“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，

此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来.

10.分式有意义的条件

(1)分式有意义的条件是分母不等于零.

(2)分式无意义的条件是分母等于零.

(3)分式的值为正数的条件是分子、分母同号.

(4)分式的值为负数的条件是分子、分母异号.

11.分式的加减法

(1)同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

(2)异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异

分母分式的加减就转化为同分母分式的加减.

说明：

①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把

分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘.

②通分是和约分是相反的一种变换.约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式;

通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形

式.约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的.

12.分式的混合运算

(1)分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，

有括号的先算括号里面的.

(2)最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式.

(3)分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活

运算.

【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题

1.注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的.

2.注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式.分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分

式或整式.

3.注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法

的运算律运算，会简化运算过程.

13.零指数塞

零指数幕：a°=lQWO）

由+或"小心=心一，"=/可推出J=1（a#0）

注意：O°W1.

14.负整数指数幕

负整数指数暴：ap=^（aWO,p为正整数）

注意：①a#。；

②计算负整数指数累时，一定要根据负整数指数累的意义计算，避免出现（-3）2=（-3）X（-2）

的错误.

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数.

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序.

15.二次根式的定义

二次根式的定义：一般地，我们把形如6QN0）的式子叫做二次根式.

①“厂”称为二次根号

②a（a》0）是一个非负数；

学习要求：

理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被

开方数中的字母取值范围.

16.二次根式有意义的条件

判断二次根式有意义的条件：

（1）二次根式的概念.形如仿（a》0）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被开方数的取值范围.二次根式中的被开方数是非负数.

（3）二次根式具有非负性.VHQ20）是一个非负数.

学习要求：

能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的

非负性解决相关问题.

【规律方法】二次根式有无意义的条件

1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是

非负数.

2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.

17.二次根式的性质与化简

（1）二次根式的基本性质：

®Va>0；心0（双重非负性）.

②（迎）2=。QN0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.

a（a>0）

0（a=0）（算术平方根的意义）

{—a（a<0）

（2）二次根式的化简：

①利用二次根式的基本性质进行化简；

②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简.

Vab=(a20,620)6>0)

（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开

得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都

小于根指数2.

【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法

1.常见题型：与分式的化简求值相结合.

2.解题方法：

（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简.

（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果.

（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式.

18.二次根式的乘除法

(1)积的算术平方根性质：Va-b=Va9Vb(〃20,Z?NO)

(2