2025年中考数学二轮总复习：矩形

微专题25矩形

考点精讲

构建知识体系

-边

■•角

-®D—-对角线

［平行四边形］特殊化

矩形-I对称性

「角

1判定）—

i对角线

4®^

考点梳理

1.矩形的性质与判定（6年5考，常在几何题中涉及考查）

⑴定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

（2）矩形的性质

边对边平行且相等

角四个角都是直角

对角线矩形的对角线互相平分且相等

既是轴对称图形又是中心对称图形，有①.条对称轴,

对称性

对称中心为两条②的交点

⑶矩形的判定

①有一个角是③的平行四边形是矩形;

角

②有三个角是④的四边形是矩形

对角线对角线⑤的平行四边形是矩形

有一个角是直角

2.矩形面积

面积计算公式：S=ab（a,6表示边长）.

练考点

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1.如图，在矩形A3CD中，。为对角线AC,3。的交点，AEL3。于点E

(1)若对角线3。长为4,ZAOB=60°,则A3的长为,3C的长为

⑵若ND4E=2NA4E,则NE4c的度数为；

⑶若BE:ED=1：3,AB=2,则AD的长为.

第1题图

2.如图，要使平行四边形A3CD成为矩形，需添加的条件是()

第2题图

A.AB=BCB.AC1BD

C.AC=BDD.Z1=Z2

3.已知矩形的一边长为6cm,一条对角线的长为10cm,则矩形的面积为cm2.

高频考点

考点与矩形有关的证明及计算(6年5考，常在几何题中涉及考查)

例如图①，在口A3CD中，ZACB=90°,过点。作DE,3c交3C的延长线于点E.

⑴求证：四边形ACED是矩形；

(2)若A3=13,AC=12,求四边形ADE3的面积;

(3)如图②，连接3D,若tanNA3C=2,求证3。=2日豆)；

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AD

RCF

例题图②

(4)如图③，过点A作CD的垂线，交DE于点G,在(3)的条件下，试判断A3与AG的数量关

系，并说明理由.

AD

RCE

例题图③

真题及变式

命题点与矩形性质有关的计算(6年5考，常在几何题中涉及考查)

拓展训练

1.(北师八下习题改编)如图，在矩形A3CD中，对角线AC,3。相交于点。，M,N分别是

BC,0c的中点.若MN=2,则AC的长为________.

2.如图①，在矩形纸片A3CD中，AB=5,BC=3,先按图②操作，将矩形纸片A3CD沿过

点A的直线折叠，使点。落在边A3上的点E处，折痕为AR；再按图③操作，沿过点R的直

线折叠，使点C落在ER上的点“处，折痕为RG,则A,4两点间的距离为_________.

B节

图②图③

第2题图

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3.（2024广东黑白卷）北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平

行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图①中S矩形AEOM=S矩形CFON）”.问题解决：如

图②，舷是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作分别交A3,CD于点、E,F,

连接DM.若CT=4,则MF

图②

第3题图

4.如图，矩形A3CD中，以对角线3。为一边构造一个矩形使得另一边ER过原矩形

的顶点C.

⑴设RtACBD的面积为Si,RtABFC的面积为S,RtADCE的面积为S3,则Si$2+83（用

>”“=”或填空）;

（2）写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.

第4题图

新考法

5.［代数推理］（人教八下习题改编）如图所示，在矩形A3CD中，AB=12,AC=20,两条对角

线相交于点O.以OB,0c为邻边作第1个平行四边形OBBC对角线相交于点Ai,再以ALBI,

4c为邻边作第2个平行四边形ALBICC,对角线相交于点。1；再以OS,01cl为邻边作第

3个平行四边形OLBLB2cl…依此类推.则第6个平行四边形的面积为（）

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第5题图

A.6B.3

C.15D.12

6.［条件开放］(2024贵州)如图，四边形A3CD的对角线AC与3。相交于点O,AD//BC,ZABC

=90°,有下列条件：

@AB//CD,®AD=BC.

⑴请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形A3。是矩形;

(2)在(1)的条件下，若A3=3,AC=5,求四边形A3CD的面积.

第6题图

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考点精讲

①2②对角线③90°(或直角)④90°(或直角)⑤相等

教材改编题练考点

1.(1)2,2V3；(2)30°；(3)273

2.C

3.48

高频考点

例⑴证明：,•,NAC3=90°,

：.ACLBC,

'JDELBC,

：.AC//DE,

•••四边形ABC。是平行四边形，点E在3c的延长线上，

.,.AD//CE,

・•・四边形ACED是平行四边形，

VZACE=9Q°,

四边形ACED是矩形；

(2)解：VZACB=90°,AB=13,AC=12,

.,.在RtABCD中，BC=JAB2-AC2=J132-122=5,

•••四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,：.ZCAD=ZACB=9Q°,

■:DE1BE,：.ZE=90°,AZCAD=ZACB=ZE=9Q°,

，四边形ADEC是矩形，

：.BC=AD=CE=5,

：.BE=2BC=10,

'：AD//BE,ACLBE,

s四边形=|x(5+10)X12=90,

四边形ADEB的面积为90；

⑶证明：•••四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形,

：.AC=DE,AD=BC=CE.

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在RtAABC中，

AC

：

,tanZABC=—BC,

A—BC=2,gpAC=2BC.

设AD=3C=a,贝l)AC=DE=2a,BE=2BC=2a,

又,：DELBE,

••.△BDE是等腰直角三角形，

：.BD=V2BE=2yj2a,

.AD_a_V2

*'BD2y/2a4'

：.BD=2y/2AD；

(4)解：AB=2AG,理由如下：

'JAGLCD,

：.ZAGD+ZCDE=ZDCE+ZCDE=9Q°,/.ZAGD=ZDCE,：.AADG^ADEC,

.AG_AD

''DCDE'

♦.•四边形ABC。是平行四边形，四边形ACED是矩形，

：.AB=DC,AD=CE,ZDCE=ZABC,

：即

.tanZABC=tanZECE=—CE=2,DE=2CE,

.AG_AD_CE_1

*'DCDE2CE2'

：.AB=2AG.

真题及变式

1.8【解析】,：M,N分别是BC,0c的中点，.•.MN=303,•.•MN=2,，。^二%..•四边

形A3CD是矩形，：.AC=BD,BD=20B,：.AC=BD=2OB=8.

2.V10【解析】如解图，连接AH.由折叠性质可知，CF=HF,AE=AD=3,'：AB=5,：.BE

=CF=HF=2,在RtAAEH中，AE=AD=3,EH=EF-HF=3-2=1,：.AH=^AE2+EH2=

32+l2=V10.

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第2题解图

3.6【解析】如解图，过点“作GH〃A3分别交A。，3c于点G,H,.,.四边形3EMH与

四边形。6”方均为矩形，由定理知S矩形_BEA〃/=S矩形DGMF,:・SXBEM=SADFM,：・]BE，EM=

±1DFMF.•:BE=CF=4,EM=3,DF=2,：.MF=RP^.P^/V-f=—4XR=6.

2DF2

9

4.解：⑴=；【解法提示】：Si=^BDED,S矩形BDEF=BD-ED,.••SI=]S矩形BDEF,.'.52+S3

=]S矩形BDEF，♦♦Si=S2+S3.

（2）答案不唯一，如：△BCDsACFBsADEC.

选择△BCDs^DEC.

证明：,••四边形A3CD和3DER均为矩形，.•.NEDC+N3DC=90°,NC3D+N3DC=90°,

/.ZEDC=ZCBD,

又,：NBCD=NDEC=90°,

.,.△BC