2025年中考数学三轮复习之二次函数

2025年中考数学三轮复习之二次函数

选择题（共10小题）

1.（2025•永寿县校级一模）已知抛物线y=ar2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：

x-10123

y•••30-1m3…

①抛物线开口向下；②2a+b=0；③式的值为0；④图象不经过第三象限；⑤抛物线在y轴左侧的部分y

随x的增大而减小.其中正确的结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.（2025•石家庄模拟）如图，已知抛物线y=-/+px+q的对称轴为x=-3,过其顶点M的一条直线y=

日+6与该抛物线的另一个交点为N（-1,1）.要在坐标轴上找一点P,使得△PMN的周长最小，则点

尸的坐标为（）

4

A.（0,2）B.0）

C.（0,2）或（＜,0）D.（2,0）或（0,一多

3.（2025•浙江一模）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，下列函数的图

象中不存在“和美点”的是（）

20

A.y=-2x-1B.y=x+2C.y=-D.y=JC-2

4.（2025•乌鲁木齐一模）在同一平面直角坐标系中，函数y=ox-（〃70）和y=W0）的大致图象如

图所示，则函数了=〃%2+云+。（〃#0）的图象大致为（）

y

5.（2025•徐汇区一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线y=W+2x+m+5只经过两个

象限，那么M的取值范围是（）

A.-4B.m<-4C.m<-5D.m2-5

6.（2025•茄子河区一模）若函数y=（a-Dx2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为（）

A.-1B.2C.-1或2D.-1或2或1

7.（2025•满桥区校级四模）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=（2zn+l-3x-几-5与y=-7/+3%+M

-2几关于x轴对称，则加，〃的值为（）

A.m=-4,n=-3B.m=3,〃=8C.m=3,n=D.m=-4,n=1

8.（2025•四川模拟）如图，已知开口向上的抛物线y=o?+bx+c与无轴交于点（-1,。），对称轴为直线

x=l.下列结论：①a6c>0；②2a+b=0；③若关于x的方程以2+a+C+1=0一定有两个不相等的实数

根；@a>|.其中正确的个数有（）

9.（2025•雁塔区校级二模）在平面直角坐标系中，将抛物线G；y=/+2x+c（c为常数）向右平移2

个单位长度得到抛物线C2,若点ACm+3,yi）、B1,丝）都在抛物线C2上，且位于抛物线C2

的对称轴两侧，yiW”，则，"的取值范围是（）

A.0<m<lB.-2<m<0C.l<m<2D.-3<m<-2

10.（2025•陕西模拟）已知二次函数（a,b,c为常数，且aWO）的自变量x与函数y的几组

对应值如下表:

X...-3-1015

y•・・-15-135-7

则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）

A.图象的开口向上

B.当％>2时，y的值随尤值的增大而减小

C.图象的对称轴是直线x=l

D.图象不经过第二象限

二.填空题（共5小题）

11.（2025•武汉模拟）如图，抛物线与x轴交于点（3,0）,顶点坐标为（1,3）,抛物线与y轴交于一点,

则该点坐标是.

12.（2025•武汉模拟）实数a和b,若aNb,我们定义Afar（a,b）=a,比如Max（1,3）=3.已知关

于x的函数（-/+4x,kx）,下列结论：①函数图象经过原点；②若上<0,则方程y=4有三个

不等实根；③若k=l,则时，y有最小值3；④若G0时，y的值随x的值增大而增大，则左?2.其

中正确的结论是（填写序号）.

13.（2025•越秀区校级一模）将二次函数y=-x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函

数的图象如图所示.当直线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值

为

14.（2025•闵行区一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°，点A、8在抛物线y=/上,

点C在y轴上，A、8两点的横坐标分别为1和6（b>l）,b的值为.

15.（2025•和平区模拟）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相同的点，则称该点为这个函数图象

的“横纵相同点”.若将函数y=/-2x+2的图象绕龙轴上一点A旋转180。，当旋转后的图象上有且只

有1个“横纵相同点”时，则点A的坐标为.

三.解答题（共5小题）

16.（2025•新乡模拟）夏天，为了防止蚊虫污染饭菜，小明的爷爷用细竹蔑编了一个罩子保护饭菜（如图

1）.它的横截面可以看成一个抛物线的形状.小明看到后很喜欢，问爷爷菜罩的尺寸，爷爷告诉他，最

宽处直径为80厘米，最高处高度为40厘米，随后小明利用抛物线的知识以菜罩左边缘为原点建立平面

直角坐标系（如图2）.

（1）请你帮小明求出抛物线的解析式.

（2）如果菜罩紧贴桌面盖上，菜罩内盘子放成一排，那么爷爷编的菜罩内能横着放下三个直径为24

厘米，高度为3厘米的盘子吗？

图1图2

17.（2025•碑林区校级二模）如图，抛物线y=义/+bx—4与x轴交于A、C两点（点A在点C的右侧）,

与y轴交于点8，MOA=OB.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P在抛物线上，当NPBA+NCBO=45°时，求点P的横坐标.

18.(2025•秦都区校级模拟)中医常用碾药工具一一药碾子(如图1)起源于东汉时期，它不仅是一种工

具，更是一种文化的象征，代表了古代医者的智慧和对中药炮制的精益求精.图1中碾槽外轮廓的上沿

和下沿可分别近似地看成两条抛物线的一部分，如图2,上沿和下沿的两个交点分别为点。和点A,点

。与点A到水平地面的距离相等.上沿抛物线的顶点为H,下沿抛物线的顶点为P,以OA所在直线为

x轴，过点。且垂直于OA的竖直线为y轴建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线满足关系式

113

y=22(%—4)—PH=?dm.

(1)求下沿抛物线的函数表达式；

(2)点8与点C是两个支撑架与下沿抛物线的交点，若点8与点C到x轴的距离均为|dm,求点B

与点C之间的距离.

图I图2

19.(2025•乌鲁木齐一模)某商场销售一批进价为10元/件的日用品，经调查发现，每月销售件数y(件)

与销售价格x(元/件)之间的关系如图所示，每月销售该商品获得的利润为W(元).

(1)分别求出y与尤，卬与x的函数解析式；

(2)当商场每月销售该商品的利润为4000元时，求该商品的定价；

(3)为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为多少？最大利润是多少？

y

20.（2025•乌鲁木齐一模）设二次函数y=/+2/"x-2%+3（加为常数）的图象为

【特例感悟】

（1）当机=2,-3WxW0时，二次函数y=/+2mx-2〃计3（机为常数）的最小值是、最大

值是;

【类比探索】

（2）当直线y=与图象/在第一象限内交A、B两点（点A在点8的左边），A点横坐标a,

点B的横坐标6,1a=b,求在aWxWb范围内二次函数2优+3（机为常数）的最大值与最

小值的差；

【纵深拓展】

（3）①不论相为何实数时，图象/一定会经过一个定点，求出这个定点坐标；

②当0WxW2时，二次函数y=f+2ffu-2m+3（相为常数）的最大值为9,那么图象/的对称轴与x轴

的交点横坐标会大于0小于2吗？试说明你的理由，并指出满足条件的对称轴与定点之间的距离.

2025年中考数学三轮复习之二次函数

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案CACAADCDBB

选择题（共10小题）

1.（2025•永寿县校级一模）已知抛物线y=/+bx+c上部分点的横坐标X与纵坐标y的对应值如表：

x•••-10123

y30-1m3

①抛物线开口向下；②2a+6=0；③机的值为0；④图象不经过第三象限；⑤抛物线在y轴左侧的部分y

随x的增大而减小.其中正确的结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征.

【专题】二次函数图象及其性质；推理能力.

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决.

【解答】解：由表格可知，抛物线的对称轴是直线％=二*=1,

；.一事=1,

2a

2a+b=0,故②正确；

抛物线的顶点坐标是（1,-1）,有最小值，故抛物线y=/+6x+c的开口向上，故①错误；

当y=0时，x=0或x=2,故机的值为0,故③正确；

•••抛物线开口向上，顶点在第四象限，抛物线与x轴的交点为（0,0）和（2,0）,

...抛物线不经过第三象限，故④正确；

:抛物线>=以2+法+。的开口向上，对称轴是直线X=l,

当尤<1时，抛物线呈下降趋势

抛物线在y轴左侧的部分y随尤的增大而减小，故⑤正确.

故选：C.

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用

二次函数的性质解答.

2.(2025•石家庄模拟)如图，已知抛物线y=-/+px+q的对称轴为x=-3,过其顶点〃的一条直线y=

区+6与该抛物线的另一个交点为N(-I,1).要在坐标轴上找一点P,使得△PMN的周长最小，则点

P的坐标为()

4

A.(0,2)B.(§,0)

4.4

C.(0,2)或(一10)D.(2,0)或(0,-|)

【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；轴对称-最短路线问题；两点间的距离公式；

一次函数图象上点的坐标特征.

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力.

【答案】A

【分析】先由对称轴和点N坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使△PMN

的周长最小,的长度一定，所以只需PM+PN取最小值即可.然后，过点M作关于y轴对称的点M',

连接N,M'N与y轴的交点即为所求的点P(如图1)；过点M作关于x轴对称的点,连接

N,M'N与x轴的交点即为所求的点P(如图2)；分别计算两种情况下的周长再取最小值即可.

【解答】解：如图，:•抛物线的对称轴为x=-3,点N(-1,1)是抛物线上的一点，

(1=-1-p+q

解得仁」

；.y=-x2-6%-4=-(x+3)2+5,

：.M(-3,5),

的周长=MN+PM+PN,且MN是定值，所以只需PM+PN最小.

如图1,过点M(-3,5)作关于y轴对称的点(3,5),连接N,M'N与y轴的交点即为所

求的点p.

设直线A/'N的解析式为：y=ax+t(〃W0),

由条件可得：=

解得

故该直线的解析式为y=x+2,

当x=0时，y=2,即P(0,2),

■:PM+PN=M'N,M'(3,5),N(-l,1),

：.MzN=7[3-(-l)]2+(5-l)2=4V2,

此时三角形PMN的周长=4V2+MN；

同理，如图2,过点M(-3,5)作关于x轴对称的点M'(-3,-5),连接“N,M'N与x轴的

交点即为所求的点P,

设直线N的解析式为：y=ax+t(a#0),

由条件可得：5”一汽+。

解得

5=4

故该直线的解析式为y=3x+4,

44

--

当y=0时，x=-33

■:PM+PN=M'N,M'(-3,-5),N(-l,1),

:.M'N=7[-3-(-1)]2+(-5-I)2=2V10,

此时三角形PMN的周长=+MN；

V4V2=V32，2710=V40.

：.4y/2+MN＜2410+MN,

点尸在y轴上时，三角形PAW的周长最小，即点尸的坐标是(0,2).

故选：A.

【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面

直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，

所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P,不要漏解，这是同学们容易忽略的地方.

3.(2025•浙江一模)在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，下列函数的图

象中不存在“和美点”的是()

20

A.y=-2x-lB.y=x+2C.y=-D.y=x^-2

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特

征.

【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；应用意识.

【答案】c

【分析】由“和差点”的定义可得点尸在直线＞=-X上，判断出函数与直线y=-尤没有交点即可..

【解答】解：由“和差点”的定义可得点P在直线y=-无上，

直线y=-2x-l,直线y=x+2,抛物线＞=/-2都与直线y=-尤都有交点，函数与直线y=-x

没有交点，

故选项A,B,。不符合题意，

故选：C.

【点评】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上的点的坐标特征，反比例函数图象

上的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

4.(2025•乌鲁木齐一模)在同一平面直角坐标系中，函数y=ax-6(°70)和y=；(c力0)的大致图象如

图所示，则函数(a#0)的图象大致为()

%

ox

【考点】二次函数的图象;

【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力.

【答案】A

【分析】根据反比例函数图象与系数关系、一次函数图象与系数的关系、二次函数图象与系数的关系进

行解答即可.

【解答】解：•..一次函数图象经过第一、二、四象限,

..•反比例函数y=W（cK0）的图象在第二、四象限,

b<0,c<0,

.,.函数了=办2+公+。（。=0）图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交点在负半轴，选项D符合.

故选：A.

【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，熟练掌握相关函数图象与

其系数的关系是关键.

5.（2025•徐汇区一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线y=，+2x+m+5只经过两个

象限，那么m的取值范围是（）

A.m，-4B.m<-4C.m<-5D.mN-5

【考点】二次函数图象与系数的关系.

【专题】二次函数图象及其性质；应用意识.

【答案】A

【分析】根据抛物线抛物线y=/+2x+〃z+5只经过两个象限，且抛物线开口向上，得出最小值大于等于

0,得出结论.

【解答】解：y=x2+2x+m+5=(x+1)2+m+4,

抛物线开口向上，对称轴为直线尤=-1,顶点坐标为(-1,7"+4),

:抛物线yn/+Zr+m+S只经过两个象限，

...“7+420,

.,.m^-4,

故选：A.

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是利用数形结合的思想解答.

6.(2025•茄子河区一模)若函数y=(a-1)/-4x+2a的图象与无轴有且只有一个交点，则a的值为()

A.-1B.2C.-1或2D.-1或2或1

【考点】抛物线与x轴的交点.

【专题】二次函数图象及其性质；应用意识.

【答案】D

【分析】讨论：当a-1=0,即a=l,函数为一次函数，与x轴有一个交点；当。-1力0时，利用判别

式的意义得到△=(-4)2-4(〃-1)X2〃=0,然后解两个关于〃的方程即可.

【解答】解：当“-1=0,即。=1,函数为一次函数y=-4x+2,它与x轴有一个交点；

当a-1=0时，根据题意得△=(-4)2-4(〃-1)义2〃=0,解得a=-1或a=2,

综上所述，〃的值为-1或2或1.

故选：D.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax1+bx+c(mb,c是常数，与x

轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；A=庐-4碇决定抛物线与x轴的交点个数.

7.(2025•海桥区校级四模)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=(2m+l)x2-3x-及-5与y=-7了+3%+机

-2孔关于x轴对称，则相，〃的值为()

A.m=-4,n=-3B.m=3,〃=8C.m=3,n=D.m=-4,n=l

【考点】二次函数图象与几何变换；解二元一次方程组.

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力.

【答案】c

【分析】依据题意，由抛物线＞=（2〃z+l）/-3x-”-5与y=-7/+3x+〃z-2w关于x轴对称，从而对

于y=-7/+3x+加-2n,取-y=-7/+3尤+m-2n,贝。y=1£-3x-m+2n,故抛物线y=（2〃z+l）/-

3x-w-5与y=7/-3x-优+2〃重合，可得2m+1=7,-m+2n=-n-5,进而计算可以得解.

【解答】解：由题意，•..抛物线＞=（2优+1）%2-3x-〃-5与y=-7x?+3x+机-2"关于x轴对称，

对于y=-7X2+3X+/W-2n,取-y=-lx2+3x+m-2n,贝!]y=7x2-3x-m+2n.

；・抛物线y—（2m+l），-3尤-w-5与y=7x1-3x-m+2n重合.

2m+l—1,-m+2n--n-5.

.'.m—3,n——o.

故选：C.

【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、解二元一次方程组，解题时要熟练掌握并能灵活运

用二次函数的性质是关键.

8.（2025•四川模拟）如图，已知开口向上的抛物线＞=0?+法+。与x轴交于点（-1,0）,对称轴为直线

x=l.下列结论：①次?c＞0；②2a+b=0；③若关于x的方程a^+fcr+c+ln。一定有两个不相等的实数

根；@a＞|.其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；根的判别式.

【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力.

【答案】D

【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴以及与y轴的交点即可判断①；利用抛物线的对称轴即可判断

②；由抛物线与y轴的交点在（0,-1）的下方，即可判断③；由对称轴方程得到6=-2a,由尤=-1

时，y=0得到即a-b+c=0,贝!Ic=-3a,所以则可判断③.

【解答】解：•••抛物线开口向上，

•••抛物线交y轴于负半轴，

c<0,

Z?<0,

abc>0,故①正确.

抛物线的对称轴是直线x=l,

b

一而=1,

2a+b=0,故②正确.

抛物线y=Q?+foi+c与y轴的交点在(0,-1)的下方，

抛物线>方x+c与直线y=-1一定有两个交点，

关于X的方程〃/+法+计1=0一定有两个不相等的实数根，故③正确;

・•b~~~2a,

时，y=0,艮|3〃-Z?+c=0,

a+2a+c=0,BPc=-3〃,

而eV-1,

-3〃V-1,

i

故④正确.

故选：D.

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题，也考查了二次函数的性质.

9.(2025•雁塔区校级二模)在平面直角坐标系中，将抛物线Cjy=x2+2x+c(c为常数)向右平移2

个单位长度得到抛物线C2,若点A(m+3,yi)、B(m-1,y2)都在抛物线。2上，且位于抛物线Q

的对称轴两侧，yiW”，则机的取值范围是()

A.0<m<lB.-2<m<0C.l<m<2D.-3<m<-2

【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征.

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力.

【答案】B

【分析】依据题意，根据平移规律得出，再根据点A(m+3,yi)、B(m-1,»)都在抛物线。上，

且位于抛物线C2的对称轴两侧，确定点A在对称轴右侧，点3在对称轴左侧，而且由yiV”确定点A

(m+3,yi)到对称轴的距离小于点B(m-1,>2)到对称轴的距离，求解即可.

【解答】解：抛物线C1为yuf+Zx+cu(x+1)2+c-1,

...将抛物线Ci向右平移2个单位长度得到抛物线C2的解析式为：y=(x-1)2+c-1,

.♦.其对称轴为直线x=l.

•••都在抛物线C2上，且位于抛物线C2的对称轴两侧，yiW”，

m+3>m-1,点A(m+3,yi)、B(w-1,y2)位于抛物线C2的对称轴两侧，

.(m+3>1

Im—1<1

：.-2<m<2,

又

...点A(优+3,yi)到对称轴的距离小于点B(机-1,”)到对称轴的距离，即：m+3-1<1-(m-1),

.,.机<0.

综上所述：-2<m<0,

故选：B.

【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何

变换，熟知”上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键.

10.(2025•陕西模拟)已知二次函数>=办2+法+(;(a,b,c为常数，且°力0)的自变量x与函数y的几组

B.当x>2时，y的值随尤值的增大而减小

C.图象的对称轴是直线x=l

D.图象不经过第二象限

【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系.

【专题】二次函数图象及其性质；应用意识.

【答案】B

【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据a=-1<0即可判断选项A错误；根据二次函

数的增减性和对称性即可判断选项8正确、选项C错误；根据二次函数图象的开口向下，与y轴的交

点（0,3）位于y轴正半轴上，顶点坐标为@，竽），位于第一象限即可判断选项。错误.

CL—b+c=-1

【解答】解：将点（-1,-1）,（1,5）和（0,3）代入二次函数y=ax2+bx-^-c得：a+b+c=5，

c=3

a=—1

解得b=3，

c=3

二次函数的解析式为y=-x2+3x+3=-（x-1）2+

a=-KO,

，函数图象的开口向下，故A选项错误，不符合题意；

对称轴为直线x=

.•.当x>|时，y的值随x值的增大而减小，

当尤>2时，y的值随x值的增大而减小，故B选项正确，C选项错误；

•••二次函数图象的开口向下，与y轴的交点（0,3）位于y轴正半轴上，顶点坐标为G，?），位于第

一象限，

,这个二次函数的图象经过第一、二、三、四象限，故。选项错误，不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的

关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键.

二.填空题（共5小题）

11.（2025•武汉模拟）如图，抛物线与无轴交于点（3,0）,顶点坐标为（1,3）,抛物线与y轴交于一点，

则该点坐标是（。，，）.

【考点】抛物线与X轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征.

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力.

【答案】(0,

【分析】根据顶点坐标设二次函数解析式为y=a(x-1)2+3QW0),运用待定系数法得到解析式，令

x=0解得函数值即可.

【解答】解：二.顶点坐标为(1,3),

设二次函数解析式为y=a(x-1)2+3QW0),

把点(3,0)代入得，a(3-1)2+3=0,

解得,a=

+3,

QQ

当x=0时，y=-[x(0-1)2+3=q,

q

该点坐标是(0,[),

故答案为：(0,?).

【点评】本题考查了二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴交点的计算是

解题的关键.

12.(2025•武汉模拟)实数0和b,若我们定义Afa尤Ca,b)—a,比如Max(1,3)=3.已知关

于x的函数y=Max(-/+4x,kx),下列结论：①函数图象经过原点；②若k<0,则方程y=4有三个

不等实根；③若左=1,则x2l时，y有最小值3；④若时，y的值随x的值增大而增大，贝U上22.其

中正确的结论是①③④(填写序号).

【考点】二次函数的性质；根的判别式.

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力.

【答案】①③④.

【分析】①依据题意，当尤=0时，-/+4x=0,依=0,从而可以判断得解；

②在平面直角坐标系中画出yi=-d+4%与y2=Ax(左<0)的图象，可确定函数M的图象，M的图象与

y=4这条直线交点的个数即为y=4的实数根的个数；

③在平面直角坐标系中画出卢=-d+标与y2=履的图象，可确定x'l时函数M的图象，根据图象可

求出尤时，M的最小值；

④在平面直角坐标系中画出yi=-?+4%与”=依(％=2,k>2,左<2)的图象，根据图象可确定左不

同取值的情况下"的图象，根据图象可判断〃的增减性，以此反过来确定人的取值即可.

【解答】解：①由题意，当x=0时，-/+4x=0,kx=O,

函数图象经过原点，故①正确.

②在平面直角坐标系中画yi=-x2+4x与*=丘（左＜0）的图象如下，

由图象可以发现，M的图象与y=4这条直线只要两个交点，

当左＜0时，方程y=4有两个不等的实根，

故②不正确.

③当左=1时，yi—x,

在平面直角坐标系中画出yi=-X2+4X与»2=kx的图象如下,

由题中M的定义可知，当1WXW3时，M—yi,当尤＞3时，M—yi,

当x=l时，-12+4义1=3,当x=3时，M=-32+4X3=3,

根据图象可知，当时，M最小值为3.

故③正确.

由图可知，当x20时，若左=2,M的值随x的值增大而增大,

若左<2,M的值随x的增大先增大再减小再增大，

若左>2,M的值随x的值增大而增大，

当x20时，M的值随尤的值增大而增大，则心2.

故④正确.

故答案为：①③④.

【点评】本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用，在平面直角坐标系中画出图象确定新函数M

的图象是解决此题的关键.

13.(2025•越秀区校级一模)将二次函数y=-7+2r+3的图象在无轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函

数的图象如图所示.当直线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，6的值为一?或-3.

【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二

次函数图象与几何变换.

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力.

【答案】-金或-3.

【分析】分两种情形：如图，当直线y=x+6过点B时，直线>=尤+6与该新图象恰好有三个公共点，当

直线y=x+6与抛物线y=(x-1)2-4(-1WXW3)只有1个交点时，直线y=x+6与该新图象恰好有

三个公共点，分别求解即可.

【解答】解：二次函数解析式为y=-/+2x+3=-(x-1)2+4,

抛物线y=-?+2A-+3的顶点坐标为(1,4),

当y=0时，x2-2%-3=0,

解得：xi=-2>X2—3,

则抛物线y=-d+2x+3与x轴的交点为A(-1,0),B(3,0),

把抛物线y=-？+2A-+3图象龙轴上方的部分沿x轴翻折到无轴下方,

则翻折部分的抛物线解析式为尸(X-1)2-4顶点坐标“(1,-4),

如图，当直线y=x+b过点5时，直线y=x+Z?与该新图象恰好有三个公共点，

・・・3+b=0,

解得：b=-3；

当直线丁=%+/?与抛物线丁=(x-1)2-4(-1«3)只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好

有三个公共点，

即(x-1)2-4=1+匕有相等的实数解,

整理得：x2,-3x-b-3=0,A=32-4(-/?-3)=0,

解得：%=—%，

所以》的值为：-3或—孕，

故答案为：-竽或-3.

【点评】此题主要考查了抛物线与x轴交点的坐标，掌握翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次

函数的图象和性质，利用数形结合的方法是解本题的关键.

14.(2025•闵行区一模)如图，在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°，点A、B在抛物线y=/上，

点C在y轴上，A、2两点的横坐标分别为1和b(b>l),b的值为2.

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形.

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力.

【答案】2.

【分析】利用“左型全等”求得B点的坐标，代入y=V即可求解.

【解答】解：过B作轴于E,过A作AOLy轴于。，

在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,贝!JAC=BC,

VA>B两点的横坐标分别为1和b

：.AD=1,BE=b,

:点A、8在抛物线y=d上，

AA（1,1）,B（b,庐），

VZACB=90°,

AZACD+ZBC£=90°,

VZACD+ZCAD^90°,

：.ZBCE=ZCAD,

:.ABEC冬ACDA（AAS）,

：.CE=AD=1,CD=BE=b,

：.0E=OD+CD+CE=l+b+l=2+b,

:.序=2+b,

整理户-%-2=0,

解得：b=2或-1（舍去），

的值为2,

故答案为：2.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形

的判定与性质，构造全等三角形解题是关键.

15.（2025•和平区模拟）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相同的点，则称该点为这个函数图象

的“横纵相同点若将函数y=/-2x+2的图象绕龙轴上一点A旋转180。，当旋转后的图象上有且只

有1个“横纵相同点”时，则点A的坐标为（；,0）.

8

【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征.

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力.

1

【答案】(3o).

【分析】依据题意，由抛物线为y=/-2x+2=(尤-1)2+1,可得顶点为(1,1),又设A(a,0),绕

1+7711+71

A旋转180°后的顶点为(m,”)，则——=a,——=0,从而相=2。-1,w=-1,可得旋转后抛物线

22

的解析式为y=-(x-2«+l)2-1,又当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”，故可令-(x

-2A+1)2-1—x,此时A=(4a-3)2-4[(2a-1)2+1]=0,求出a后即可判断得解.

【解答】解：由题意，•••抛物线为y=7-2x+2=(x-1)2+1,

顶点为(1,1).

又设4(a,0),绕A旋转180°后的顶点为(机，〃),

.1+m1+n

----=Q,---=0.

22

•*TYl~~2〃-1,Tl~~~1.

旋转后抛物线的解析式为y=-(x-2a+l)2-1.

又•••当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”，

.,.令-(%-2。+1)2-1—x,此时△=(4a-3)2-4[(2a-1)2+1]=0,

整理得-8a+l=0,

••d~~'Q.

1

.,.A(一，0).

8

1

故答案为：(30).

8

【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握

并能灵活运用二次函数的性质是关键.

三.解答题(共5小题)

16.(2025•新乡模拟)夏天，为了防止蚊虫污染饭菜，小明的爷爷用细竹箧编了一个罩子保护饭菜(如图

1).它的横截面可以看成一个抛物线的形状.小明看到后很喜欢，问爷爷菜罩的尺寸，爷爷告诉他，最

宽处直径为80厘米，最高处高度为40厘米，随后小明利用抛物线的知识以菜罩左边缘为原点建立平面

直角坐标系(如图2).

(1)请你帮小明求出抛物线的解析式.

(2)如果菜罩紧贴桌面盖上，菜罩内盘子放成一排，那么爷爷编的菜罩内能横着放下三个直径为24

厘米，高度为3厘米的盘子吗？

图1图2

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识.

【答案】(1)y=^(x-40)2+40；(2)爷爷编的菜罩内能横着放下三个这样的盘子，理由见解析.

【分析】(1)依据题意，设抛物线解析式为y=a(x-/i)2+k,结合顶点坐标为(40,40),以及抛物线

过点(80,0),求出a后即可判断得解；

(2)依据题意，由三个盘子放成一排，可得宽度为3X24=72(cm),又当x=8°^X-=4时，尸—东

(4-40)2+40=7.6>3,故可判断得解.

【解答】解：(1)由题意，设抛物线解析式为y=a(尤-/?)2+k,

又：顶点坐标为(40,40),

...抛物线为y=a(x-40)2+40,

又：抛物线过点(80,0),

.•.0=(80-40)2a+40.

•,a—而・

，抛物线的解析式为y=焉(久—40)2+40.

(2)由题意得，能放下.理由如下：

•••三个盘子放成一排，

二宽度为3X24=72(cm).

又：当x=8。一失24=4时,尸—焉(4-40)2+40=7.6>3,

爷爷编的菜罩内能横着放下三个这样的盘子.

【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键.

17.(2025•碑林区校级二模)如图，抛物线y=+bx—4与x轴交于A、C两点(点A在点C的右侧)，

与y轴交于点8,且。4=08.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点尸在抛物线上，当/P8A+/C8O=45°时，求点P的横坐标.

【考点】二次函数综合题.

【专题】压轴题；运算能力.

【答案】⑴-4；

13

(2)点尸的横坐标为5或二.

4

【分析】(1)先求出A,5的坐标，再将点A的坐标代入抛物线的解析式即可解答；

(2)令y=0可得。(-3,0),分两种情况：①如图1,在。4上取一点C,使OC=OC=3,作射线

交抛物线于点尸，根据直线3尸和抛物线的交点即可解答；②如图2,当BC，5P时，ZCBO+ZPBA

=90°-45°=45°,根据等角的三角函数即可解答.

【解答】解：(1)当x=0时，y=-4,

・••点B的坐标为(0,-4),08=4,

9：OA=OB,

・・・OA=4,

.'.A(4,0),

将点A的坐标(4,0)代入抛物线y岩/+一4中得：

16

一+4Z?-4=0,

3

抛物线的表达式为：尸#-g-4；

,,11

(2)当y=0时，-x02-^-4=0,

解得：%i=4,X2=-3,

：.C(-3,0),

分两种情况：

①如图1,在OA上取一点C,使0c=。。=3,作射线交抛物线于点P,

：.ZCBO=ZCBO,

'：OA^OB,NAOB=90°,

AAOB是等腰直角三角形，

AZABO=45°,

AZPBA+ZCBO=ZCBO+ZPBA=45°,点P满足条件，

:点8的坐标为（0,-4）,

.•.设2尸的解析式为：y^kx-4,

把点。的坐标为（3,0）代入得：3k-4=0,

.".k=

.,.8P的解析式为：y=%-4,

-x2—ix-4=-4,

333

解得：xi=0（舍），X2=5,

点尸的横坐标为5；

②如图2,当BC_LBP时，ZCBO+ZPBA=90°-45°=45°，点尸满足条件,

过点尸作PM_L08于M,

；.NPBM+/CBO=NCB0+/BC0=9U°,

：.ZPBM=ZBCO,

tanZPBM—tanZBCO,

tPMOB4

••BM-OC-3’

11

设点尸的坐标为（6丁-手-4）,

t4

n=o（舍），热=彳，

13

点P的横坐标为一；

4

13

综上，点P的横坐标为5或一.

4

【点评】本题是二次函数综合题，考查抛物线与x轴交点，三角函数，待定系数法求函数的解析式，二

次函数的性质等知识，第二问要注意运用分类讨论的思想解决问题.

18.（2025•秦都区校级模拟）中医常用碾药工具一一药碾子（如图1）起源于东汉时期，它不仅是一种工

具，更是一种文化的象征，代表了古代医者的智慧和对中药炮制的精益求精.图1