八年级（下）期中数学试卷（拔尖卷）（考查范围：第16~18章）-2024-2025学年沪科版八年级数学下册（含答案）

2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷（拔尖卷）

【沪科版】

考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第16〜18章

考卷信息：

本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分

钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容

的具体情况！

第I卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

（24-25八年级•重庆・开学考试）

1•估计UI+3］义万的值应在（）

A.18到19之间B.19到20之间

C.20到21之间D.21到22之间

（24-25八年级•浙江杭州咱主招生）

2.已知关于x的方程（1-2后-2vm》-1=0有实数根，则左的取值范围是（）

A.k>2B.k<2

C.-l<k<2D.-l<k<2S.k^-

2

（2024•山东泰安•模拟预测）

3.如图，在△NBC中，/D是8C边的中线，ZADC=30°,将△4DC沿折叠，使C点

落在C'的位置，若8C=4,则3C'的长为（）

A.2追B.2C.4D.3

（24-25八年级•安徽安庆•阶段练习）

4.已知J7="，K=b,则不3等于（）

试卷第1页，共8页

（24-25八年级•湖北武汉•阶段练习）

5.有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，

其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所

示.如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2024次后，形成

的图形中所有的正方形的面积和是（）

A.2025B.2024C.22023

（24-25八年级・浙江•期中）

6.如图，要测量池塘两岸相对的两点3,。的距离，己经测得/23C=45。，NACD=90。,

AC=CD,8c=15亚米，/8=40米，则BD的长为（）

A.50B.40C.4072D.40A/3

（24-25八年级•甘肃天水•期中）

7.字母x、y表示两个有理数，且xwy,现规定min{x,y}表示x、＞中较小的数，例如:

min{3,-l}=-1,min{-l,0}=-1,若min,-3,3--}=-2x,则x的值为（）

C.3或1D.-3或1

（24-25八年级•重庆万州•期中）

8.计算：2024z-J2023x2024x2025x2026+1的值为（

试卷第2页，共8页

A.-2024B.-2023C.-2025D.-1

（24-25八年级•浙江绍兴•期末）

9.在解一元二次方程时，小马同学粗心地将/项的系数与常数项对换了，使得方程也变

了.他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2,另一根等于原方程的一个根.则原

方程两根的平方和是（）

32-45

A.-B.-C.-D.一

2354

（24-25八年级・广东深圳・期末）

10.如图，在三角形AB2+AC2=BC2,且=8是8C上中点，尸是射线

上一点.E是上一点，连接£7"EC,BF=FE,点G在ZC上，连接3G,

NECG=2NGBC,/£=5万，NG=4/，则CF的长为（）

A.9&B.872C.70D.9

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

（24-25八年级•河南洛阳•期中）

11.如图，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16m）,并在与墙平行的

一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，仓库的长和宽分别为m与

m.

〃“/〃/〃〃/〃〃/〃〈/〃/

墙

-------11---------

（24-25八年级•河南驻马店•阶段练习）

12.如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长4D=80cm,高/8=60cm,水深

AE=40cm.在水面£尸上紧贴内壁的G处有一块面包屑，且EG=60cm.一只蚂蚁想从鱼

缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为cm.

试卷第3页，共8页

（2025八年级•安徽合肥•阶段练习）

13.分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去.指的是如果

代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根

1Ix(^-l)

号的目的.如:=V2-1,观察此算式规律回答问题,已知

1+V21)

2024

m=,则川一2m-2024的值是.

（24-25八年级•安徽六安•阶段练习）

14.如图，在Rta/BC中，ZC=90°,4=30。，AC=443,M是NC的中点，N是AB

上任意一点，以儿W为对称轴折叠A/MN,得到ADWN,点/的对应点为点。（点8,N,

。在4c的同一侧）.

（1）当时，4NM=；

（2）当DNL48时，的长为.

（24-25八年级•辽宁沈阳•期中）

15.如图，点C为直线/上的一个动点，4。，/于。点，于£点，点£在点。右侧,

并且点A、8在直线/同侧，AD=DE=8,BE=2,当CD长为时，△ABC为直角

三角形.

（24-25八年级•安徽合肥•期中）

试卷第4页，共8页

16.如图，长方形48CD中，AB=5cm,AD=4cm,动点尸从点。出发，沿D4向终点N

以lcm/s的速度移动，动点0从点/出发沿/-8-C向终点C以3cm/s的速度移动，如果

尸、。分别从。、/同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止.

（1）若经过x秒，用x的代数式表示/尸，则/尸=cm；

（2）经过秒时，以/、尸、0为顶点的三角形面积为2cm二

,4个

d----------------------------------'C

第n卷

三.解答题（共9小题，满分72分）

（24-25八年级•江苏扬州•期末）

17.已知关于_¥的一元二次方程尤2-（2〃7+1b+/+"7=0.

（1）求证：无论加取何值，方程都有两个不相等的实数根；

（2）如果方程的两个实数根为网展（国＞了2）,且心为整数，求整数加所有可能的值.

再

（24-25八年级•湖南邵阳•期末）

11X（VF-V4）75-V4厂r

18.阅读下列解题过程：正7国二m+荷退，=两口可请解答下列

问题：

3

（1）观察上面解题过程，计算师—方,

（2）请直接写出j+的结果.（«-1）

11111

⑶利用上面的解法,请化简：不+右炉忑不+…+而屈+回+阿

（24-25八年级•海南信州•期末）

19.如图，某公园有一块四边形草坪43。，计划修一条A到C的小路，经测量，

40=90°,AD=14m,DC=48m,AB=40m,C5=30m.

试卷第5页，共8页

⑴求小路/c的长；

（2）萌萌带着小狗在草坪上玩耍，萌萌站在点3处，小狗从点B开始以2m/s的速度在小路上

沿BfCf4的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路C4上奔跑时，小狗需要跑

多少秒与萌萌的距离最近？

（24-25八年级•吉林长春•开学考试）

20.图①、图②、图③均是6x6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△/8C的

顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求找格点

圉CD图②，图，:海

（1）在图①中，连结NM、BM、CM,^,AM=BM=CM-

（2）在图②中，连结BM、CM,使/8MC+/B/C=180。；

（3）在图③中，连结使+/历1C=9O。.

（24-25八年级•福建泉州•期中）

21.如果关于x的一元二次方程/+法+。=0（。NO）有两个实数根，且其中一个根比另一个

根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”.例如一元二次方程/+x=0的两个根是玉=0,

%2=T，则方程/+X=0是“邻根方程”.

⑴己知关于X的方程/-（加-1）无-%=0是常数）是“邻根方程”，求m的值；

（2）若关于x的方程分2+&+1=0是常数,且。＞0）是“邻根方程"，令"⑵-/,试

求1的最大值.

（24-25八年级•安徽滁州・期中）

22.任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数7:切＜?＜〃，（其中加为满足

不等式的最大整数，〃为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“行知区间”为（九”）,如

试卷第6页，共8页

1＜行＜2,所以逝的行知区间为(1,2).

⑴无理数而■的“行知区间”是；

(2)若0=后与+行工-V7,求。的“行知区间”；

(3)实数x,y,"满足j2x+3y-〃+j3x+4y-2"=Jx+y-41+，41-x-y,求”的算术平

方根的“行知区间”.

(24-25八年级•上海嘉定•期中)

23.上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销

商统计了某品牌头盔9月份到H月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售

720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同.

(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500

个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000

元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？

(24-25八年级•江苏扬州・期中)

24.如图，△4BC中，AC=BC,NACB=90。,过点C任作一条直线CO,将线段5c沿直

线CD翻折得线段CE,直线/£交直线于点尸，直线BE交直线CD于G点.

/\/,

AR

⑴设N8CD=加。，贝=°(用含加的代数式表示)，并证明：NAEB=45。；

(2)猜想线段/尸、EF、/C之间的数量关系，并给出证明.

⑶若NC=13,BE=10,求/的面积.

(24-25八年级•重庆九龙坡•阶段练习)

25.如图，点。为△4BC所在平面内的一点，连接CD,ZABC=30°.

试卷第7页，共8页

A

(1)如图1,点。为△48C外一点，点E在边/C的延长线上，连接8E.若BE=AD,

AB=AC,ZDAC=4ZCBE=40°,求N。的度数：

⑵如图2,点。为△4BC内一点，若ZABD=ZACD,ZDCB=NABC,求证：

BD=AC+AD-

(3)如图3,在(2)的条件下，延长/。交8c于点尸，当尸为等腰三角形时，请直接

AT)

写出二二的值.

试卷第8页，共8页

1.c

【分析】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题

的关键.

根据二次根式的混合运算化简，估算无理数的大小即可得出答案.

【详解】解：+

=^1xV21+3xV21

=7+3向

•••4.52<21<46,

•••4.5<V21<5

•••13.5<3后<15

•••20.5<7+3亚<22

•••（3V21）2=189,142=196,

,3庖<14，

•••7+3亚<21,

•••20.5<7+3721<21

即小；+31亚的值应在20到21之间，

故选：C.

2.C

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，两种情况：当1-2左=0时，当1-2左*0时,

分别求解即可得解.

【详解】解：当1-2左=0时，（1-2左）--2行0-1=0变为一如一1=0,此方程有实数根;

当1-2左K0时，由题意可得公=[27m）2一4x（-l）x（l—2左）20且左+120,

解得：—\<k<2,

当一14左42时，关于x的方程（1-2后）/一2VrHx-l=0有实数根，

故选：C.

3.A

答案第1页，共26页

【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理解三角形等知识，准确添加

辅助线，掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键.

根据已知条件和图形折叠的性质可得：NBDC'=12V,BD=C'D=2,过点。作OEL8U于

E,再由含30度角的直角三角形的性质求解即可.

【详解】解：解：是8C边的中线，

BD=DC=-BC=2,NADC=30°,

2

ZADC=ZADC=30°,

...ZBDC=120°,BD=C'D=2,

ZDBC=/BCD=30°,

过点。作DEL5。于E,

•1•BE=^BD2-DE2=V3，

.­.BC'=2BE=2百，

故选：A.

4.D

【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解答本题的关键.先将被

开方数化成分数，然后分子分母同乘以10,使得分母部分可以开平方,而分子部分化成含近

和狗的形式，即得答案.

【详解】•:近=a,屈=b,

..同陛产=员业=也

V10V1001010

故选：D.

5.A

【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与

答案第2页，共26页

原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键.根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图

形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可.

【详解】解：如图，由题意得，正方形/的面积为1,

由勾股定理得，正方形5的面积+正方形C的面积=正方形/的面积=1,

•••“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2,

同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,

・•.“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4,

••产生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025,

故选：A.

6.A

【分析】本题考查的是勾股定理的应用，二次根式的化简，等腰三角形的判定，作出合适的

辅助线是解本题的关键，如图，过C作也，加于过。作。NLN3于N,求解

CM=BM=15,/初=40-15=25,AC=^152+252=5A/34-。=/。=10炳，延长。C

交于£,则//CE=90。，由勾股定理可得：CE?=AE°-AC?=CM。+ME?,可得:ME=9,

CE=4CM2+ME2=3734-同理可得：AD1-AN1=DE1-NE2,可得：/N=10,

52V=40-10=30,DN=sjAD2-AN2=40-再进一步求解即可.

【详解】解：如图，过C作可，用于过。作。于N,

答案第3页，共26页

ZABC=45°,BC=15收，

CM=BM=i5,

■■■AB=40,

.-.AM=40-15=25,

•••AC=A/152+252=5A/34，

■：AC=CD,

•••CD=AD=yjAC2+CD2=10V17，

延长。C交48于E,则乙4CE=90。，

由勾股定理可得：CE2=AE2-AC2=CM1+ME2,

.•.(25+Affiy-3取『=152+ME2,

解得：ME=9,

■■CE=yICM2+ME2=35/34，

■■DE=CD+CE=S434,

：.BE=15-9=6,

•••AE=40—6=34,

同理可得：AD2-AN2=DE2-NE2,

.•.(10A/17)2-^2V2=(8V34)2-(34-^7V)2,

解得：AN=10,

.—40-10=30,DN=^AD2-AN2=40-

•••BD=个BN2+DN2=50-

故选：A

7.C

【分析】本题考查解一元二次方程.根据题意分情况讨论，再分别求解即可.

【详解】Mmin{x2-3,3-x2}=-2x,

•••当--3V3--时，X2<3,

即：min(x2-3,3-x2)=x2-3,

答案第4页，共26页

x~-3=—2x，

即：X2+2X-3=0,

移项配方得：x2+2x+l=4,

解得：尤+1=±2,即：x=l或x=-3(舍)，

当x2-3>3-/时，/>3,

即：min{x2-3,3-x2)=3-x2,

3-=-2x，

即：f-2X-3=0,

解得：x=-l(舍)或x=3,

综上所述：x=3或x=l,

故选：C.

8.B

【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，整式的乘法，熟练掌握知识点是解题

的关键.令x=2024,把原式化简为一一卮二3/，再利用二次根式的性质化简，最后

再代入求值即可.

【详解】解：令x=2024,

则原式化为：X2-^(x-l)x(x+l)(x+2)+l

=x2—l)(x+2)x(x+1)+1

=x2-+x-2)(X、+x)+1

=X2-+x)2-2[2+x)+l

=X2_J(%2+%―1)2

2

=X_(12+%—l)

=-x+l=-2024+1=-2023,

故选：B.

9.D

【分析】设原方程为"2+bx+c=o,两个根为a和尸.新方程为c/+fcv+Q=0,两个根为

2和尸.则可得邛2+阴+°=0①，附+印+。=0②，4c+2b+a=0⑧.将①②联立可解

答案第5页，共26页

得分=±1.贝Ij可得a+b+c=O或a—6+c=0,再与4c+26+。=0③联立可得Q、b、。之间

的关系.由根与系数的关系可求出。+尸与〃的值，进而可求出〃+62的值.

本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，推导出Ac之间的关系是解题的关键.

【详解】解：设原方程为办之+bx+c=0,两个根为二和月.

新方程为CJ?=0,两个根为2和4.

则邓?+印+C=o①,乎2+印+Q=o②，4c+26+a=0③，

①-②得(。-c)p2=a—c,

由题意得"c,

•••Q—CW0,

p2=1,

.../7=±1.

当/?=/时，Q+6+C=0,

联乂[f4cQ+2b6++ca==00'得]{6a==-23cc'

则&+0=_2=_手=1,ap，=.=；,

a2c2a2c2

则。2+俨=(a+p)-2aB=彳-1=j

当月=一1时，a-b+c=0,

a-b+c=0,a=-2c

联立

4c+2b+a=0'向b=-c

r।八

贝!Ja+p=——b=一一-—c二耶，=上,

a-2c2a-2c2

15

贝|](?+俨=(a+p)7-2ap=-+l=-.

综上,原方程两根的平方和是:

故选：D.

10.D

【分析】延长E4到K,是的NK=/G,连接CK,先由勾股定理的逆定理可以得到A43C是

等腰直角三角形，NA4c=90。，AACB=UBC=45°,由3/=尸£,得到乙FBE=4FEB,设

答案第6页，共26页

乙BFE=x,则/踹尸=；(180。一NAFE)=90O-；x,然后证明C3=PC=ES,得至！J

乙FBCMFCA,zJFB=zJkC贝l|/FG4=90°-1x,E3尸=；(180°-/3匹)=90°-；x即可证

明NEFC=NAFE+/AFC=90。，推出。尸=变。£；设/ECG=2/G2C=2了，证明

2

AABG三想CK,得至U/K=/AGB=/ACB+ZGBC=450+y,

ZACK=ZABG=ZABC-ZGBC=45°-y,即可推出MCK=次，得至i]EK=EC,贝U

EK=AE+AK=AE+AG=9y[2，由此即可得到答案.

【详解】解：延长E4到K,是的NK=/G,连接CK,

・•・在三角形48C,AB2+AC2=BC2,且/8=/C,

45c是等腰直角三角形，NA4c=90。，

:.乙4cB=^4BC=45°,

♦:BF=FE,

・FBE=^FEB,

设乙BFE=x,则/即尸=g(180°-/8FE)=90°-gx,

是2C上中点，尸是射线4Hr上一点，

.-.AHLBC,

••・4H■是线段2C的垂直平分线，ZK4C=45°,

；.CB=FC=FE,

：./-FBC=Z.FCA,AAFB=^AFC

AFCA=90°-1x,EBF=1(180°-/BFE)=90°-1x

...ZAFB=ZAFC=180°-ZFAC-ZFCA=45°+-x,

2

ZAFE=ZAFB-ZBFE=45°--x,

2

ZEFC=ZAFE+ZAFC=90°,

■■■EF2+CF2=CE2,

■■■CF=—CE,

2

设/ECG=2NGBC=2y,

•■AG=AK,AB=AC,4KAC=^GAB=9Q°,

；.A4BGmAACK(SAS),

答案第7页，共26页

/K=/AGB=/ACB+ZGBC=45°+y,ZJCK=ZABG=AABC-ZGBC=45°-y,

ZECK=ZACE+ZACK=450+a,

••z£CK=NK,

：.EK=EC,

■■EK=AE+AK=AE+AG=972，

:.EF=EK=9及，

；.CF=9,

故选D.

【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂

直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相关知识

是解题的关键.

11.1310

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设仓库的垂直于墙的一边长为x,而与墙平

行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，那么平行于墙的一边长为

(32-2X+1),而仓库的面积为130m,，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题.

【详解】解：设仓库的垂直于墙的一边长为X,

依题意得(32-2X+1)X=130,

2X2-33X+130=0,

(x-10)(213)=0,

二玉=10或x2=6.5,

当再=10时，32-2x+l=13<16；

答案第8页，共26页

当超=6.5时，32-2x+l=20>16,不合题意舍去.

所以，仓库的长和宽分别为13m,10m.

故答案为：13,10.

12.100

【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径

求出解.作出4关于8c的对称点连接HG,与5c交于点°,此时/Q+0G最短；A'G

为直角A/'EG的斜边，根据勾股定理求解即可.

【详解】解：如图所示作出N关于8C的对称点H,连接HG,与8c交于点。，蚂蚁沿着

/-Q-G的路线爬行时路程最短.

则A'B=AB=60cm,

根据题意：BE=AB-AE=20cm,EG=60cm,

•t.A'E=A'B+BE=80cm,

■■AQ+QG=A'Q+QG=A'G=1AB+EG?=100cm，

二最短路线长为100cm,

故答案为：100.

13.0

【分析】本题主要考查了分母有理数化，完全平方公式，先将〃，进行化简，再将要求的式

子变形为(加-I)二2025,然后代入计算即可.

20242024—2025+1)2024(72025+1),____

【详解】解：m=；=I-\————^=72025+1

V2025-1(72025-1)(72025+1)2024

m2—2m-2024

=m~-2m+1-1-2024

=(机-厅-2025

答案第9页，共26页

=(J2O25+1-1)2-2025

=2025-2025

=0,

故答案为：0.

14.12005+石##石+5

【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质：

(1)当"。_L48时，由直角三角三角形的性质，求出N/MN=60。，再根据折叠的性质可

得ZAMN=ZNMD=30°,最后利用三角形内角和定理即可求解；

(2)过点M作腔，4B于点£,根据折叠的性质可知

ZANM=ZMND=^x(180°+90°)=135o,证明ME=NE,利用直角三角形的性质求出

AM=26,NE=ME<,利用勾股定理求出/E=3,进而求出4V=3-6，同理求出

48=8,由=即可求解.

【详解】解：(1)

AADM=90°,

//=30°,

.­.ZAMN=90°-ZA=6Q°,

由折叠的性质可得NAMN=ZNMD=|ZAMN=30°,

ZANM=180°--ZAMN=120°,

故答案为：120。；

(2)过点M作于点£,

■.■DN1AB,

:"AND=乙END=90°,

根据折叠的性质可知ANM=NMND=|x(180o+90°)=135°,

答案第10页，共26页

：.ZMNE=45°,

：,/MNE=/NME=45。,

.：.ME=NE,

•・・〃是zc的中点，AC=AB

AM=-AC=143,

2

•・•44=30。，

,-.NE=ME=-AM=y/3f

2

•••AE=4AM1-ME1=3，

・••AN=AE-NE=3-y/3,

•・•ZC=90°,44=30°,AC=40

・•.AB=IBC,

・••AB2-BC2=3BC?=AC2=48,

・•.BC=4,

AB=8,

：.BN=AB-AN=8-p-0=5+6

故答案为：5+V3.

13

15.6或4或一

2

【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理.作3尸，4。于尸，根据矩形的性质得到

BF=DE=8,。尸=BE=2,根据勾股定理用CD表示出/C、BC,分类讨论，根据勾股

定理的逆定理列式计算，得到答案.

【详解】解：作于尸，

：.BF=DE=8,DF=BE=2,

答案第11页，共26页

；.AF=AD-DF=6,

由勾股定理得，AB2=AF2+BF2=1QQ,

AC2=AD2+CD2=64+CD2,

BC2=CE2+BE2=(CD+8)2+4=CD2+16CD+64+4,

当△NBC为直角三角形时，AB2+AC2=BC2,

BP100+64+CD2=CD2+16CD+64+4,

解得，CD=6；

同理可得：当/48C=90。时，

由勾股定理得，AB2=AH2+BH2=100,

AC2=AD2+CD2=64+CD2,

BC2=CE2+BE2=（8-CD）2+4=CD2-16CD+64+4,

■■AC2=AB1+BC2,

■-64+CD2=100+CD2-16CD+64+4,

13

解得：CD=-.

当N/C3=90。时，

由/炉=心+3C2得：100=64+CD~+CD2-16CD+64+4,

解得：CD=4,

13

综上：的长为：6或4或

13

故答案为：6或4或

2

16.（4一无）6-2在

3

【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键

是：（1）根据各数量之间的关系，用含X的代数式表示出NP的长；（2）分0<x<；及:4x43

两种情况，列出关于x的方程.

答案第12页，共26页

(1)利用月产的长=ZD的长一点P的运动速度x运动时间，可用含x的代数式表示出4尸的

长；

(2)当0<x<；时，/P=(4-x)cm,AQ=3xcm,根据以A、P、0为顶点的三角形面积

为2cm2,可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值；当时，/P=(4-x)cm,

根据以A、P、。为顶点的三角形面积为2cm2,可列出关于x的一元一次方程，解之可得出

x的值.再取符合题意的值，即可得出结论.

【详解】解：(1)••・动点P从点。出发，沿D4向终点A以lcm/s的速度移动，

二.经过x秒，DP=xcm,

/.AP=AD-DP=(4一x)cm.

故答案为:(4-x)；

(2)4+l=4(s),5^3=|(s),(5+4)+3=3(s).

当0(尤<g时，/P=(4-x)cm,AQ=3xcm,

^APAQ=2,gp1(4-x)-3x=2,

整理得：3/-12x+4=0,

解得：再=82R，6+276(不符合题意，舍去)；

133

当时，/尸=(4—x)cm,

3

/.—(4—%).5=2,

解得：户三(不符合题意，舍去).

•••经过2秒时，以A、尸、。为顶点的三角形面积为2cm,

3

故答案为：生2e.

3

17.(1)证明见解析

(2)-4,-2,0,2

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识.

(1)计算一元二次方程根的判别式A=l>0,即可得到无论〃?取何值，方程都有两个不相

等的实数根；

答案第13页，共26页

x+3

（2）利用公式法求出方程的解为•¥=〃?+1或》=加，根据再得到西=加+1,把」---变

x\

形为1+二7,根据9为整数，加为整数即可得到"7+1=土1或加+1=土3,即可求出加

m+\项

的值.

【详解】（1）证明：•・・。=1,6=—（2加+1）,。=/+加，

A=Z?2—4ac=[—（2加+1）]—4（加之+机）=1>0,

・•・无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；

（2）解：x2-（2m+1）x+m2+m=0,

vA=-4ac=[—（2加+1）T—4（加之+加）=1>0,

・•・方程都有两个不相等的实数根，

-b±y/b2-4ac2m+1±1

x=-------------------=--------，

2a2

••・、=加+1或%=加,

•・•xx>x2,

：.xx=加+1,

M+31313

-=l+—=1+--

玉xxm+l

•.•土卫为整数，

•••3一\也为整数，

・：m为整数,

•••冽+1=±1或加+1=±3,

・•.整数加所有可能的值为-4,-2,0,2.

18.(l)V10+V7

]

VH-11)

(2)yjn+y/n—l=y[n-(n>

(3)9

【分析】本题考查分母有理化，熟练掌握分母有理化，是解题的关键:

（1）利用分母有理化进行求解即可;

（2）利用分母有理化进行求解即可;

答案第14页，共26页

(3)先进行分母有理化，再进行求解即可.

3V10+V7=「

【详解】(1)解：原式=/L\rJ=W+V7；

Vio-V7)V10+V7)

1>Jn—y/n—l

=y[ri--1(n>1).

(2)册+-1[y/n+y/n—l^y/n-y/n-1^

(3)Mj(i=V2-l+V3-V2+V4-V3+...+V99-V98+Vi00-V99=10-l=9.

19.(l)50m

(2)24秒

【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关

键.

(1)先运用勾股定理列式计算，即可作答.

(2)先证明//BC=90。，再运用面积法，得出8〃=24,根据勾股定理列式计算得出

HC=4BC1-HB1=18m-最后结合运动速度，即可作答.

【详解】(1)解：•・•/。=90。，AD=14m,DC=48m,

.•.在Rt/DC中，AC=siAD2+DC2=50(m),

••・小路NC的长为50m；

(2)解：如图所示：过8作

依题意，当小狗在小路C4上奔跑，且跑到点反的位置时，小狗与萌萌的距离最近.

AB=40m,CB-30m.AC-50m,

•••AC2=2500,AB2+BC2=2500,

AC2=AB2+BC1,

ZABC=90°,

^\S^ABC^ABXBC=^ACXBH,

AB义BC40x30..z、

-/xDU

•••HC=SIBC2-HB2=18m

答案第15页，共26页

••・小狗从点B开始以2m/s的速度在小路上沿8-C->/的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑,

.­.^C+SC=18+30=48(m),

贝I]48+2=24⑸

••・当小狗在小路C4上奔跑时，小狗需要跑24秒与萌萌的距离最近.

20.⑴见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)根据网格在图①中，作ZC,的垂直平分线交于点即可使

AM=BM=CM；

(2)根据网格在图②中，找到格点“，连结BM、CM,根据平行线的性质和四边形内角

和定理可得/BMC+NBAC=180°；

(3)根据网格在图③中，连结8N,根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可得

ZCBM+ABAC=90°.

【详解】(1)解：如图①，点”即为所求；

点M在/C,8c的垂直平分线上,

AM=BM=CM；

(2)如图②，点M或点AT即为所求;

由网格可知：BM//AC,

ZBMC+AACM=

答案第16页，共26页

由网格可知：ZBAM+ZAMC^90°,NBMA=/MAC+NBC4=45。,

ZBMC+ABAC=ZBMA+ZAMC+ZMAC+ZBAM=45°+45°+90°=180°；

.•/MC+4/C=180°；

(3)如图③，点M即为所求；

图⑸

由网格可知：BC//MN,

ZCBM=ZNMB,

由网格可知：AB=AM,ZBAM=90°,NEMC=45。，

ZBMA=45°,

ZCBM=ZNMB=ZBMA-ZAMN=45°-NAMN=45°-ABAD,

ZCBM+ABAC=45°-ABAD+ABAD+45°=90°.

【点睛】本题是三角形综合题，考查线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，平行线的

性质，四边形内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰直角

三角形的判定与性质.

21.(1)机=0或加=-2

⑵16

【分析】(1)先利用公式法解出一元二次方程的两个根，再根据两个根的差是1,即可得到

结果；

(2)根据“邻根方程”的定义和韦达定理即可列出。与6的关系式，再由t=12a-尸可列出》

与。的关系式，最后利用完全平方公式求出最大值.

本题考查一元二次方程的解，读懂题意、理解“邻根方程”，掌握利用完全平方式确定最大值、

最小值等知识点是解决本题的关键.

【详解】(1)解：..・关于x的方程f-(机-1卜-机=。是邻根方程，

，解方程可得：xx=m,x2=-1,

答案第17页，共26页

|%1—x2|=|m—(-1)1=\m+1|=1,

TWj=0,m,=—2,

"7=0或"7=—2;

(2)•.,关于x的方程办2+区+1=0(。/是常数。>0)是邻根方程,

设两个根分别为无1户2,

由韦达定理：xt+x2=—,xI-x2=—

+x2V-4X1X2=

b2=a2+4a,

此时A=〃-4a=02»0,方程必定有解.

t=12。-=12。-+4a)=-ci~+8。=-(a-4y+16,

.•.当a=4时，/有最大值，最大值为16.

答：/的最大值为16.

22.(1)(4,5)

⑵(T-2)

⑶(6,7)

【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性.熟练掌握相关知识点,

并灵活运用，是解题的关键.

(1)夹逼法求出M的取值范围，即可得出结果；

(2)根据二次根式有意义的条件，得到6=-行，进一步求出6的取值范围即可；

(3)根据二次根式有意义的条件，结合算术平方根的非负性，得到

2x+3y=n,3x+4y=2n,x+y=41,求出羽八〃的值，进而求出战的“行知区间”即可.

【详解】(1)解：•:屈(生,

•••4<V19<5,

答案第18页，共26页

即：无理数M的“行知区间”是(4,5)；

故答案为：(4,5)；

(2)解：•••a=V^3+V3^-V7

6-320,3-620,

.,.b=3,

a=—5/7，

VI<V7<V9,

•••2<g<3,

—3<—y/l<—2，

：,a的“行知区间”为(-3,-2)；

(3)yj2x+3y-n+J3x+4歹-2〃=Jx+--41+yj41-x-y,

.•.x+y-4120,41-％一歹20,

・•.x+歹=41,

J2x+3y-n++4y-2n=0,

：,2x+3y-n=0,3x+4y-2n=0,

x+y=41x=82

联立：<2x+3y-n=0,解得：<>=—41,

3x+4y-2〃=0n=41

.•.«的算术平方根为历，

V36<V41<V49，

•••6<V41<7;

:的算术平方根的“行知区间”为(6,7).

23.(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%

(2)该品牌头盔每个售价应定为60元

【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出方程.

(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x,根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销

答案第19页，共26页

售72个列出方程求解即可；

（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润=（售价-进价）x销售量列出方程求解即可.

【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为X,

依题意，得：500（l+x）2=720

解得再=0.2=20%,%=-2.2（不合题意，舍去）

答：设该品牌头盔销售量的月增长率为20%.

（2）解:设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得：

（y-40）（^500-10x^^^|=9000,

整理，得/-120^+3500=0

解得凶=60,%=130

因为尽可能让顾客得到实惠，所以了=130不合题意，舍去.

所以＞=60.

答：该品牌头盔每个售价应定为60元.

24.（l）（45-m）,证明见解析

（2）2AC2=AF2+EF2,证明见解析

⑶42

【分析】（1）利用翻折的性质得3C=EC,则=从而求得N8EC=90。-加。,

再根据AC=BC,得到AC=EC,则ZCAE=ZAEC,从而求得ZAEC=45°-m。,最后由

NAEB=NBEC-NNEC可得出结论.

（2）连接3尸，先由等腰直角三角形的性质与勾股定理求得43=0/C，再由折叠性质，

得BF=EF,由（1）知，NAEB=45。,求得/4FB=90。,然后由勾股定理可得出结论.

（3）过点C作产于X,由翻折性质得=GE=5,利用勾股定理可求得

EF=yl2GE=572,CG=\ICE2-GE2=Vl32