八年级数学下册 第17章《勾股定理》重难点（含答案）

第17章勾股定理——重难点

内容范围：17.1〜17.2

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勾股定理

勾股定理勾股定理勾股定理

勾股定理

的应用与折叠的逆定理

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知识点一：勾股定理

i.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平

方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么。2+〃=/.

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式。斗〃=。2的变形有：a=,6=朽方及c=

（4）由于。2+〃=°2>/,所以C〉。，同理即直角二角形的斜边大于该直角二角形中

的每一条直角边.

2.勾股定理的证明

（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的.先利用拼图的方法,

然后再利用面积相等证明勾股定理.（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一

个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理.

3.勾股定理简单应用形式

（1）已知直角三角形任意两边，求第三边；

（2）已知直角三角形任意一边，确定另外两边的数量关系；

（3）构造方程或方程组计算与直角三角形有关的长度、高度、距离、面积等问题；（4）证

试卷第1页，共10页

明含有平方关系的几何问题;

典例精讲例L

1.如图，在△4BC中，4=90。，分别以”，8c为边在△4BC外侧作正方形NADE和正

方形BCFG,再以NC为斜边在△/3C外侧作RM/C”,若/8=1,CH=2a,则图中阴

A.10B.5+V6C.25+V6D.5+2指

例2.

2.如图，在△/BC中，AD1BC.

(2)当48=8,BC=6,NC=2而时，求的值.

Q变式训练

3.如图，△4BC和AERC为等腰直角三角形，NACB=NECF=90°,已知点£在48上,

连接B尸.

(1)若不添加辅助线，请在图中找出一对全等三角形并证明其全等;

试卷第2页，共10页

(2)若4E=1,//EC=105。，求BE的长.

4.(1)如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形ABCD和

小正方形EFGH.已知较长的直角边长为。，较短的直角边长为匕，斜边长为c,利用面积

法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程.

(2)如图2,在一条公路48的一侧有一村庄C,公路边有两个停靠站/,B,在公路边再

建一个停靠站。，使村庄C到停靠站。的距离最短.经测量/C=5km,CD=4km.

①求停靠站A与。之间的距离停靠站A与。之间的距离；

②经测量发现停靠站5到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站5到村庄。的距离.

图2

知识点二：勾股定理的应用

1.勾股定理的应用

(1)在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形.

(2)在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，

关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应

用.

(3)常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线

段的长度.

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边

为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和.

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.

解决问题的思路：画图一寻找或构造直角三角形一用勾股定理求解.

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个

正整数的直角三角形的斜边.

2.平面展开-最短路径问题

(1)平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之

试卷第3页，共10页

间的最短路径.一般情况是两点之间，线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题.

(2)最短路径问题的方法

①解决立体图形中最短距离问题的关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条线

展开，转化为平面问题后，借助“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，进而构造直角三角

形，借助勾股定理求解.

②平面图形的最短路径通常是作轴对称变换，转化为“两点之间线段最短”的模型来解决问

题.

③最短路径常见的模型：

常见的有圆柱体的展开、长方体的展开、楼梯的展开、绕绳的展开和将军饮马模型、“造桥

选址”模型、费马点等，如图.

在典例精讲

例1.

5.如图，教室墙面尸与地面/8CD垂直，点尸在墙面上，若尸/=旧米，”=2米,

点尸到/尸的距离是3米，一只蚂蚁要从点尸爬到点B,它的最短行程是()米

C.V13D.3

例2.

6.阅读下列材料，回答问题.

社区公园里新安装了一架秋千，小白对秋千的高度产生了兴趣，星期天他和朋友一起带着卷

试卷第4页，共10页

尺到公园测量秋千的高度，他设计如下的测量方案：

步骤一：测得秋千静止时的底端E与地面的距离BE=0.8m；

步骤二：如图，小白握住秋千的底端往外后退，直到秋千的绳索被拉直，测得此时秋千底端

离地面的高度CD=l.lm,再测得小白站立处与秋千静止时的水平距离5C=1.5m.

(1)若设秋千的高度=则m(用含x的代数式表示)；

(2)根据上述测量方案和数据，求秋千的高度

Q变式训练

7.在海平面上有B,C三个标记点，C为灯塔，港口/在灯塔C的北偏西55。方向上,

港口/与灯塔C的距离是40海里；港口3在灯塔C的南偏西35。方向上，港口8与灯塔C

的距离是30海里，一艘货船将从/港口沿直线向港口8运输货物，货船的航行速度为10

海里/小时.

(1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间；

(2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里,

这艘货船在由港口N向港口8运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信

号时间不低于1小时才符合航行安全标准.请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标

准，并说明理由？

8.【问题情境】

数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别

为20、3、2,A和8是一个台阶两个相对的端点.

试卷第5页，共10页

【探究实践】

老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到8点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿

着台阶爬到8点的最短路程是多少？

（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长

为20.宽为15的长方形，连接42,经过计算得到长度为,就是最短路程.

【变式探究】

（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30cm,高是8cm,若蚂蚁从

点A出发沿着玻璃杯的侧面到点3,则蚂蚁爬行的最短距离为

【拓展应用】

（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处

有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点8处，则蚂

蚁从外壁3处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行

计算）

知识点三：勾股定理与折叠问题

1.解决折叠问题的基本思路：

①注意寻找折叠前后不变的量一边与角；

②已知与所求的量一般集中在一个直角三角形中；

③利用勾股定理构建方程求解.

2.折叠问题中常见的几何模型：

试卷第6页，共10页

立典例精讲

例1.

9.如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是。(。期，40,4),5(6,0),

点C、。分别在边。4、AB上,将A/。沿直线C£＞折叠，点A恰好落在08边的中点H处,

则点C的坐标为

例2.

10.如图1,四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形.已知直

角三角形的两直角边长分别为。，以斜边长为J课堂上，老师结合图形，用不同的方式表

示大正方形的面积,证明了勾股定理/+62=02.

ab

b

a

ba

图1

(1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2.若a=4,6=6,则空白部分的面积

为

⑵如图3,长方形/BCD沿/£折叠，使点。落在边2C上的点尸处.若3=5,AB=3,

试卷第7页，共10页

求斯的长.

o变式训练

11.如图，在中，ZC=90°,AC=12,48=15,将边8c沿翻折，点B落在

点E处，连接CE交4B于点R则斯的最大值为()

12.学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题.大家知道，长

方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即长方形/BCD中，

ZA=/4BC=NC=/4DC=90°,AB=CD,AD=BC,AD//BC,AB//CD.

请你运用所学知识，解决下

图2

面的问题：

(1)如图1,长方形纸片ABC。中，48=5,AD=12,将纸片折叠，使N8落在对角线/C

上，折痕为/£(点£在边8c上)，点3落在点夕处，求CE的长度；

(2)如图2,有一张长方形纸片48。，AB=6,AD=U,尸为边上一点，AF=3,E

为5c上一点.将纸片折叠，折痕为斯，使点8恰好落在线段初上的点"处，点/落在

点H处.求线段WD的长度.

知识点四：勾股定理的逆定理

An

勾股定理的逆定理

1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,C满足。2+〃=02,那么这个三角形就是

试卷第8页，共10页

直角三角形.

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形.必须满足

较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断.

2、运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合其

他已知条件来解决问题.注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三

条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角

三角形；否则不是.

3、勾股定理逆定理应用形式

(1)已知三角形三边的长度，判断三角形的形状；

(2)在图形中寻找与已知两点构成直角三角形的点；

(3)在网格中判断直角或直角三角形；

(4)求某些不规则图形的面积.

在典例精讲

例1.

13.如图，已知△NBC中，的垂直平分线交8c于点。，/C的垂直平分线交于点

，DE=2,sc=|,则NC的长为（）

C3A/5D3屈

'~2~'2

例2.

14.如图，正方形网格中的△4BC,若小方格边长为1,

试卷第9页，共10页

(1)判断△4BC是否为直角三角形？

(2)求△/BC最长边上的高？

Q变式训练

15.如图，在中，Z5=9O°,/C=12,点。为边NC的中点，点E在边8C上,

连接。E.

(1)若DE=2。,CE=4小,求ACDE的面积；

(2)若N8=6,EDA.AC,求CE的长.

16.如图，在一条河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点B.其中=因

建设新农村需要，由C到8的道路另作他用，不再通行.该村为方便村民取水决定在河边

新建一个取水点P(4P,3在一条直线上)，并新修建一条道路CP,建成后经测量得到相

关数据/C=26km,CP=24km,4P=10km.某校数学项目式小组尝试解决以下问题，请你

(1)任务一：在每千米道路造价相同的前提下，试说明道路CP设计方案的成本最低;

(2)任务二：求修建后的路线CP比原来的路线缩短了多少千米.

试卷第10页，共10页

1.c

【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理可得/。2=/炉+82=25,即得

S正方物BDE+S正方形BCFG=+BC~=25,进而由S阴影=S正方形0B0E+S正方形BCFG+^^ACH即可求解，

掌握勾股定理的应用是解题的关键.

【详解】解：•.•/”=90,AH=\,CH=2屈,

222

：.AC=AH+CH'=1+(2n『=25,S^ACH=^AHCH=|xlx276=a,

"ABC=90°,

■■AB2+BC2=AC2=25,

,正方私曲+$正方形BCFG=4B-+BC?=25,

S阴影=S正方物皿E+S正方形BCFG+S：=25+V6,

故选：C.

2.(1)证明见解析；

⑵ND=46；

【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌

握和运用勾股定理是解决问题的关键.

(1)在和R"。。中，分别运用勾股定理可得/京=43+台加，

AC2=AD2+CD2,利用/。边相等，联立两式移项即得证.

(2)根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合8C=3D+CD=6,

可求得3O-C。，而2£>+CD=6,由此可求得3D、CD,由勾股定理即可求出4D.

【详解】(1)证明：・•,AD1BC,

在RtZUBD和Rt“DC中，根据勾股定理得，

AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2,

AB2-BD2=AD2=AC2-CD2,

移项得：AB2-AC2=BD2-CD2.

^AB2-AC2=BD2-CD2.

(2)解：•••AB2-AC2=BD--CD2,AB=%,AC=2屈

BD2-CD2=AB2-AC2=82-(2V13)2=64-52=12,

答案第1页，共13页

BD2-CD2=(BD+CD^BD-CZ>)=12,

BC=6,^BD+CD=6,

：.BD-CD=2,

\BD+CD=6[BD=4

"[BD-CD=1'解得jcD=2，

■■■/r>2=4g2一切=82-42=64-16=48,

AD=4日

3.("AEC咨ABFC,证明见解析

⑵百

【分析】(1)由ZUgC和AEFC为等腰直角三角形，ZACB=ZECF=90°,得/C=3C,

EC=FC,ZACE=ZBCF=90°-ZBCE,即可根据全等三角形的判定定理SAS证明

A.AEC^ABFC；

(2)过点E作EGLNC于点G,则NGEN=NN=45。，ZGCE=1800-ZAEC-ZA=30°,

所以/G=EG,CE=2EG,根据勾股定理求得NG,CE的长，再由勾股定理求得CG,AC

的长，从而得到48,利用8£=48-/E求出结果即可.

【详解】(1)解：图中附48尸C,证明如下：

VdBC和AEFC为等腰直角三角形，NACB=ZECF=90°,

:.AC=BC,EC=FC,ZACE=ZBCF=90°-ZBCE,

在△4EC和△2FC中，

'AC=BC

<NACE=NBCF,

EC=FC

:."EC咨ABFC(SAS)；

(2)过点E作EGL/C于点G,

答案第2页，共13页

则//GE=/CG£=90。，

vAAEC=105°,/A=/CBA=45。，

ZGEA=ZA=45°,ZGCE=180°-NAEC-ZA=30°f

:.AG=EG,CE=2EG,

222

\-AG+EG=AE9AE=1,

2AG2=12,

/.AG=EG=---

2

CE=2x=\pl,

2

AC=AG+CG当+当

AB=^AC2+BC2=yj2AC2=42AC=收x（近46}=1+6,

122J

:.BE=AB-AE=l+M-l=6

【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中

30。角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题

的关键.

25

4.(1)见解析；(2)①停靠站A与。之间的距离为3km；@—km

o

【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用：

(1)根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个直角三角形的面积即可得证；

(2)①直接利用勾股定理进行求解即可；②设N8=3C=x,在RMHDC中利用勾股定理

进行求解即可.

71

【详解】解：(1)由图可知：c2=(a-by+4x-ab=a2-2ab+b2+2ab=a2+b2；

(2)①村庄。到停靠站。的距离最短，

：.CDLAB,

vAC=5km,CD=4km,

•••AD=ylAC2-CD2=3km；

答案第3页，共13页

答：停靠站A与。之间的距离为3km；

②设/8=8C=xkm,贝!J：BD—(x—3)km,

在RtACDB中，BC2=BD2+CD2,

则:X2=(X-3)2+42,

25

解得：x=1；

6

25

答：停靠站8到村庄C的距离为rkm.

6

5.A

【分析】本题考查平面展开一最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面/DE尸与

地面展开，连接尸3,根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可.正确利用立

体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键.

【详解】解：如图，过P作PGJ.5尸于G,连接尸3,

此时PB的长为这只蚂蚁从点P爬到点3的最短行程,

・.•尸9=布米，月3=2米，点尸到/月的距离是3米,

.•.PG=3米，

■■AG=ylPA2-PG2=J[V13)2-32=2(米)，

：.BG=GA+AB=2+2=4(米)，

；•PB="笈+PG?="2+32=5(米)，

・・.这只蚂蚁的最短行程应该是5米.

故选：A.

6.(l)(x-0.8)

(2)秋千的高度为4.7m

【分析】本题考查勾股定理的实际应用：

(1)根据40=NE=4B-BE即可求解；

(2)过点。作。尸_L/8,利用勾股定理解RtA/DF即可.

答案第4页，共13页

【详解】（1）解：由题意得，AD=AE=AB-BE=（x-0.8）m,

故答案为：（x-0.8）；

（2）解：过点。作。尸，4B,垂足为尸，

则。尸=8C=1.5,BF=CD=1.1,

AF+BF=AB,

/.AF=AB-BF=x-\A,

在R3/。尸中,N4FD=90。，

AF2+DF2=AD2,

即(龙一Liy+l.52=(x-0.8『，

解得：x=4.7,

答：秋千的高度43为4.7m.

7.（1）5小时

（2）符合航行安全标准，理由见解析

【分析】本题考查了勾股定理的应用以及方位角的应用，等腰三角形的判定与性质，正确掌

握相关性质内容是解题的关键.

（1）先得出/8。4=180。-35。-55。=90。，结合勾股定理列式/g=J/C?+&<=50（海

里），因为货船的航行速度为20海里/小时，贝/=4=2.5（小时），即可作答.

（2）先在AB上取两点N使得CM=CN=25海里，S^c=^AC-BC=^AB-CD,

分别算出CD,。州的长度，然后结合等腰三角形的三线合一，得出九亚=2。河=14海里，

因为货船的航行速度为10海里/小时，则％=需=1.4（小时），即可作答.

【详解】（1）解：••・港口N在灯塔C的北偏西55。方向上，港口/与灯塔C的距离是40海

里；港口3在灯塔C的南偏西35。方向上

ZBCA=180°-35°-55°=90°,

•.•港口/与灯塔C的距离是40海里，港口5与灯塔C的距离是30海里

答案第5页，共13页

AB=y]AC2+BC2-50(海里),

•••货船的航行速度为10海里/小时

1=5（小时）,

答：货船从/港口到2港口需要5小时;

（2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下:

如图：过C作CD_L48交N8于。,

在43上取两点M,N使得CM=CN=25海里

•;S„=-AC-BC=-AB-CD,

△HAOC227

iACBC40x30

CD=-----------=----------=24（海里）,

AB50

••DM=4CM1-CD1=7(海里),

CM=CN,

.•.△CMN是等腰三角形

CD1AB

：.MN=2DM=

MN一/3、

・・・4=工^-=1.4(小时)

二这艘货船在本次运输中符合航行安全标准.

8.(1)25(2)17cm(3)10cm

【分析】本题考查了平面展开图一最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思

想解决问题.

（1）直接利用勾股定理进行求解即可;

（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可;

答案第6页，共13页

(3)从玻璃杯侧面展开，作8关于EG的对称点C,根据两点之间线段最短可知NC的长度

即为所求，利用勾股定理求解即可.

【详解】解：(1)由题意得4g=J152+202=25，

故答案为：25；

(2)将圆柱体展开，由题意得

AB=M+15?=17cm>

故答案为：17cm；

(3)如图，

从玻璃杯侧面展开，作8关于EG的对称点C,作交/£延长线于点。，连接NC

交EG于点尸，

BF=CF,OE=CG=BG=lcm,

AF+BF=AF+CF=AC,

'：AD=9-4+DE=5+1=6cm,CD=16+2=8cm

AC=y/CD2+AD2=A/82+62=10cm，

•••蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是10cm.

【分析】本题考查图形与坐标，涉及折叠性质、勾股定理及解方程等知识，先由折叠性质得

到C4=C4，，设OC=x,则C/'=C4=4-x,在Rt^COH中，由勾股定理列方程求解即可

得到答案，熟记折叠性质及勾股定理的运用是解决问题的关键.

【详解】解：将沿直线CD折叠，点A恰好落在02边的中点4处，

，由折叠性质可知，CA=CA',

•••4(0,4),2(6,0),

:.OA=4,OA'=-OB=3,

2

答案第7页，共13页

设OC=x,贝i|C4'=C4=4-x,

在Rt^CCW中，由勾股定理可得=即/+32=（4-x『，

7

/.8x=7,角牟得x=7，

o

,点C的坐标为

故答案为：

10.（1）28

⑵EF=：

【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键；

（1）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积-2个直角三角形的面积

=c2-2x-ab,即可求解；

2

（2）根据勾股定理求得出?=斤2_&g2=4,进而设£F=x,则。E=£F=x,

CE=CD-DE=3-x,在RtZ\CE尸中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解.

【详解】（1）解：空白部分的面积=边长为c的正方形的面积-2个直角三角形的面积

2,1,

=c-2x—ab,

2

,.,«=4,6=6,

••・空白部分的面积=42+62-2x（x4x6=28；

故答案为：28.

（2）解：•.・折叠，

AF=AD=5,在中AF=5,AB=3,

BF=y/AF2-AB2=4

:.CF=BC-BF=AD-BF=5-4=1,

设所=尤，贝！=CE=CD-DE=3-x

在RtACEF中，EF2=CE2+CF2

.-.X2=（3-X）2+12

解得：x=g

答案第8页，共13页

IP£F=|

11.C

【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题、垂线段最短，熟练掌握折叠的性质是解题关

键.先利用勾股定理可得8C=9,再根据折叠的性质可得CE=8C=9,从而可得

EF=9-CF,则当CF的值最小时，跖取得最大值，然后根据垂线段最短可得当

时，C尸的值最小，利用三角形的面积公式可求出CF的最小值，由此即可得.

【详解】解：•••在Rt/X/BC中，ZC=90°,AC=12,AB=15,

•••BC=ylAB2-AC2=9，

由折叠的性质得：CE=BC=9,

：.EF=CE-CF=9-CF,

当CF的值最小时，EF取得最大值，

由垂线段最短可知，当CFLN8时，CF的值最小，

此时=

「厂

Cr=-A--C--B--C--=--1-2-x--9=——36,

AB155

369

・•・£尸的最大值为9-

故选：C.

26

⑵(1)T

⑵5

【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理与折叠的问题，等角对等边等知识.

(1)由长方体形的性质可知/。=5。=12,NB=90°,由勾股定理得出/C,由折叠的性

质可得出48'=/B=5,BE=B'E=n-CE,NAB'E=NB=90。,进一步可得出

B'C=AC-AB'=13-5=S,ZEB'C=90°,再利用勾股定理可得出夕序+39?=CE?,代入

求解即可得出CE.

(2)由长方体形的性质可知48=CD=6,AD=BC=13,AD//BC,ZC=90°,

。尸=4D-/斤=13-3=10,进而可得出=由折叠得/D斯=/BE尸，

B'E=BE,等量代换可得出ND底£=由等角对等边可得出DE=。尸=10,由勾股

定理可得出CE,进一步可得出2Z,最后根据线段的和差即可得出答案.

【详解】(1)解：•••四边形488是长方形，48=5,AD=12,

答案第9页，共13页

；.4D=BC=12,ZB=90°,

•••AC=>]AB2+BC2=A/52+122=13，

由折叠得NB'=/B=5,BE=B'E=n-CE,AAB'E=AB=90°,

.■.B'C=AC-AB'=13~5=8,ZEB'C=90°,

在Rt△即C中，B'E2+B'C2=CE2,

即(12-CE)2+82=C£2

解得：CE=y

・•.CE的长是

(2)解:•.•四边形是长方形，AB=6,4D=13,AF=3,

AB=CD=6fAD=BC=T3,AD〃BC,ZC=90°,DF=AD-AF=13-3=10f

・•・NDFE=/BEF,

由折叠得NOE尸=/BE尸，B'E=BE,

・•・ZDFE=/DEF,

/.DE-DF=10,

在RtAEC。中，

CE=ylED?-CD。=A/102-62=8

:.B'E=BE=BC-CE=13-8=5,

:.B'D=DE-B'E=l0-5=5,

•••87的长是5

13.D

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，根据线段垂直平分线的

性质得出ND,NE的长，利用勾股定理逆定理得出△/£>£是直角三角形，进而利用勾股定理

解答即可，由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解题的关键.

【详解】解：连接NDAE,

答案第10页，共13页

■■AB的垂直平分线交8C于点D,A