2025浙江中考数学专项复习：二次根式（含答案详解）

专题04二次根式

考情聚焦

课标要求考点考向

1.掌握二次根式有意义的条件和基本性质（/）2=a（aN0）.考向一二次根式概念及性

2.能用二次根式的性质声=|a|来化简根式.质

考向二二次根式计算化简

3.能识别最简二次根式、同类二次根式.二次根式

求值

4.能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合

运算.考向三二次根式综合应用

真题透视A

考点二次根式

A考向一二次根式概念及性质

1.（2023•金华）要使《工有意义，则x的值可以是（）

A.0B.-1C.-2D.2

【答案】D

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x的范围，判断即可.

【解答】解：由题意得：尤-220,

解得：尤22,

则x的值可以是2,

故选：D.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.

2.（2020•宁波）二次根式中字母x的取值范围是（）

A.x>2B.无#2C.x22D.xW2

【答案】C

【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可.

【解答】解：由题意得，尤-220,

解得x22.

故选：C.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意

义.

3.（2020•衢州）要使二次根式J启有意义，则尤的值可以为（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】D

【分析】根据二次根式有意义的条件可得X-3N0,再解即可.

【解答】解：由题意得：x-320,

解得：工23,

故选：D.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.

22

4.（2000•杭州）已知二次根式J就，/曲，悔，i/a+b,J了中最简二次根式共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观

察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2,且被开方数中不含有分母，被开方数是多

项式时要先因式分解后再观察.

【解答】解：22~2V2a,可化简；

持后哼可化简；

=Va2*a）可化简；

所以，本题的最简二次根式有两个：忘,7a2+b2;故选私

【点评】根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断.

5.（2021•丽水）要使式子J言有意义，则x可取的一个数是4（答案不唯一）.

【答案】4（答案不唯一）.

【分析】根据二次根式有意义的条件得出x-320,再求出不等式的解集，最后求出答案即可.

【解答】解：要使式子J启有意义，必须x-320,

解得：无23,

所以x可取的一个数是4,

故答案为：4（答案不唯一）.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，注意：式子«中“20.

6.（2021•衢州）若J二工有意义，则。的值可以是2（答案不唯一）.（写出一个即可）

【答案】2（答案不唯一）.

【分析】由题意可得：x-1^0,解不等式即可得出答案.

【解答】解：由题意可得：

x-120,

即在1.

则x的值可以是大于等于1的任意实数.

故答案为：2（答案不唯一）.

【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练应用二次根式有意义的条件进行计算是解决本题

的关键.

7.（2012•杭州）已知«（a-V3）<0,若6=2-a,则6的取值范围是2-«<6<2.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据被开方数大于等于0以及不等式的基本性质求出a的取值范围，然后再求出2-a的范围即

可得解.

【解答】解：vVa（«-V3）<0,

a-V3<0,

解得o>0且a<百，

：.0<a<\[3,

-V3<-a<Q,

：.2-43<2-a<2,

即2--/3<b<2.

故答案为：2-百<6<2.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的基本性质，先确定出a的取值范围是解题的关键.

A考向二二次根式计算化简求值

1.（2021•杭州）下列计算正确的是（）

A.亚^=2B.J（-2）2=-2

C.*=±2D.1（一2产=±2

【答案】A

【分析】利用二次根式的性质值=|2|可知答案.

【解答】解：4*=|2|=2,符合题意；

B.J（-2）2=|-2|=2f不符合题意；

C=|2|=2,不符合题意；

D.q（一2）2=|-2|=2>不符合题意,

故选：A.

【点评】本题考查了二次根式的性质，关键是熟记性质进行计算.

2.（2020•杭州）V2XV3=（）

A.V5B.VeC.2V3D.3V2

【答案】B

【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可.

【解答】解：近乂如=瓜，

故选：B.

【点评】本题主要考查二次根式的乘法运算法则，关键在于熟练正确的运用运算法则，比较简单.

3.（2016•杭州）下列各式变形中，正确的是（）

A.B.-^2=|x|

C.（x2--）+尤=x-ID.x2-x+l=（x-—）2+—

x24

【答案】B

【分析】直接利用二次根式的性质以及同底数幕的乘法运算法则和分式的混合运算法则分别化简求出答

案.

【解答】解：A、/•/=2,故此选项错误；

B、正确；

C、（?-1）+x=x-1-,故此选项错误；

xXx2

D、x2-A+1=（x-—）2+—,故此选项错误；

24

故选:B.

【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及同底数幕的乘法运算和分式的混合运算等知识，正确掌握

相关运算法则是解题关键.

4.（2012•杭州）已知机=（二巨）X（-2721则有（）

3

A.5<m<6B.4<m<5C.-5<m<-4D.-6<m<-5

【答案】A

【分析】求出机的值，求出2小（V28）的范围5<加<6,即可得出选项.

【解答】解：机=（-返）X（-2721），

3

=173X21,

3

=2x377,

3

=2A/7=V28-

vV25<V28<V36,

.'.5<V28<6,

即5<m<6,

故选：A.

【点评】本题考查了二次根式的乘法运算和估计无理数的大小的应用，注意：5<V28<6,题目比较好，

难度不大.

5.（2003•杭州）已知—,b=_」-，则Ja?+b2+7的值为（）

V5-2V5+2v

A.5B.6C.3D.4

【答案】A

【分析】先化简m6后，再代入代数式求值.

【解答】解：：a=-j=J—=V5+2,b=-=l—=V5-2，

<5-2V5+2

Va2+b2+7=V（V5+2）2+（V5-2）2+7=5-

故选：A.

【点评】先化简再代入，是求值题的一般步骤；不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致繁琐

的运算.

6.（2005•杭州）若化简|『x|HX2_8X+16的结果为2》-5,则x的取值范围是（）

A.尤为任意实数B.

C.尤21D.xW4

【答案】B

【分析】根据完全平方公式先把多项式化简为11-x|-|x-4|,然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合

题意的x的值即可.

【解答】解：原式可化简为|1-尤|-|x-4|,

当1-xNO,X-4N0时，可得x无解，不符合题意；

当l-x>0,X-4W0时，可得xW4时，原式=1-x-4+x=-3；

当1-xWO,x-420时，可得x24时，原式=x-1-x+4=3；

当1-xWO,x-4W0时，可得时，原式=x-1-4+x=2x-5.

据以上分析可得当1WxW4时，多项式等于2%-5.

故选：B.

【点评】本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论.

7.（2023•杭州）计算：V2-^8—1y[2_.

【答案】见试题解答内容

【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案.

【解答】解：原式=&-2近

=-我.

故答案为：-V2.

【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键.

8.（2010•杭州）先化简栏-（卷烟-适），再求得它的近似值为5.20（精确至U0.01,-

1.414,73^1.732）.

【答案】见试题解答内容

=3«

^3X1.732

-5.196

-5.20

【点评】在根式的解答过程中，经常遇到类似本题的题型，在解答此类题型时，化简时，先把分数化成

根式形式后，再去解答会比较容易一些.

9.（2004•宁波）已知：a<0,化简｛4-（di]4+=-2.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据二次根式的性质化简.

又•.•二次根式内的数为非负数

'.a--=0

a

*.a=\或-1

•・"V0

••6Z=-1

・，・原式=0-2=-2.

【点评】解决本题的关键是根据二次根式内的数为非负数得到〃的值.

10.（1999•杭州）如果a+b+|=477^+27^1-4,那么a+2b-3c=0.

【答案】见试题解答内容

【分析】先移项，然后将等号左边的式子配成两个完全平方式，从而得到三个非负数的和为0,根据非

负数的性质求出。、b.c的值后，再代值计算.

【解答】解：原等式可变形为：

a-2+b+l+Wc-1-11=Wa-2+2Vb+l-5

（o-2）+（b+1）+|Vc<-1|-4\^2-2Vb+l+5=0

（a-2）-4-a-2+4+（6+1）-2Vb+1+1+|Vc-l-l|=0

（7a-2-2）2+（Vb+1_1）2+lVc-l_1|-0；

即：7a-2-2=0,Vb+1-1=0,Vc-l_1=0,

・Wa-2=2,Vb+l=l,7c-l=l,

J.a-2=4,0+1=1,c-1=1,

解得：a=6,b=0,c=2；

，〃+2b-3c=6+0-3X2=0.

【点评】此题较复杂，能够发现所给等式的特点，并能正确地进行配方是解答此题的关键.

11.（1998•杭州）已知JI5+X2H19-X2=2,则419-X2+2A/15+X2=4•

【答案】见试题解答内容

【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出加、〃的关系式，解方程组求〃7、〃的值即可.

【解答】解：设m=N15+>2，n=yJ19-x2J

那么7"-w=2①，nr+n2="15+x2）+（V19-X2）=34②.

由①得，"2=2+〃③，

将③代入②得：T^+ln-15=0,

解得：n=-5（舍去）或〃=3,

因此可得出，m=5,n=3（根20,〃20）.

所以719-X2+2115+X2=〃+2%=13.

【点评】本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解.

2I2

12.（2001•浙江）已知：a=-J，求a八飞_'Va-2a+l的值.

2^3a+22_a

【答案】见试题解答内容

【分析】首先化简。=2-然后根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，最后代入计算.

【解答】解：—

2W3

...原式=（a+2）（a-3）业卢戈_=._3+1

a+2a（a-l）a

=2-V3-3+2+V3=l.

【点评】此题中注意：当时，有.（a-l）2=1-

13.（1999•杭州）已知求代数式蜡号----/'了厂的值.

Vx-VyxVy-yvx

【答案】见试题解答内容

【分析】根据二次函数的性质，可求出x、y的值，然后将所求的代数式化简，再代值计算即可.

｛卷解得『

【解答】解:由已知，得:此时y=18；

原式=产厂2xy

Vx7yVxy(Vx-Vv)

X切

Vx-Vy

_(Vx-Vy)2

Vx-Vy

=Vx-Vy

当x=8,y=18时，

原式=2&-3近=-

【点评】能够根据二次根式的性质求出小y的值，并能正确的将所求的式子化简是解答此题的关键.

A考向三二次根式综合应用

1.（2003•杭州）对于以下四个命题：①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边的长是5；②（右）

2=a；③若点P（a,b）在第三象限，则点。（-a,-b）在第一象限；④两边及其第三边上的中线对

应相等的两个三角形全等，正确的说法是（）

A.只有①错误，其他正确B.①②错误，③④正确

C.①④错误，②③正确D.只有④错误，其他正确

【答案】A

【分析】①应明确边长为4的边是直角边还是斜边；

②隐含条件a20,根据二次根式的定义解答；

③根据每个象限内点的符号特点判断出a、b的符号，再判断出-a、-b的符号即可；

④用“倍长中线法”可证明两个三角形全等.

【解答】解：①错误，应强调为直角三角形的两条直角边长为3与4,则第三边的长是5；

②正确，隐含条件根据二次根式的意义，等式成立；

③正确，若点P(a,b)在第三象限，则a<0,b<0；则-a>0,-b>0,点。(-a,-b)在第一象

限；

④正确，作辅助线，倍长中线，可证明两个三角形全等.

故选：A.

【点评】本题考查了对勾股定理的理解，二次根式的化简，点的对称性质，全等三角形的判定方法.

2.(2005•台州)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即己知三角形的三边

I2222

长，求它的面积.用现代式子表示即为：S唱段一£)]“@(其中。、b、c为

三角形的三边长，s为面积).

而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：

s=4p(p-a)(p-b)(p-c)…②(其中p=a+£+c.)

(1)若已知三角形的三边长分别为5,7,8,试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；

(2)你能否由公式①推导出公式②？请试试.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)代入计算即可；

(2)需要在括号内都乘以4,括号外再乘工，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算.

4

I2222

【解答】解：(1)s=KHX72-(5-+、-*-)]，

=^752(72-11)-|V48=1073；

(5+7+8)=10,

2

又S=410(10-5)(10-7)(10-8)=710X5X3X2=1073；

22222222222222

(2)1r2,2/a+b-c-._1(4ab_(a+b)-2(a+b)*c+(c))

⑵-[ab-(—2)]-4---------------------4----------------

-[c2-(a-b)2][(a+b)2-c2],

=—^(c+a-Z?)(c-a+b)(a+6+c)Ca+b-c),

16

=春(2p-2a)(2p-2b)，2p,(2p-2c),

p(〃-〃)(p-Z?)(p-c)

/222______________________

**•[a2b2-（"~~）]=Vp（p-a）（p-b）（p-c）.

V3乙

（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）

【点评】考查了三角形面积的海伦公式的用法，也培养了学生的推理和计算能力.

新即特训,

1.（2024•余姚市一模）下列计算正确的是（）

.（-3）2=-3B.后=3

C.1（一3）2=±3D.后=±3

【答案】B

【分析】根据二次根式的性质进行化简，从而作出判断.

【解答】解：A、原式=3,故此选项不符合题意；

B、原式=3,故此选项符合题意；

C、原式=3,故此选项不符合题意；

D、原式=3,故此选项不符合题意.

故选：B.

【点评】本题考查二次根式的性质，理解二次根式的性质值=13是解题关键.

2.（2024•义乌市二模）二次根式4T§有意义，则实数x的取值范围是（）

A.x>3B.x»3C._r》-3D.-3

【答案】C

【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案.

【解答】解：•••二次根式心看有意义，

/•x+3^0,

解得：工2-3.

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键.

3.（2024•滨江区二模）计算：3^j--V27=（）

A.-3V3B.-2V3C.-V3D.V3

【答案】B

【分析】先把算式中的二次根式化为最简二次根式，然后进行计算即可.

【解答】解：原式=3乂爽-3^

3

=我-3如

=_酮,

故选：B.

［点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握如何把二次根式化成最简二次根式.

4.（2011•杭州模拟）要使代数式运W有意义，则x应满足（）

x-1

A.xWlB.尤>-2且xWlC.x》-2D.尤》-2且无#1

【答案】D

【分析】代数式运之有意义的条件为：分母x-1#0且被开方数x+2>0.即可求出x的范围.

x-l

【解答】解：根据题意得：尤-1W0且无+220.解得：工2-2且*/1.

故选：D.

【点评】式子有意义的条件必须同时满足：分式有意义和二次根式有意义两个条件.

分式有意义的条件为：分母#0；

二次根式有意义的条件为：被开方数20.

此类题的易错点是忽视了二次根式有意义的条件，导致漏解情况.

5.（2024•宁波模拟）在二次根式《2x+4中,x的取值范围是（）

A.x>-2B.-2C.xW-2D.xW-2

【答案】B

【分析】根据二次根式有意义的条件得到2x+420,然后解不等式即可.

【解答】解：・・,2x+420,

:・x2-2.

故选：B.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：五有意义的条件为a》0.

6.（2024•浙江模拟）已知代数式Va-2023f/2024-a，下列说法不正确的是（）

A.代数式有最大值

B.代数式有最小值

C.代数式值随。的增大而增大

D.代数式值不可能为0

【答案】。

【分析】根据二次根式有意义的条件确定。的范围，判断即可.

【解答】解：由题意得：a-2023^0,2024-aNO,

解得：2023WaW2024,

A、当a=2024时，代数式有最大值1,本选项说法正确，不符合题意；

B、当a=2023时，代数式有最小值-1,本选项说法正确，不符合题意；

C、当。增大时，Ja-2023增大,42024-a减小,则代数式值随。的增大而增大，本选项说法正确，不

符合题意；

D、当“a-2023="2024-a，即。=期二时，代数式值为0,故本选项说法错误，符合题意；

2

故选：D.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.

7.(2024•萧山区一模)下列计算或变形正确的是()

A.2a+3b=6abB.—+-^-=~-—

aba+b

C.Va+Vb-Va+bD.a2,b2=(ab)2

【答案】。

【分析】根据合并同类项法则、分式的加减、二次根式的加减、单项式乘单项式的运算法则分别计算判

断即可.

【解答】解：2a与死不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；

B、①电，故此选项不符合题意；

abab

C、Va+Vb7^Va+b＞故此选项不符合题意；

D、a1*b1=(ab)2,故此选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了合并同类项法则、分式的加减、二次根式的加减、单项式乘单项式，熟练掌握这些

运算法则是解题的关键.

8.(2024•镇海区校级一模)下列运算，结果正确的是()

A.cr'+c^=2tz3B.(a3)2=a5C.cr'^a=aD.J^=a

【答案】A

【分析】利用合并同类项的法则，塞的乘方与积的乘方的法则，同底数基的除法法则和二次根式的性质

对每个选项进行逐一判断即可.

【解答】解：'.'a3+a3=2a3,

选项的结论正确，符合题意；

*/(a3)2=a6,

.•,2选项的结论不正确，不符合题意；

.•.3a•~a_—2a,

；.c选项的结论不正确，不符合题意；

•4a2=⑷，

选项的结论不正确，不符合题意.

故选：A.

【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，募的乘方与积的乘方的法则，同底数嘉的除法法则和二次

根式的性质，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键.

9.（2024•宁波模拟）计算：5a-&=口6_.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案

【解答】解：原式=（5-1）义弧=4泥,

故答案为：46

【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型.

10.（2024•拱墅区校级二模）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是无22.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据二次根式有意义的条件得到x-220,解之即可求出x的取值范围.

【解答】解：根据题意得：％-220,

解得：无22.

故答案为：工三2.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义时被开方数是非负数.

11.（2024•镇海区校级模拟）二次根式,2x+l有意义的条件是

【答案】见试题解答内容

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0,列不等式求解.

【解答】解：根据二次根式有意义，得：2x+l>0,

解得：X，-1.

2

故答案为X2-2.

2

【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握二次根式有意义，则被开方数不

小于0,此题比较简单.

12.（2024•浙江模拟）要使二次根式“x-2024有意义,实数x的取值范围是G2024.

【答案】见试题解答内容

【分析】直接利用二次根式有意义的条件可得尤-202420,进而得出答案.

【解答】解：•.•二次根式/-2024有意义,

-202420,

解得：尤N2024.

故答案为：x22024.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键.

13.(2023•临安区校级模拟)计算我-2患的结果是

【答案】见试题解答内容

【分析】原式各项化为最简二次根式，合并即可得到结果.

【解答】解：原式=2a-2X，Z

2

=272-72

=我，

故答案为：V2.

【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

14.(2024•钱塘区一模)已知x=l-y=\+42,则/+3xy+/的值为3.

【答案】3.

【分析】根据二次根式的加法法则、乘法法则分别求出x+y、孙，根据完全平方公式把所求的式子变形,

代入计算即可.

【解答】解：尸1+血，

'.x+y=(1-V2)+(1+V2)=2,xy=(1-^2)(1+V2)=1-2=-1,

贝！J/+3孙+y2

=x2+2xy+y2+xy

=(%+y)2+xy

=22-l

=3,

故答案为：3.

【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则是解题的关键.

15.(2024•拱墅区二模)计算：了X栏+a=」反

【答案】见试题解答内容

【分析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答.

【解答】解：，无X患+企

=悯+我

=2a+2加

=4A/2，

故答案为：4A历.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.

16.（2024•浙江模拟）先化简，再求值：2（aW^）（a-述）-a（a-4）+14,其中-2.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式把原式化简，把。的值代入计算

即可.

【解答】解：原式=2（$-5）-（/-4〃）+14

=2/-10-〃2+4。+14

=/+4〃+4

=（〃+2）2,

当。=*\/^-2时，原式=（V6-2+2）2=6.

【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握平方差公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关

键.

17.（2024•浙江模拟）问题：先化简，再求值：2。+1@2_]0/25,其中。=3.

小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下.

小宇的解答过程如下：

解:24+42-侬+25

=2a+J（a-5）2……（第一步）

—2a+a-5（第二步）

=3a-5.……（第三步）

当a—3时，

原式=3X37=4....（第四步）

小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a=3直接代入原式中：

2fl+7a2-10a+25

=6+^32-iQX3+25

=6+2

=8.

由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程.

【答案】a+5；8.

【分析】根据二次根式的性质将二次根式进行化简后，再代入求值即可.

【解答】解：错在第二步，

原式=2〃+｛（软—5）2=2〃+|〃-5|,

\'a=3<5,

:.a-5V0,

；・原式=2。+（5-〃）

=a+5,

当〃=3时,

原式=3+5

=8.

【点评】本题考查二次根式的化简与求值，掌握值=间，是正确解答的关键.

18.（2024•杭州一模）以下是小滨计算/适.祗唔的解答过程：

解:原式■喙-加

=巫-/.

小滨的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程.

【答案】有错误.

【分析】先把J五和聆化简，再患化为岩，接着把除法运算转化为乘法运算，然后根据二次根式的

乘法法则运算.

【解答】解：小滨的解答过程有错误.

正确的解答过程为：原式=2我+1

V22

=2百义6-逅

2

=2>/6-返.

2

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解

决问题的关键.

19.（2023•舟山一模）观察下列各式:

(1)请观察规律，并写出第④个等式:

(2)请用含"521）的式子写出你猜想的规律:(n+1)

n+2—

(3)请证明（2）中的结论.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式;

（2）根据规律写出含"的式子即可;

（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可.

【解答】解：（1）

⑵/磊=31）舄;

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得出其规

律并根据规律进行求解即可.

20.（2023•衢州一模）已知若x,y为实数，且尸Jx2-9x2+小求肝〉的值.

【答案】见试题解答内容

【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x的值，代回代数式求出y的值，继而代入计算可得.

【解答】解：由题意，7-920,9-/NO

，怔=9,

，％=±3

又・.・x+3W0,

-3,

.,.x=3,y=0+0+4=4,

；・x+y=7

【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件.

专题04二次根式

考情聚焦

课标要求考点考向

1.掌握二次根式有意义的条件和基本性质（/）2=a（aN0）.考向一二次根式概念及性

2.能用二次根式的性质声=|a|来化简根式.质

考向二二次根式计算化简

3.能识别最简二次根式、同类二次根式.二次根式

求值

4.能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合

运算.考向三二次根式综合应用

真题透视A

考点二次根式

A考向一二次根式概念及性质

1.（2023•金华）要使《工有意义，则x的值可以是（）

A.0B.-1C.-2D.2

2.（2020•宁波）二次根式中字母尤的取值范围是（）

A.x>2B.%W2C.D.

3.（2020•衢州）要使二次根式丁启有意义，则X的值可以为（）

A.0B.1C.2D.4

已知二次根式而,，

4.（2000•杭州）JJa2+b?,7?中最简二次根式共有）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（2021•丽水）要使式子JI互有意义，则X可取的一个数是—

6.（2021•衢州）若GI有意义，则X的值可以是___________.（写出一个即可）

7.（2012•杭州）已知4（a-眄）＜0,若b=2-a,则b的取值范围是___________.

A考向二二次根式计算化简求值

1.（2021•杭州）下列计算正确的是（

A.4^=2B.y（-2产=.

C.后=±2d-a-2）2=±2

2.（2020•杭州）72X^3=（）

A.V5B.娓C.2^3D.3A/2

3.（2016•杭州）下列各式变形中，正确的是（）

A.x2,x3=x6B.

C.（7~~）~^~x=x-1D.X2-x+l=（x-—）2+—

X24

m=（岑■）X（-2V21）1

4.（2012•杭州）已知则有（）

A.5<m<6B.4<m<5C.-5<m<--4D.-6<m<

5.（2003•杭州）已知a^-3—,b'l，则、^a2+b2+7的值为（）

V5-2V5+2'

A.5B.6C.3D.4

6.（2005•杭州）若化简|「X|-VX2-8X+16的结果为2x-5,则x的取值范围是（）

A.x为任意实数B.

C.九21D.xW4

7.（2023•杭州）计算：加一强=.

8.（2010•杭州）先化简聘-（1V24--|V12^-再求得它的近似值为（精确到0.01，近y

1.414,73^1.732）.

9.（2004•宁波）已知：a<0,化简,4-（a4）2-14+（a-―）2=.

10.（1999•杭州）如果a+b+-1|=4Va^2+27b+l-4,那么a+2b-3c=.

11.（1998•杭州）已知“15+x?-419-X2=2,则J19-x2+2415+x?

12.（2001•浙江）已知：a=匚，求记士§_'a2-2a+l的值.

2+>/3a+22

a-a

求代数式广切一的值.

13.（1999•杭州）已知x-8+V8-x+18-/xy

Vx-VyWy-yVx

A考向三二次根式综合应用

1.（2003•杭州）对于以下四个命题：①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边的长是5；②（4）

2=a；③若点P（a,b）在第三象限，则点0（-a,-b）在第一象限；④两边及其第三边上的中线对

应相等的两个三角形全等，正确的说法是（）

A.只有①错误，其他正确B.①②错误，③④正确

C.①④错误，②③正确D.只有④错误，其他正确

2.（2005•台州）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边

I2222

长，求它的面积.用现代式子表示即为：sJI[a2xb2_①（其中°、从c为

三角形的三边长，s为面积）.

而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：

s=4p（p-a）（p-b）（p-c）…②（其中p=）

（1）若已知三角形的三边长分别为5,7,8,试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；

（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试.

,新题特训/

1.（2024•余姚市一模）下列计算正确的是（)

{（-3）2=-3