2025年中考数学选择填空压轴题及答案

专题：函数的动点问题

例1.如图①，在平行四边形ABCO中，AD=9cm,动点尸从A点出发，以lcm/s的速度沿着A-B-C-

4的方向移动，直到点尸到达点A后才停止.已知△出£＞的面积y（单位：cm2）与点P移动的时间x（单

位：s）之间的函数关系如图②所示，图②中。与6的和为

同类题型1.1如图，已知正方形ABC。的边长为4,E是BC边上的一个动点，AE±EF,EF交DC于点、F,

设FC=y,则当点£从点8运动到点C时，y关于尤的函数图象是（）

D

同类题型1.2如图，在矩形ABC。中，AB=2,AD=3,点E是BC边上靠近点2的三等分点，动点尸从

点A出发，沿路径A-D-C-E运动，则△从「£的面积y与点尸经过的路径长x之间的函数关系用图象表

同类题型1.3如图，菱形ABC。的边长为2,ZA=60°,一个以点8为顶点的60°角绕点8旋转，这个

角的两边分别与线段AO的延长线及CD的延长线交于点尸、Q,设DP=x,DQ=y,则能大致反映y与x

的函数关系的图象是（）

A.O'xB.。|XC.O'xD.O'x

例2.如图，等边△ABC的边长为2cm,点P从点A出发，以lcm/s的速度沿AC向点C运动，到达点C

停止；同时点。从点A出发，以2cm/s的速度沿AB—向点C运动，到达点C停止，设△AP。的面积

为y（cn?）,运动时间为尤（s）,则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）

同类题型2.1如图1,E为矩形ABCD边上的一点，点P从点B沿折线BE—E。一OC运动到点C时

停止，点。从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s.若尸、。同时开始运动，设运

动时间为"s）,△BP。的面积为y（cm?），已知y与f的函数关系图象如图2,则下列结论错误的是（）

B.smZEBC=乎

D.当f=9s时，△PB。是等腰三角形

同类题型2.2矩形ABC。中，AB=6,BC=8,动点尸从点8出发以每秒2个单位长的速度沿54—A。一

DCD的方向运动到C点停止，动点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动到C点停止，假设尸、两点

同时出发，运动时间是f秒，y=SAPBQ,则y与f的函数图象大致是（）

同类题型2.3如图，矩形ABCD中，AB=8cm,AD=12cm,AC与交于点O,M是BC的中点.P、Q

两点沿着2-C-D方向分别从点8、点M同时出发，并都以lcm/s的速度运动，当点。到达。点时，两

点同时停止运动.在P、。两点运动的过程中，与△OPQ的面积随时间f变化的图象最接近的是（）

D

例3.如图，正六边形ABCOE歹的边长为6cm,P是对角线BE上一动点，过点P作直线/与BE垂直，动

点尸从8点出发且以lcm/s的速度匀速平移至E点.设直线/扫过正六边形ABCDEP区域的面积为S(cm2),

点P的运动时间为f(s),下列能反映S与f之间函数关系的大致图象是()

同类题型3.1如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCO是边长为4的正方形，平行于对角线8。的直线

/从。出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线/与正方形没有交点为止.设直

线,扫过正方形OBCO的面积为S,直线/运动的时间为八秒)，下列能反映S与，之间函数关系的图象是

同类题型3.2如图，△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=16.点P是斜边AB上一点.过点P作

PQLAB,垂足为尸，交边AC（或边CB）于点Q.设AP'X,当△APQ的面积为14小时，则x的值为

()

A.2^21B.2万或14C.2或201或14D.2或14

同类题型3.3如图1,在平面直角坐标系中，将口ABC。放置在第一象限，且AB〃x轴.直线y=-x从原

点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度/与直线在x轴上平移的距离

例4.如图，△4BC为直角三角形，ZC=90°,BC=2cm,ZA=30°,四边形OEFG为矩形，DE=2小

cm,EF=6cm,且点C、B、E、F在同一条直线上，点2与点£重合.以每秒1cm的速度沿矩

形DEFG的边EF向右平移，当点C与点F重合时停止.设RtAABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为

yen?,运动时间无s.能反映yen?与xs之间函数关系的大致图象是

B(E)

同类题型4.1如图，菱形ABCD的边长为1,菱形EFGH的边长为2,/BAD=NFEH=60°点、C与点、E

重合，点A,C（£）,G在同一条直线上，将菱形ABC。沿CnG方向平移至点A与点G重合时停止，设

点C、E之间的距离为x,菱形ABCD与菱形所GH重叠部分的面积为y,则能大致反映y与x之间函数关

同类题型4.2如图，等边AABC的边AB与正方形。EFG的边长均为2,且AB与。E在同一条直线上，开

始时点B与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点B与点E重合为止，设BD的长为x,AABC

与正方形DEPG重叠部分（图中阴影部分）的面积为》则y与x之间的函数关系的图象大致是（）

同类题型4.3如图，四边形ABC。是边长为1的正方形，四边形EFG”是边长为2的正方形，点。与点尸

重合，点8,D（F）,“在同一条直线上，将正方形ABCO沿厂今，方向平移至点B与点〃重合时停止，

设点P之间的距离为x,正方形ABC。与正方形EFGH重叠部分的面积为y,则能大致反映y与x之间

函数关系的图象是（）

参考答案

例1.如图①，在平行四边形ABCO中，AD=9cm,动点尸从A点出发，以lcm/s的速度沿着A-B-C-

A的方向移动，直到点P到达点A后才停止.已知△孙。的面积y（单位：cm?）与点尸移动的时间x（单

解：由图②可知点尸从A点运动到B点的时间为10s,

又因为P点运动的速度为Icm/s,

所以43=10X1=10（cm）,

由A£>=9可知点尸在边BC上的运动时间为9s,

所以«=10+9=19；

由图②知=36,

则;X9XBE=36,

解得BE=8,

在直角△ABE中，由勾股定理，得AE=“4B2—BE2=6.

易证△应1£也△CDF,

则3E=CP=8,AE=DF=6,AF=AD+DF=9+6=15.

在直角△ACF中，由勾股定理，得CAf/Ak+C#=17,

则点尸在CA边上从C点运动到A点的时间为17s,

所以匕=19+17=36,

a+b=19+36=55.

同类题型1」如图，已知正方形ABCD的边长为4,E是3c边上的一个动点，AE1EF,EF交DC于点F,

设BE=x,FC=y,则当点£从点2运动到点C时，y关于尤的函数图象是（）

D

解：VAE±EF,AZAEB+ZFCE=90°

•・•四边形ABCD是正方形，I.NB=ZC=90°A3=3C=4,

ZBAE+ZAEB^90°,AZBAE=ZFCE,

A3BE

••/\ABEs/\ECF,••口厂=,

ECFC

4x

■:BE=x,FC=y,：.EC=4~x,则有^—=一,

4—xy

i1

整理后得产一步9+尤配方后得到产一；(L2)92+1

从而得到图象为抛物线，开口朝下，顶点坐标为(2,1).

选C.

同类题型1.2如图，在矩形ABC。中，AB=2,AD=3,点E是2C边上靠近点2的三等分点，动点尸从

点A出发，沿路径A-O-C-E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表

解：：在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,

・・・CO=AB=2,5C=AO=3,

・・,点E是BC边上靠近点B的三等分点，

；.CE=|x3=2,

①点P在A。上时，AAPE的面积y=]x.2=x(0WJCW3),

②点P在CD上时，SAAPE=S_(梯形AECD)-S_(AAT>P)-S_(△CEP),

=1(2+3)X2-1x3X(无一3)X2X(3+2~x),

39

=5—^+2-5+x,

=~2x+2,

y=一$+羡(3VxW5),

③点尸在CE上时，S^APE=^x(3+2+2—x)X2=—x+7,

：.y=-x+l(5<xW7),

选A.

同类题型1.3如图，菱形ABC。的边长为2,ZA=60°,一个以点B为顶点的60°角绕点8旋转，这个

角的两边分别与线段AD的延长线及CD的延长线交于点尸、Q,设。尸=x,DQ=y,则能大致反映y与x

ZABD=ZCBD=ZADB=/BDC=60°,

：.ZBDQ=ZBDP=120°,

VZQBP=60°,

：.ZQBD=ZPBC,

'：AP//BC,

：.ZP=ZPBC,

：.ZQBD=ZP,

:ABDQS&DB,

.DQ^BDV=2

"BD~PD，12~x，

xy—4,

与x的函数关系的图象是双曲线，

选A.

例2.如图，等边△ABC的边长为2cm,点P从点A出发，以lcm/s的速度沿AC向点C运动，到达点C

停止；同时点。从点A出发，以2cm/s的速度沿AB—3C向点C运动，到达点C停止，设△AP。的面积

为y(cm2),运动时间为x(s),则下列最能反映了与x之间函数关系的图象是()

解：由题得，点。移动的路程为2x,点P移动的路程为x,

ZA=ZC=60°,AB=BC=2,

①如图，当点。在上运动时，过点。作QDLAC于£>,则

AQ—2x,DQ—y13x,AP=x,

△AP。的面积y=g><xX小彳=坐，（0<xWl）,

即当0<xWl时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故4、B排除;

②如图，当点。在BC上运动时，过点。作QELAC于E,则

CQ=4~2x,EQ=2小一小x,AP=x,

△AP。的面积y=/XxX（2小一小x）=—*/+/*（1〈尤W2）,

即当1<XW2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，故C排除，而。正确;

选D.

同类题型2.1如图1,E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点8沿折线EO-DC运动到点C时

停止，点。从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s.若P、。同时开始运动，设运

动时间为"s）,△BPQ的面积为y（cn?），已知y与f的函数关系图象如图2,则下列结论错误的是（）

近

B.sinZEBC=

C.当0<fW8时，y=*广

D.当f=9s时，△PBQ是等腰三角形

解：A、分析函数图象可知，当点。到达点C时，点尸到达点E处,

/.BC=BE=2X8=16cm,E£）=2X2=4cm,

.'.AE=AD—ED=BC—ED=16—4=12cm,故A正确;

B、作于点孔如图，

由函数图象可知，BC=BE=16cm,BF=AE=12cm,

由勾股定理得，EF=4巾cm,

FF4sS

**.sinEBC—np—iz--j，故5正确；

DLLio4

C、作于点M,如图,

•:BQ=BP=2t,

^y=S^BPQ=^BQ.PM=^BQ.BP-sinZEBC=1x2/-2t.乎=曰/.故C正确；

D、当f=9s时，点。与点C重合，点P运动到EO的中点，设为N,如图所示，连接NB,NC.

此时AN=14,ND=2,由勾股定理求得：NB=2®,NC=2、例,

•：BC=16,

...△BCN不是等腰三角形，即此时△尸2。不是等腰三角形.故D错误；

选D.

同类题型2.2矩形ABC。中，AB=6,BC=8,动点尸从点8出发以每秒2个单位长的速度沿BA—A。一

DCD的方向运动到C点停止，动点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动到C点停止，假设P、两点

同时出发，运动时间是/秒，y=SApBQ，则y与r的函数图象大致是()

19

解：①当0C/W3时，是y=]XfX2r=1；

②当3<fW7时，y=2XfX6=3f；

„1,

③当7<rW8时，y=^t(20-2r)=~t+10r；

④当8VfWlO时，X8(20-2r)=80一切；

观察各选项可知，y与f的函数图象大致是选项D.

选D.

同类题型2.3如图，矩形ABCD中，AB=8cm,AD=12cm,AC与皮）交于点O,M是BC的中点.P、Q

两点沿着B-C-Q方向分别从点B、点M同时出发，并都以lcm/s的速度运动，当点。到达。点时，两

点同时停止运动.在P、。两点运动的过程中，与的面积随时间，变化的图象最接近的是（）

解：•.•矩形ABC。中，AB=8cm,AD=12cm,AC与BD交于点O,

点0到BC的距离=3AB=4,到CD的距离=3AD=6,

:点M是BC的中点，

CM=2BC=6,

.,•点。到达点C的时间为6+1=6秒，

点P到达点C的时间为12+1=12秒，

点。到达点。的时间为（6+8）+1=14秒，

①0W/W6时，点尸、。都在BC上，PQ=6,

△0尸。的面积=£X6X4=12；

②6cW12时，点尸在2C上，点。在CD上，

CP=12—t,CQ=r—6,

S/\OPQ—SACOP+S&COQ-SAPCQi

（12-/）X4+jxG—6）X6-1X（12—f）XG—6）,

12

=W-8r+42,

12

=2（L8）+10,

③12ctW14时，PQ=6,

△OP。的面积X6X6=18；

纵观各选项，只有8选项图形符合.

选B.

例3.如图，正六边形ABC。所的边长为6cm,尸是对角线BE上一动点，过点尸作直线/与BE垂直，动

点尸从B点出发且以lcm/s的速度匀速平移至E点.设直线/扫过正六边形ABCDE尸区域的面积为S(cm2),

点P的运动时间为f(s),下列能反映S与f之间函数关系的大致图象是()

解：由题意得：BP=t,

如图1,连接AC,交BE于G,

图1

R/Z\ABG中，AB=6,ZABG=60°,

：.ZBAG=30°,

由勾股定理得：AG=A/62-32=3A/3,

：.AC=2AG=6^3,

当0W/W3时，PM=y[3t,

：.MN=2y/3t,

11J3

S=S/\BMN=FN.PB=^•y[3t=々t

所以选项A和B不正确；

如图2,当9W/W12时，PE=12—3

tanZMEP—,

PE

：.PM=y]3(12—力，

:.MN=2PM=2小(12-r),

S=S_(正六边形)一鼠(△EMV),

=2xj(AF+BE)XAG-|MN-PE,

=(6+12)X3g—^X2小(12—t)(12—f),

=54小一小(144-24?+?),

=一小/+24小L90V§,

此二次函数的开口向下，

所以选项C正确，选项。不正确；

选C.

同类题型3.1如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线

/从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线,与正方形没有交点为止.设直

线/扫过正方形OBCD的面积为S,直线/运动的时间为秒），下列能反映S与/之间函数关系的图象是

该函数图象是开口向上的抛物线的一部分.

故B、C错误；

11。

②当4cfW8时，S=16—弓义（8—f）X（8一力=—于一+8r-16.

该函数图象是开口向下的抛物线的一部分.

故A错误.

选D.

同类题型3.2（2015秋.荆州校级月考）如图，△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=16.点P是

斜边AB上一点.过点P作PQLAB,垂足为尸，交边AC（或边CB）于点。.设AP=尤，当△APQ的面

积为14小时，则x的值为（）

A.2A/21B.24或14C.2或24或14D.2或14

解：当点。在AC上时，

VZA=30°,AP=x,

：.PQ=xtan30°=丁x,

.,.S=3XAPXPQ=：XXX^=^X2=14小

解得：x=1^2i或x=—（舍去），

当点。在BC上时，如下图所示：

：.BP=16~x,N2=60°,

：.PQ=BP-tan60°=4(16—x).

：.S=jAPXPQ=^-^+s^3x=14^/3,

解得：x—2(舍去)或x=14.

选B.

同类题型3.3如图1,在平面直角坐标系中，将%BCD放置在第一象限，且A3〃x轴.直线y=-x从原

点出发沿X轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度/与直线在X轴上平移的距离

解：①当AB>4时如图1,

由图可知：0E=4,。尸=8,DG=3小,

EF=AG=OF-0E=4

•.•直线解析式为：y=-x

NAGD=NEFD=45°

...△AGO是等腰直角三角形

:.DH=GH=*DG=*X3市=3,

：.AH=AG-GH^4~3=1,

：.AD=yjDtf+Alf=-\l32+12=V10;

图2

由图可知：0/=4,0J=8,KB=3巾,0M=9,

：.IJ=AB=4,IM=AN=5,

•.•直线解析式为：y=-x,

:AKLB是等腰直角三角形，

：.KL=BL=^KB=3,

"：AB=4,

：.AL^AB-BL=\,

T同①得，DM=MN,

.•.过K作KM〃/M,

KL

••tanNDAN—~T~7=3,

ZlZ-/

・,I,DMDM

^AM~tanZDAN~3'

4

：.AN=AM+MN=^DM=5,

：.DM=MN=^-,

155

・・・AM=AN—MV=5—，

AAD,

故答案为四或平.

例4.如图，/XABC为直角三角形，ZC=90°,BC=2cm,ZA=30°,四边形OEEG为矩形，DE=2小

cm,EF=6cm,且点C、B、E、尸在同一条直线上，点B与点E重合.R/ZiABC以每秒1cm的速度沿矩

形DEFG的边EF向右平移，当点C与点F重合时停止.设RtAABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为

2与xs之间函数关系的大致图象是)

y

D.。|2468x

解:已知NC=90°，BC=2cm,ZA=30°，

：.AB=4,

由勾股定理得：AC=2y[3,

:四边形DEFG为矩形，ZC=90,

:.DE=GF=2事,/C=/DEF=90°,

J.AC//DE,

此题有三种情况：（1）当0＜尤＜2时，AB交DE于H,

'：DE//AC,

.EHBE

""AC~BC'

即x•1

即班—2，

解得：EH=y[3x,

所以y=；.y[3x■》=坐¥,

之间是二次函数，

所以所选答案C错误，答案。错误,

竽>0,开口向上;

如图,

此时y=3x2X2/=2噌,

如图，设△ABC的面积是Si,△尸NB的面积是S2，

BF=x-6,与（1）类同，同法可求句V=,X—6V5,

・・y=Si-$2，

=1X2X2A/3-|X（X-6）X（小X-附），

一亚

'x+6^3x~16\[3,

—2-

••近.

<0,

•-2

开口向下，

所以答案A正确，答案8错误,

选A.

同类题型4.1如图，菱形ABC。的边长为1,菱形EFG”的边长为2,/BAD=NFEH=60°点、C与点、E

重合，点A,C(E),G在同一条直线上，将菱形ABCD沿CnG方向平移至点A与点G重合时停止，设

点C、E之间的距离为x,菱形ABC。与菱形EFG”重叠部分的面积为》则能大致反映y与x之间函数关

解：由菱形ABC。、EFGH边长为1,2可得：AC=2ABXsin30°=y/3,EG=2小

（1）当菱形ABCD移动到点A与点E重合的过程，即OWxW小时，重合部分的菱形的两条对角线长度

分别为：x,2X^Xtan3O°

.」小x小2

..y-]-x.3—6%

（2）当菱形ABC。移动到点C与点G重合的过程，重合部分的菱形面积不变，即小<xW2小时，y=S

菱形ABC。=3义]义小=坐;

（3）当菱形A3CZ）移动到点A与点G重合的过程，即2/<xW3小时，重合部分的菱形的两条对角线长

度分别为：小r,2X殍Xtan3。。=塔口

产只（V3-x）义塔0=害（仍—x）2.

由（1）⑵（3）可以看出图象应该是尸料图上像OWxW小时的部分，尸坐图象上小〈尤W2s时

的部分，y=*（小一x）2图象上2/<xW3小时的部分组成.

选D.

同类题型4.2如图，等边AABC的边AB与正方形。EFG的边长均为2,且AB与。E在同一条直线上，开

始时点8与点。重合，让△A2C沿这条直线向右平移，直到点B与点E重合为止，设2。的长为x,△ABC

与正方形。所G重叠部分（图中阴影部分）的面积为y,则y与x之间的函数关系的图象大致是（）

解：设80的长为x,△ABC与正方形。EFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y,

当8从。点运动到。E的中点时，即0W无W1时，.

当2从。E中点运动到E点时，即1＜彳・2时，J=A/3-1（2-x）X小（2-x）=-坐，+2小x-小

由函数关系式可看出D中的函数图象与所求的分段函数对应.

选D.

同类题型4.3如图，四边形ABC。是边长为1的正方形，四边形EFG”是边长为2的正方形，点。与点尸

重合，点B,D（F）,H在同一条直线上，将正方形ABC。沿尸今X方向平移至点2与点H重合时停止，

设点。、尸之间的距离为x,正方形ABC。与正方形EPGH重叠部分的面积为y,则能大致反映y与x之间

函数关系的图象是（）

解：DF=x,正方形A2CD与正方形EFGH重叠部分的面积为y

（0Wx＜娟）；

B'^7H/D

G

1

0VI2V23V2

综上可知，图象是

选B.

专题：四边形的综合问题

例1.如图，△APB中，AB=2也,ZAPB=90°,在AB的同侧作正△AB。、正△APE和△BPC,则四

边形PCDE面积的最大值是.

同类题型L1如图，ZkAPB中，AP=4,BP=3,在A3的同侧作正△A2D、正△APE和正△BPC,则四边

形PCDE面积的最大值是.

同类题型1.2如图，在68co中，分别以A3、为边向外作等边△ABE、AADF,延长CB交AE于点

G,点G在点A、£之间，连接CE、CF,EF,则以下四个结论一定正确的是（）

①ACDF出AEBC；②/CDF=/EAF；③△£■(?尸是等边三角形；®CG±AE.

A.只有①②B.只有①②③C.只有③④D.①②③④

同类题型1.3如图，四边形ABC。是平行四边形，点E是边C。上的一点，且BC=EC,CFLBE交AB

于点E尸是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分/CBF；②CF平分/DCB；③BC=FB；④PF=PC.其

中正确的有.（填序号）

同类题型L4如图，在口人？。。中，的平分线交CD于点E,交BC的延长线于点G,NABC的平

分线交于点尸，交AD的延长线于点”，AG马BH交于点O,连接BE,下列结论错误的是（）

A.B0=0HB.DF=CEC.DH=CGD.AB=AE

G

A

例2.图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品.该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝

隙）.图乙中整=W,EF=4cm,上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2,其内部菱形由两组距离相等

nC/

同类题型2.1如图，在菱形ABC。中，AB=4cm,ZADC=120°,点E、P同时由A、C两点出发，分别

沿48、CB方向向点8匀速移动（到点2为止），点E的速度为lcm/s,点厂的速度为2cm/s,经过/秒4

DEF为等边三角形,则f的值为.

同类题型2.2如图，在边长为2的菱形ABC。中，ZA=60°,M是40边的中点，N是AB边上的一动点,

将沿所在直线翻折得到MN,连接A'C,则A'C长度的最小值是.

同类题型2.3如图，在菱形ABC。中，边长为10,ZA=6Q°.顺次连接菱形ABC。各边中点，可得四边

形AiBQQi；顺次连接四边形各边中点，可得四边形A与CzA；顺次连接四边形&B2C2D2各

边中点，可得四边形483c3。3；按此规律继续下去…，则四边形A201782017c201702017的周长是

B

例3.如图，在矩形A5CZ）中，点E为A3的中点，砂，石C父于点R连接b（AO>AE）,下列结

论：①/AEF=/BCE；②S“EF=SAEAF+S“BE；③AF+BOCR④若卷=乎，则4CE尸也△CDF.其

中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

同类题型3.1如图，在矩形ABC。中，AD=pAB,NBA。的平分线交BC于点E,DHLAE于点打,

连接38并延长交CD于点R连接DE交于点0,下列结论：

①AED=/CED；®AB=HF,③BH=HF；®BC-CF=2HE；（§）0E=0D；

其中正确结论的序号是.

同类题型3.2如图，在矩形A3CD中，BC=也AB,/ADC的平分线交边BC于点E,AHLDE于点H,

连接C8并延长交A3边于点R连接AE交于点0,给出下列命题：

①AD=DE②DH=26EH③AAEHs△CFB@H0=%E

其中正确命题的序号是（填上所有正确命题的序号）

同类题型3.3如图,在矩形ABCD中，点E是边BC的中点,AELBD,垂足为F,则tanN或出的值是（）

11

AC

B.4-3-

例4.已知：如图，在正方形ABC。外取一点E,连接AE,BE,DE.过点A作AE的垂线AP交DE于点

P.AE=AP=1,PB=y[6,下列结论：

①△APO名△AEB；②点B到直线AE的距离为陋；③EB_LED；

=

④$△"£(+S/^APBI+'\[6.⑤S正方形ABCD=4+\[6.

其中正确结论的序号是.

同类题型4.1如图，正方形ABC。的边长为2,将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同

时滑动.如果点。从点A出发，沿图中所示方向按ATB—C—D-A滑动到A止，同时点R从点3出发,

沿图中所示方向按BiC一。—A—8滑动到B止.点N是正方形ABC。内任一点，把N点落在线段QR的

中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为尸，则尸=()

同类题型4.2如图，边长为2的正方形ABC。中，AE平分NZMC,AE交C。于点RCE±AE,垂足为点

E,EGLCD,垂足为点G,点//在边BC上，BH=DF,连接AH、FH,M与AC交于点以下结论：

1,

@FH=2BH；®AC±FH；③5-废=1；®CE=5AF；⑤EG-=FG.DG,其中正确结论的个数为()

C.4D.5

同类题型4.3如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点。.有直角使直角顶点

尸与点。重合，直角边PM、PN分别与04、。3重合，然后逆时针旋转NMPN,旋转角为。(00<0<

90°),PM、PN分别交于£、尸两点，连接EF交02于点G,则下列结论中正确的是.

(1)EF=也OE；(2)S四边形阻广S正方形钻8=1：4；(3)BE+BF=巾0A；(4)在旋转过程中，当^

3

8ER与△<%>产的面积之和最大时，AE=4；(5)OG.BD=AEL+CK.

同类题型4.4如图，四边形是边长为6的正方形，点C、。在边上，S.AC=DB=l,点尸是线

段CD上的动点，分别以AP.PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP,

E、F分别为MN、QR的中点，连接EF,设EF的中点为G,则当点尸从点C运动到点。

时，点G移动的路径长为.

参考答案

例1.如图，ZXAPB中，AB=2A/2，ZAPB=90°,在AB的同侧作正△A3。、正和△BPC,则四

边形PCDE面积的最大值是.

VZAPB=90°,ZAPE=ZBPC=60°,

AZEPC=150°,

AZCPF=180°-150°=30°,

二尸产平分N8PC,

又•：PB=PC,

：.PFLBC,

1199

设放ZXAB尸中，AP=afBP=b,则C尸0,a+b=8,

・・•AAPE和△A3。都是等边三角形，

：.AE=AP,AD=AB,ZEAP=ZDAB=60°,

：.ZEAD=ZPAB.

：./\EAD^APAB(SAS),

；・ED=PB=CP,

同理可得：LAPB妾4DCB(SAS),

:・EP=AP=CD,

・・・四边形CDEP是平行四边形，

四边形CDEP的面积=EPXCF=a><S=Tab'

又(a—b)2—a—2ab-\-b~20,

：.2ab^a+l^=8,

abW2,

即四边形PCDE面积的最大值为2.

同类题型1.1如图，TlxAPB中，AP=4,BP=3,在AB的同侧作正△AB。、正△?!「£1和正△8PC,则四边

形PCDE面积的最大值是.

D

E

匕

AB

解：:△A尸E和△A5O是等边三角形，

：.AE=AP=4,AB=AD,ZEAP=ZDAB=60°,

・・・NE4Z)=NRW=60°-ZDAP,

在△E4£)和△B4B中

AE=AP

<ZEAD=ZPAB

AD=AB

：.AEAD^/\PAB(SAS),

:・DE=BP,

同理△DBCgZkABP,

：.DC=AP,

・・•AAPE和尸C是等边三角形，

；・EP=AP,BP=CP,

:・DE=CP=3,DC=PE=4,

・・・四边形PCDE是平行四边形，

当CPLEP时，四边形PCDE的面积最大，最大面积是3义4=12.

同类题型1.2如图，在D43CD中，分别以AB、AO为边向外作等边△A5E、AADF,延长C3交AE■于点

G,点G在点A、E之间，连接CE、CF,EF,则以下四个结论一定正确的是（）

①△0£>/会△E3C；②NCDF=NEAF；③是等边三角形；@CG±AE.

A.只有①②B.只有①②③C.只有③④D.①②③④

：.FD=ADfBE=AB

•；AD=BC,AB=DC

:・FD=BC,BE=DC

•：NB=ND,ZFDA=ZABE

：.ZCDF=ZEBC

:.ACDFMEBC,故①正确；

VZFAE=ZFAD+ZEAB+ZBAD=6Q°+60°+(180°~ZCDA)=300°~ZCDA,

/尸DC=360°-ZFZ)A-ZADC=300°-ZCDA,

：.ZCDF=ZEAF,故②正确；

同理可得：ZCBE=ZEAF=ZCDF,

'：BC=AD=AF,BE=AE,

:.AEAF冬AEBC,

：.ZAEF=ZBEC,

'：ZAEF+ZFEB=ZBEC+ZFEB=ZAEB=60°,

AZFEC=60°,

'：CF=CE,

...△ECP是等边三角形，故③正确；

在等边三角形ABE中，

•.•等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段

如果CGLAE,则G是AE的中点，ZABG=30°,ZABC=150°,题目缺少这个条件，CGLAE不能

求证，故④错误.

选B.

同类题型1.3如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边C。上的一点，且3C=EC,CFLBE交AB

于点E尸是延长线上一点，下列结论：①BE平分/CBF；②CF平分/DCB；③BC=FB；④PF=PC.其

中正确的有.（填序号）

：.ZCEB=ZCBE,

•.•四边形ABCD是平行四边形,

：.DC//AB,

：.ZCEB=ZEBF,

：.ZCBE=ZEBF,

，①BE平分/CBF,正确；

'：BC=EC,CF±BE,

：.ZECF=ZBCF,

...②C/平分NOCS正确;

'JDC//AB,

：.ZDCF=ZCFB,

'：ZECF=ZBCF,

:.ZCFB=ZBCF9

：.BF=BC,

・••③正确；

■:FB=BC,CFLBE,

・・・5点一定在”的垂直平分线上，即尸3垂直平分/C,

：.PF=PC,故④正确.

答案为①②③④.

同类题型1.4如图，在DA3c。中，的平分线交CZ）于点E,交3c的延长线于点G,NABC的平

分线交CD于点R交AO的延长线于点〃，AG与3〃交于点。，连接3E,下列结论错误的是（）

A.BO=OHB.DF=CEC.DH=CGD.AB=AE

解：・・•四边形ABC。是平行四边形,

J.AH//BG,AD=BC,

：./H=/HBG,

•；/HBG=/HBA,

：.ZH=/HBA,

：.AH=AB,同理可证BG=AB,

：.AH=BG,•；AD=BC,

:・DH=CG,故C正确，

u

：AH=ABf/OAH=/OAB,

：・OH=OB,故A正确，

9

：DF//ABf

：.ZDFH=/ABH,

•I/H=NABH,

：.NH=/DFH,

：.DF=DH,同理可证EC=CG,

•：DH=CG,

：.DF=CE,故3正确，

无法证明AE=AB,

选D.

例2.图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品.该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝

隙）.图乙中喘=f，E尸=4cm,上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2,其内部菱形由两组距离相等

DG

EM

A7B

乙，

设AB=6acm,则BC=7acm,中间菱形的对角线〃/的长度为xcm,

,•*BC=7〃cm,MN=EF=4cm,

7〃+4

：.CN=—^—,

YGH//BC,

・GHDG

,,GV-DC'

lg—x

，，76Z+4~2，

2

•\x=3.5a—2…(1)；

:上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2,

6a.(7a~x)+2=54,

•\a(7a_x)=18…(2)；

由(1)(2),可得

〃=2,x—5,

/、7〃+47X2+4

：.CD=6X2=12(cm),CN=—^~=—5—=9(cm),

：.DN=yj12^+92=15(cm),

又•・,DH=\Dd+GlfiJG+fX；=7.5(cm),

・・・HN=15—7.5=7.5(cm),

,：AM//FC,

.KNMN__4__4

…麻=南=9_4=5

525

・・・HK=Ti^X7.5=Kcm)，

4十5o

该菱形的周长为：^X4=v(cm).

o3

同类题型2」如图，在菱形ABC。中，AB=4cm,NADC=120°,点E、尸同时由A、C两点出发，分别

沿A3、C3方向向点3匀速移动（到点3为止），点E的速度为lcm/s,点厂的速度为2cm/s,经过1秒4

解：延长A3至使3M=AE;连接尸

•・•四边形A5C0是菱形，NAOC=120°

：.AB=AD.ZA=60°,

9：BM=AE,

J.AD^ME,

跖为等边三角形，

：.ZDAE=ZDFE=60°,DE=EF=FD,

：.ZMEF+ZDEA—120°,ZADE+ZDE4=180°~ZA=120°,

ZMEF=NADE,

・••在△DAE和△£1〃尸中，

AD=ME

<ZMEF=ZADE

DE=EF

:.LDAE4EMF(SAS),

：.AE=MF,