2025年中考数学压轴题专练：规律问题（含答案）

规律问题

2025年中考数学压轴题专题训练

1.（1）【观察猜想】

112

第1个等式：i-3=（2-l）（2+l）J

119

第2个等式：3-5=（4-1）（4+1）J

1]2

第3个等式：5-7=（6-1）（6+1）,

第4个等式：①;

第"个等式：②；

（2）【应用迁移】

、+管1।1।1।+_______1_______

计算:（2-1）（2+1）+（4-1）（4+1）+（6-1）（6+1）++（2024-1）（2024+1）

2.如图，下列图案均由长度相同的小棒按一定的规律拼搭而成：第1个图案需要7根小棒，第2个图案需要13

根小棒，第3个图案需要18根小棒，第4个图案需要23根小棒，…，依此规律摆放.

m।EiJHIi-

第1个第2个第3个第4个

(1)则第5个图案需要根小棒；

(2)用含〃的代数式表示第〃(心2且〃为整数)个图案中小捧的数量；(结果化为最简形式)

(3)如果小明共有688根小棒，按上面的规律摆出一个图案，那么他可以摆出第几个图案.

3.观察算式，找规律:

尸=1；

13+23=9；

13+23+33=36；

试卷第1页，共8页

13+23+33+43=100；

33333

⑴由以上算式可知：1+2+3+4+5=

(2)计算：113+123+133+143++203.

4.点Z从数轴上表示+2的点开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位，第二次先向左移动

3个单位长度，再向右移动4个单位；第三次先向左移动5个单位，再向右移动6个单位…

(1)写出第一次移动后这个点在数轴上表示的数为;

(2)写出第四次移动后这个点在数轴上表示的数为；

(3)如果第〃次移动后这个点在数轴上表示的数为168,求”的值.

5.先观察，再解题:

因为1一;=±，11_11

2~3~2^33~43^4

所以

⑴*

(2)请接着完成下面的计算:

----1-----1FLH=1—|+||+|+L+------

1x22x33x4-----49x5012)(23)(34J(4950

⑶参照上述解法计算卷+白+*++布焉.

试卷第2页，共8页

6.阅读下列解题过程:

£

2

2

3

(2)按照你所发现的规律，猜想:；(〃为正整数)

(3)计算:

7.观察下列等式：

第1个等式：a1=1+1^2=2'

第2个等式：*

第3个等式：％，七七;

第4个等式：-1+白粽;

根据以上规律解答以下问题：

(1)写出第5个等式：；写出第〃个等式：；

(2)由分式性质可知：M：+i)，试求6+%+%+…+联-2023的值.

8.观察下列三行数：

—2,4,—8,16,—32,64,...；①

—1,5,—7,17,—31,65,...；②

试卷第3页，共8页

-g,1,—2,4,—8,16,....③

(1)直接写出第②行第七个数是，第③行第七个数是

(2)取每行的第8个数，计算这三个数的和.

9.从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表:

加数m的个数和S

12=1x2

22+4=6=2X3

32+4+6=12=3x4

42+4+6+8=20=4x5

52+4+6+8+10=30=5x6

(1)按这个规律，当加=6时，和S为；

⑵从2开始，加个连续偶数相加，它们的和S与加之间的关系，用公式表示出来为：s=

(3)应用上述公式计算：

①2+4+6+8+...+100

(2)1002+1004+1006+...+1100

10.观察以下等式：

第1个等式：氐加4

第2个等式:《号《T

第3个等式：袅*冷)

第4个等式：木=?(〉》

试卷第4页，共8页

按照以上规律，解决下列问题：

⑴写出第5个等式：_；

（2）写出你猜想的第〃个等式：_（用含正整数"的等式表示），并加以证明;

⑶若人+*+0+…+（2”+3）；2”+5）的值为9求正整数"的值•

11.若干个有规律的数，排列如下：

第一行1

第二行-1-3

第三行139

第四行-1-3-9-27

第五行1392781

试探究：

（1）第2012个数在第几行？这个数是多少？（每行的数都是从左往右数）

⑵写出第〃行第a个数的代数式；（用含〃，4的式子表示）

（3）求第2012个数所在行的所有数之和S.

12.将连续的奇数1,3,5,7,9,……排成如图所示的数表.

⑴写出数表所表示的规律；（至少写出4个）

（2）若将方框上下左右移动，可框住另外的9个数.若9个数之和等于297,求方框里中间数是多少？

试卷第5页，共8页

13.规律探究：

15x15=1x2x100+25=225；

25x25=2x3x100+25=625；

35x35=3x4x100+25=1225；

⑴第4行为」

(2)用含n的式子表示规律并证明.

14.先阅读材料，再解决问题.

乔=&=1；

Jr+2^=用=3；

713+23+33=V6r=6;

1/13+23+33+43=屈'=10;

根据上面的规律，解决问题：

(1)Vl3+23+33+43+53+63=___=____;

(2)求JF+23+33+—+/(用含"的代数式表示).

15.观察下列等式，探究其中的规律并解答问题:

1=12

2+3+4=32

3+4+5+6+7=52

4+5+6+7+8+9+10=产

(1)第4个等式中，k=；

试卷第6页，共8页

(2)写出第5个等式：；

(3)写出第〃个等式：(其中”为正整数)

16.观察下列等式，并按其中规律解答问题:

下列等式：P=12；

p+23=32；

13+23+33=62；

13+23+33+43=102；

(1)填空：13+23+33+43+53=.p+23+33+43+53+63=.

(2)求P+23+33+43+...+然的值(用含〃的式子表示，"为正整数).

17.探究规律：观察下面三行数

①一2,4,—8,16,-32,64,...；

②0,6,—6,18,-30,66,...；

③一1,2,—4,8,—16,32,...；

(1)第①行第8个数是」第②行第8个数是一；第③行第8个数是

(2)第①行第〃个数是二(用字母〃表示)；若设第①行第〃个数是为。，则第②，③行第〃个数分别为是一，

(用含。的式子表示)；

(3)第③行中是否存在连续的三个数的和为一192,若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由.

试卷第7页，共8页

18.(1)观察下列单项式：“3/,-5?,73-9x5,写出第"个单项式.

请认真阅读下面的解题思路

请注意：①一④小题不需作答：

①这组单项式中不变的是什么？直接写下来；②这组单项式中系数的符号规律是什么？

③这组单项式中系数的绝对值规律是什么？④这组单项式的次数的规律是什么？

探究：

⑤根据上面的归纳，猜想出第"个单项式是_(只用7个含〃的式子表示，

"是正整数).

⑥第2019个单项式是「第2020个单项式是，

拓展：

(2)请先观察下面的等式：

①32-f=8=8xl；②5-32=16=8x2;③72-52=24=8x3;④95=32=8*4;....按上面的规律填空：第⑥个等式

是「第⑨个等式是「第"个等式二

(3)请你用(2)的规律计算20212-2019。的值.

试卷第8页，共8页

参考答案

1小、11=21______1.21012

1,79（8-1）（8+1）J212n+l（2n-l）（2«+l）;2025

【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算；

（1）根据所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题.

（2）根据（1）中发现的规律进行计算即可.

112

【详解】解：⑴①第1个等式：丁厂（2-1）（2+1），

112

第2个等式：3-5=（4-l）（4+l）J

119

第3个等式：5-7=（6-1）（6+1）,

112

第4个等式：7-9=（8-1）（8+1）;

112

第〃个等式：2n-l~2n+l=（2n-l）（2n+l）;

11_21______1_2

故口木为：7-9-（8-1）（8+1）?2九一2八+1一（2.—1）（21+1）；

0、百叶」222_______2_______

⑵原式一万（2-1）（2+1）+（4-1）（4+1）+（6-1）（6+1）++（2024-1）（2024+1）

=平一驾—+□_一_q

2113355720232025；

斗2（，2025J）

12024

=—x----

22025

1012

~2025,

2.（1）28

⑵第"个图案所需小棒的根数为廊+3）（“22且”为正整数）根

⑶他可以摆出第137个图案

【分析】本题考查了规律题一图形的变化类，一元一次方程的应用；

（1）根据已知的前四个图案即可得到第五个图案需要根小棒；

（2）根据前四个图案所需小棒的根数变式，即可得到"个图案所需小棒的根数;

（3）将已知的688根小棒代入（2）,列出方程，解方程求解即可.

【详解】（1）解：第1个图案需要7根小棒，第2个图案需要13根小棒，

第3个图案需要13+5=18根小棒，

第4个图案需要18+5=23根小棒，

则第5个图案需要23+5=28根小棒，

故答案为：28；

（2）解：由所给图形可知，第1个图案所需小棒的根数为：7；

第2个图案所需小棒的根数为：13=5x2+3；

第3个图案所需小棒的根数为：18=5x3+3；

第4个图案所需小棒的根数为：23=5x4+3；

答案第1页，共U页

由此可见，从第2个图案开始，所需小棒的根数依次增加5,

所以第〃个图案所需小棒的根数为(5"+3)(W2且，，为正整数)根.

(3)解：由(2)可得5"+3=688,

解得"=137,

所以他可以摆出第137个图案.

3.(1)225

(2)41075

【分析】本题考查数字的变化规律.

(1)仿照前面的算式即可得出结果.

(2)根据数据可分析出规律为：从1开始，连续"个数的立方和等于(1+2+.+”*根据1「+1级+13，+卬++20=

(13+23+33++20)-(f+23+3,+-+10)计算即可.

【详解】(1)解：通过观察：

f=『=1,

13+23=(1+2)2=32=9,

13+23+33=(1+2+3)2=62=36,

13+23+33+43=(1+2+3+4)2=10。=100,

13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=225,

故答案为：225；

(2)解：通过观察，可得：从1开始，连续〃个数的立方和等于。+2++4，

gpi3+23+33++n3=(l+2+3++n)2,

据止匕可得：13+23+33++20=0+2+3++201=[(1]20)X22；=44100,

13+23+33+..+103=(1+2+3++]0『=3025,

/.113+123+133+143++203=44100-3025=41075.

4.(1)+3;

(2)+6;

(3)166.

【分析】(1)直接利用点平移的性质得出对应的数字；

(2)直接利用点平移的性质得出对应的数字；

(3)根据前两问得出平移规律，进而求解.

【详解】(1)解：从数轴上表示+2的点开始移动，

，第一次先向左平移1个单位，再向右移动2个单位，

答案第2页，共11页

第一次移动后这个点在数轴上表示的数为2T+2=3；

(2)解：第二次先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位，

第二次移动后这个点在数轴上表示的数为3-3+4=4；

..•第三次先向左移动5个单位，再向右移动6个单位，

...第三次移动后这个点在数轴上表示的数为："5+6=5,

•••第四次先向左移动7个单位，再向右移动8个单位，

•••第四次移动后这个点在数轴上表示的数为：5-7+8=6；

(3)解：由以上可得：第〃次移动结果这个点在数轴上表示的数为："+2.

〃+2=168,

解得："=166.

【点睛】此题主要考查了数轴以及点的平移，正确得出平移规律是解题的关键.

【分析】(1)根据所给的等式的形式进行求解即可;

(2)利用所给的等式的形式进行求解即可；

(3)仿照(2)的解答方式进行求解即可

【详解】(1)解：由题意得：息1J，

故答案为：

JO

(2)解：—+—+—+

川十1x22x33x449x50

”+仕—+L+—]

(2八23J(34J(4950J

,11111,11

223344950

=1-±

50

_49

~50；

⑶解：=+—十篇1

213)2(35J2157)2(4951,1

2<335574951J

150

=­X——

251

25

【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律.

6.(1)!

答案第3页，共U页

v7100

【分析】(1)利用算术平方根的意义解答即可；

(2)利用式子的规律解答即可；

(3)利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可.

【详解】(1)解：样

6

~7；

(2)解：依据上述运算的规律可得：

f2n+l_n

\(n+1)2~~n+l；

⑶解:原式《衿。爵

1

-100,

【点睛】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键.

|311+1

7・(1)%=1+嬴=元，a-=l+^l)=„(«+!)；

⑵-〉

【分析】(1)类比给出的4个等式，写出第5个等式即可，进而得出第〃个等式;

(2)利用得到的规律将原式变形，再计算即可.

【详解】⑴解：%=1+/=条

a_t11_n(n+l)+l_

n〃(九+1)〃(九+1)'

(2)解：JM^,=1+—+1+—+1+—+--+1+-----1---------2023

阳，不|x22x33x42022x2023

2023,

【点睛】此题考查数字的变化规律，从简单情形入手，找出一般规律，利用规律解决问题.

8.(1)-127,-32

(2)这三个数的和为577

【分析】(1)根据观察，第②行第n个数为(-i)'x2”+i由此规律即可得到第七个数；

根据观察第③行，第n个数为(-1)隈2"-2由此规律即可得到第七个数；

(2)根据观察，第①行第n个数为(-1)隈2"由此规律即可得出第八个数，再将每行的第八个数相加即可得到答

案.

【详解】(1)根据观察，第②行第n个数为(-1),*2”+1,则第七个数为一127；

根据观察第③行，第n个数为(-1)隈2一，则第七个数为-32.

故答案为：一127；-32.

(2)第①行第n个数为I)"x2,由此规律即可得出第八个数，

答案第4页，共11页

.••第①行第8个数是256,

第②行第8个数是256+1=257,

第③行第8个数是-32x(-2)=64,

这三个数的和为：256+257+64=577.

【点睛】本题考查了数字的变化规律探究、有理数的混合运算，仔细观察，得出每行数字的变化规律是解答

的关键.

9.(1)(1)42；

(2)m(m+1)；

(3)①2550；②52550.

【分析】(1)根据表格中的数据，可以计算出力=6时，S的值；

(2)根据表格中的数据，可以计算出S=2+4+6+...+2"的值；

(3)根据(2)中的规律进行求解，加数不是从2开始的，我们可以先按从2开始进行计算，然后再减去前

面多加的数即可.

【详解】(1)由题意得：当机=6时，8=2+4+6+8+10+12=6x7=42,

故答案为：42；

(2)由题意可得：

S=2+4+6+...+2m=m(m+1),

故答案为：m(m+1)；

(3)①2+4+6+...+100

八

=1-0-0x(z—10-0+1)

22

=50x51

=2550；

②1002+1004+1006+...+1100

=2+4+6+...+1100-(2+4+6+...+1000)

=550x551-500x501

=303050-250500

=52550；

【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题.

■.⑴熹《哈》

(2)(2i；(2"+Ex(/r/T)'证明见解析

(3)7

【分析】(1)根据前四个式子的规律，写出第5个式子，即可求解；

(2)由(1)中的式子得到规律，即可求解；

答案第5页，共u页

（3）根据题意把原式变形为;*（1一斗白（:一!]+*!一;）+.+入伍乜一3目，可得

2v5J2^35J^\5772\2n+5Zn+jJ

白口《+（4+!-）+...+■-/],再化简可得到4一三），然后得到关于〃的方程，即可求解.

2v33D3/2n+5Zn+j）2\Zn+jJ

【详解】（1）解：根据题意得：第1个等式：^=1x（l-l）

第2个等式:白=河+

第3个等式:袅鸿今

第4个等式：木=5（9》

第5个等式:焉=拜带

故答案为:

（2）由⑴得：第〃个等式：（2"一，（2〃+1）=3+一*）

证明：右边=.x（2.+l）（2.—l）

2

-「2X(2n+l)(2«-l)

1

-(2H+1)(2W-1)

=左边；

111]

—+—+—+

(3)1x33x55x7（2〃+3）（2〃+5）

乂1-扑？£）+乂泊卜+乂熹-*）

1(111111_______

—X1----1-------1-------F

2I335572n+32n+5)

+(2〃+3)(2〃+5)的值为V>

11

整理得:2m+5-19

解得：«=7,

检验：当〃=7时，2"+5wO,

，"=7是原方程的解.

【点睛】本题主要考查了分式的规律性问题，分式加减的应用，解分式方程，明确题意，准确得到规律是解

题的关键.

11.⑴第63行，这个数为358；

⑵（-1）/3口；

3l

（3）T.

【分析】每一行的数的个数和行数都是相同的，奇数行的数字都是3鼠/,偶数行的数字都是（-3）统

一为（-1）力

（1）设第2012个数在第"行，贝|1+2+3+...+〃=约罗，估算得出答案即可；

（2）有以上分析直接写出即可；

（3）写出第2012个数所在行的所有数，进一步求和即可.

答案第6页，共11页

【详解】(1)解：•••每一行的数的个数和行数都是相同的，奇数行的数字都是3nL偶数行的数字都是(-3)

n'1,设行数为"，数字个数为尢,

—1+2+3+...+"=

62x(62+1)

当n=62时,=1953；

2

当〃=63时，=2016；

.62x(62+1)_1953<2012<63x(63+1)=2016,

…2一2

所以第2012个数在第63行，从左往右数第2012-1953=59个，这个数为3$8；

(2)解：由以上分析可直接写出为(-1)3k4

(3)解：VS=l+3+32+...+362@

・・・3S=3+32+...+362+363②

由②-①得2s=363-1

l+3+32+..,+362=—.

2

【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出规律，解决问题.

12.(1)见解析

(2)方框里中间数是33

【分析】(1)观察所给的数表即可得；

(2)设方框里中间数为X,则另外8个数为X-2,x+2,x-10,x+10,x-12,x+12,x-8,x+8,由题意得，

%-2+x-2+%—lO+x+10+x—12+x+12+%-8+%+8+%=297

进行计算即可得.

【详解】(1)解：规律有：①第一列个位数都是1,②每行只有5个奇数，③每行相邻两个数的和是2的倍数,

④每列相邻的两个数相差10.

(2)解：设方框里中间数为X,则另外8个数为x-2,x+2,x-10,x+10,x-12,x+12,x-8,x+8,

吴网，意^,X—2+x—2+x—lO+x+10+x—12+%+12+x—8+x+8+x=297

9%=297,

%=33,

则方框里中间数是33.

【点睛】本题考查了数字规律，一元一次方程，解题的关键是理解题意，掌握一元一次方程的应用.

13.(1)45x45=4x5x100+25=2025

(2)(10„+5)2=100"(n+1)+25,证明见解析

【分析】(1)从给出的数据分析得，这些得出的结果最后两位都为25,百位以上2=1x2,6=2x3,12=3“4,…，

依此类推得出规律：百位为松(〃+1).

(2)直接利用已知数据变化规律进而得出符合题意的公式.

【详解】(1)解：根据数据可分析出规律，个位数位5的整数的平方运算结果的最后2位一定是25,百位以

上结果则为"X(〃+1),

答案第7页，共U页

.•.第4个算式应为45x45=4x5x100+25=2025.

(2)规律:(10n+5)2=100〃(«+1)+25,

证明：•.,左边=100/+100"+25,

右边=100/+100〃+25,

二左边=右边，

(10n+5)2=100〃(n+1)+25.

【点睛】本题考查规律型中的数字变化问题，本题的规律为个位数位5的整数的平方运算结果的最后2位一

定是25,百位以上结果则为"*(〃+1),难度一般.

14.(1)用,21；(2)

【分析】(1)观察各个等式中最左边的被开方数中各个幕的底数的和与最右边的结果的关系即可得到结论；

(2)利用(1)发现的规律解答即可.

【详解】解：々+23=五=3中,1+2=3,

值标于=病=6中，1+2+3=6,

7i3+23+33+43=^/101=10中，1+2+3+4=10,

・・・等式中最左边的被开方数中各个幕的底数的和=右边的结果.

,・•1+2+3+4+5+6=21,

(1)Vl3+23+33+43+53+63==21.

故答案为：亚F,21；

(2)由(1)中发现的规律可得：

Vl3+23+33++n3=«+2+3++.)2=1+2+3+・・・+〃=.

【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，本题是规律型题目，发现数字间的变化的规律是解题的关

键.

15.(1)7；(2)s+(s+l)+(s+2)+...+(3s—2)=(2s—I)2；(3)〃+(〃+1)+(〃+2)+…+(3〃一2)=(2〃-I)2

【分析】(1)根据前三个式子得出规律：结果是奇数的平方即可解答；

(2)根据前三个式子的规律：每一行的第一个数是行数，后面是奇数个连续整数的和，右边是奇数的平方,

据此即可写出结果；

(3)根据(2)中规律直接写出结果即可.

【详解】解：(1)由前三个等式知，第4个等式为：4+5+6+7+8+9+10=72,

47,

故答案为：7；

(2)由所给等式可知，

第s个等式为：s+(s+l)+(s+2)+...+(3s—2)=(2s—Ip,

故答案为：s+(s+l)+(s+2)+...+(3s-2)=(2s—Ip；

答案第8页，共11页

(3)由(2)知，第"个等式为:"+(〃+1)+(〃+2)+...+(3«-2)=(2„-1)2,

故答案为："个等式为:〃+(〃+1)+(〃+2)+...+(3»—2)=(2〃一I)2.

【点睛】本题考查数字类规律探究，理解题意，找到等式的规律是解答的关键.

16.(1)152,212;(2)F+23+33+43+K+/=(l+2+3+4+K,)2=["(；+1)]

【分析】(1)根据13^1)2=12,P+23=(I+2)2=32,F+23+33=(1+2+3)2=62,F++33+4?=(1+2+3+叶=及进行求解即可；

(2)由(1)得至I」的规律可得13+23+3、43+K+〃3=(I+2+3+4+K〃)2,再由I+2+3+4+K+〃=攻詈,由此即可得到答

案.

【详解】解：(1)V13=(1)2=12

13+23=(1+2)2=32,

F+23+33=0+2+3)2=62,

13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102,

13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=152,

13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212；

故答案为：夕，212;

(2)V13=(1)2=12

13+23=(1+2)2=32,

13+23+33=(1+2+3)2=62,

13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102,

...l3+23+33+43+K+W3=(1+2+3+4+K«)2,

・・・l+2+3+4+K+〃中，第1个数和最后一个数的和为〃+1,第二个数和倒数第二个数的和也为"+1,即一共有]个

n+\,

1+2+3+4+K+“=^1,

l3+23+33+43+K+n3=(l+2+3+4+K二["(丁)；.

【点睛】本题主要考查了数字类的规律问题，解题的关键在于能够根据题意找到规律进行求解.

17.(1)256,258,128；(2)(-2)"；。+2和;°；(3)存在，-64,128,-256

【分析】(1)根据题意得出第①行的每个数为-2的序数次幕，第②行每个数比第1行相应的数大2及第③行

的每个数是第1行相应数的一半，据此可得；

(2)根据(1)得出的规律即可求解；

(3)表示出连续的三个数，求出相应的〃个值，即可求解.

【详解】解：(1)第①行：：第1个数-2=(-2%第2个数4=(-2)2,第3个数-8=(-2)3,…

第8个数为(-2)8=256；

第②行：第8个数为：256+2=258；

答案第9页，共u页

第③行：第8个数为：256+2=128