北京市某中学2024-2025学年高一年级下册3月质量监测数学试题（解析版）

2024-2025学年第二学期3月质量监测

高一年级数学试卷

2025年3月

考试时间120分钟，试卷满分150分

一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项

1,已知向量”=(1'2),b=且(a+6),a,则实数加等于

A.-1B.2C.-3D.4

【答案】C

【解析】

【详解】V向量&=(1,2),b=(m,-\)

a+b=(1+m,1)

:(a+b)

「・(〃+/?)•"=0,即1+帆+2=0

m——3

故选C

2.在AABC中，已知人=66,。=6,。=30°,则。=

A.6B.12C.6或12D.无解

【答案】C

【解析】

【分析】

根据正弦定理求得sin3=且，再根据6>c,得B>C,可得B,从而可得

2

【详解】由正弦定理得•口bsinC°036.

sinn=----------=------------=

c62

因为b>c,所以8>C.

又因为0°<3<180°，

所以8=60°或120。.

当3=60°时，A=90°,a=^^=12；

sinC

当3=120时,A=30=C,=c=6.

所以〃=6或a=12.

故选：C

【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，注意求出sin3=@后得3的时候有两解，属于中档题.

2

3.在边长为3的等边三角形ABC中，BM=^MC,则§45河=()

6331

A.B.-C.-D.-

2242

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量数量积模与夹角计算公式可得结果.

【详解】因为3河=工河。，则又等边三角形ABC的边长为3

23

则加•=］痴•3C=•cos3=gx3x3xcos60°=万

故选：B

4.设向量人=(0,1),〃=［一/'-］)，则下列结论中正确的是()

A.a11bB.a.Lb

D①方向上的投影为自

C”的夹角为彳

【答案】c

【解析】

【分析】利用向量平行，垂直，夹角以及向量投影的坐标公式对各个选项进行检验即可.

即两个向量不满足平行的坐标公式，故错误;

B'l-ljxo+lxl-lj*0,即不满足向量垂直的坐标公式，故错误;

1

a.boA/237r

C.cos0=--——=—r=-=—,^e[0,7i\,所以夹角为—，正确；

|〃||6|在2L」4

_i

a-b?也

D2在。方向上的投影为可=虚=-3,故错误.

了

故选：C

【点睛】本题考查两个向量平行，垂直以及两个向量的夹角坐标公式，考查向量投影的计算方法，属于基

础题.

在中，分别为角的对边），则的形状为

5.VABCCOS2^=£±£6,cA,B,CVABC

22c

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得.

…如、..B_a+c.B_a+c_a+c,a2+c2-b2a+c,

【详解】•cos2—,..2cos2—，1+cosBv—,1H--------------------‘整理1A可H

22c2cclacc

[+廿=。2,.•，三角形为直角三角形.

故选：B.

【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角为边是解题关键.

6.在直角梯形ABC。中，ADAB=0>NB=30。，AB=2。BC=2,BE=；BC,贝|()

A.AE=-AB+-ADB.AE=-AB+-AD

6363

C.AE=-AB+-ADD.AE=-AB+-AD

6366

【答案】C

【解析】

【分析】先根据题意得A。=1,CD=5进而得A8=2OC，再结合已知和向量的加减法运算求解即

可得的答案.

【详解】由题意可求得AD=1,CD=陋

所以A8=2£）C，

又BE==BC,

3

则AE=AB+BE=AB+，C=46+1（区4+AD+℃）

33、）

^\1--\AB+-AD+-DC^\1--\AB+-AD+-AB

I33I36

I363

故选：C.

【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.

7.已知非零空间向量口力，且A3=a+2d3C=—5a+6b,C£>=7a—2Z?,则一定共线的三点是（

A.A,B,CB.A,B,DC.B,C,DD,A,C,D

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量加法求出AC、BD，结合已知向量及向量共线定理判断点共线即可.

、.UUULUUIUULUU11

【详解】由题设AC=A5+5C=—4a+8b，BD=BC+CD=2a+4b，

结合题设中的向量，显然只有5。=2A5,即A3,。一定共线.

故选：B

]I,[2.2.2

8.已知向量4=（1,左）/=（2,4）,则“左=—3”是[=。+6”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可

【详解】由+6,得a+2ci-b-\-b=〃+b，得a,b=0，得（1，女），（2,4）=0,解得

2

|2.2.2

反之,当上=一万时,a-b=O>所以/+2。.5+片=/+片,所以卜+目=a+b,

|2.2.2

所以“左=-g"是"a+0=a+b”的充要条件.

故选：C.

【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，考查向量的运算，属于基础题

9.将函数y=cos2光图象上的点尸现向右平移s(s>0)个单位长度得到点P.若P位于函数

7T

y=cos（2x-2）的图象上，贝U（）

6

1JT]兀

A.m=—,S的最小值为一B.m=—,s的最小值为一

21226

c.m=*s7T

最小值为不D.加二——,$的最小值为一

1226

【答案】A

【解析】

【分析】由题意P在函数y=cos2x上，可得加的值，求出p的坐标，由题意可得关于$的方程，可得s的

最小值.

【详解】点尸在函数上，所以机=cos（2xe）=：,则P%+s,；）,

将P（°+s」）代入>=cos（2x-二）中可得cos（?+2s-四）=—^>COS（25+—）=—,

62636262

TTTTTTTT

2s+—=±——F2ht,kGZ,可得s=1~阮或5=---Ffat,A:eZ,

63124

JT

由于s>0,所以s的最小值为一.

12

故选：A

jia

10.已知向量a,b夹角为\b1=2,对任意有|。+%々闫。-5|,则“-al+l=-]（££R）的最小

值是（）

A.B.-C.f+-D.立

2222

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】对任意尤GR,有|6+尤两边平方得/(a)?+2xa—[(4)2-2a20,则

A=4(a•6>+4(a)2[(a)2-2a-b]<0

即有[(a)2—q•句2MO,即(a)2=a.6,则(a-6)，a

•・•向量〃，b夹角为§，仍1=2

工(。)2-a-b=|^|-|/?|-COSy=|d：|

1^1=1

—/?|=Q(a-b)2=J(a)2+s、_2a・b=A/3

设AO=Q，AB=b，建立平面直角坐标系，如图所示：

则AQ0)，5(0,73)

.・・〃(—1,0),b(-l，6)

\tb-C^+tb=J(1_t)2+(g/)2+j(g—)2+(也%)2=2(Jq_；)2+(0_^~)2+^(/^-^)2+(0+^^)2它表不点

P(/，0)与点M(：,孝)、N(g,—%的距离之和的2倍

当"，P,N三点共线时，取得最小值MN,即23|=2,(；—")2+(中+当2二4,故选D

点睛：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题

转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面

向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数的最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用

函数、不等式、方程的有关知识来解.

二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)

11.设向量a=(1,0),〃=(1,1),若向量彳。+〃与向量c=(6,2)共线，则实数4=.

【答案】2

【解析】

【分析】求得4。+6=(>1+1/)，根据(4a+6)//c,列出方程,即可求解.

【详解】由题意，向量a=(1,0)/=(1,1),可得+=0)+(1,1)=(4+1,1),

因为向量Xa+b与向量2=(6,2)共线，所以2(2+1)—6=0,解得；1=2.

故答案为：2.

12.AA5C的角A,B,C的对边分别为。，b,c,若一"，则角C的大小为.

71

【答案】-

3

【解析】

【分析】直接利用余弦定理计算可得；

【详解】解：在△A5C中由余弦定理可得c?=4+)2—2"cosC,又c?=a?+b?-ab

所以cos。=,

2

Ce(0,

:.C=-

3

71

故答案为：—

3

【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.

13.已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos3=L,b=4,sinA=2sinC,贝!J

4

NABC的面积为.

【答案】V15

【解析】

【详解】sinC=2sinA,,由正弦定理可得c=2a,由余弦定理可得廿="—2accos3，

/.42=a2+c2~~ac，与c=2a,联立解得Q=2,C=4,cosB=—,B,

sinB=^1-cos2B=15,则AABC的面积S=—acsinB==y/15，故答案为

4224

jr

14.将函数/(x)=sin2x的图象向右平移一个单位后得到函数g(x)的图如则g(x)的解析式为g(x)=

6

；对于满足|/(七)一8(%2)|=2的和々，।七一的最小值等于-

TTTT

【答案】①.sin(2x—g)②.1

【解析】

【分析】根据图象变换规律得gO),根据条件结合图象确定|石-马|的最小值.

7T

【详解】/(x)=sin2x的图象向右平移二个单位后得：

6

77兀

函数g(x)=sin2(x——)=sin(2x——),

由于l『a)—g@)l=2,

所以，和々分别是/(X)，g(无)最大值或最小值点的横坐标，

JTTT

不妨设/(xi)是最大值，g(x2)是最小值，则+x2=m7r--,k,m^Z,

15.在等腰VABC中，AB=AC=2,BABC=2,则3C=；若点尸满足

CP=^CA-2CB,则.PB的值为.

【答案】①.2②.24

【解析】

【分析】利用余弦定理、平面向量及其线性运算、平面向量数量积的定义及运算分析运算即可得解.

【详解】解:

如上图，由题意等腰VABC中，AB=AC=2,贝”54卜2,

VBABC=2^^BA,BC^=ZB,

：.BABC=|BA||BC|cos3=2cos3=2,

|BC|cosB=l,即3c<053=1,

:由余弦定理得AC2=AB-+BC--2ABBCcosB，

•1.4=4+BC2-2x2x1，即8C2=4,又因边长BO〉。，

:.BC=2.

...VABC是等边三角形，则A=5=C=g,|C4|="q=2,

CP=-CA-2CB,

2

：,PA=CA-CP=-CA+2CB,PB=CB-CP=3CB--CA,

22

/.PAPB=\-CA+2CB\\3CB--CA\=-CACB--CA2+6CB2-CACB

（2只2）24

=|CA-CB-^CA2+6CB2=||G4||CB|COSC-1|C4|2+6|CB|2

=-X2X2X---X22+6X22=24.

224

故答案：2；24.

16.在直角VABC中，斜边AB=2,尸为VABC所在平面内一点，AP=^sin20-AB+cos23-AC（其中

OeR）,

①AB•AC的取值范围是（0,4）

②点P经过VA3C的外心

③点尸所在轨迹的长度为2

④PC-(PA+P3)的取值范围是—g,0

则以上结论正确的是—.(填写序号)

【答案】①②④

【解析】

【分析】对①，由直角三角形结合向量的运算可得器.浅=注2判断即可；对②③，由题意推导

AP=sin?/AO+cos2/AC，进而可得P在线段0c上判断；对④，根据平面向量的线性运算可得

PCiPA+PB)=-2IPCWP0I，再根据基本不等式求解即可.

【详解】对①，由VA5C中AB为斜边，

可得A3AC=(AC+CB)AC=ACAC+C3AC=AC2,

又斜边AS=2,则IAC《0,2)|,则A5-ACW(O,4),①正确；

对②，若。为中点，则故AP=sin2e.AO+cos2，AC

又sin2O+cos20=l,所以。，P,C共线，故P在线段OC上，轨迹长为1,

又。是AABC的外心，所以②正确，③错误；

对④，又PA+PB=2PO,则PC(PA+PB)=2PCPO=-2|PCI|POI,

PC+PO1

又IPCI+IPOITOCI=1，则IPCIIPO区J_1=：，

24

\7

当且仅当IPCI=IPOI=3时，等号成立，

所以尸U(PA+P3)=—2IPCIIPOIC-1,o,④正确.

故答案为：①②④

三、解答题(共5小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)

17.已知向量2=(1,百),J=(—2,0)

(1)求〃一/?坐标以及o-z?与a之间的夹角;

(2)当上为何值时，左a+人与〃—3人垂直？

(3)当p—1,1］时，求卜—例的取值范围.

【答案】(1)a—沙=(1+2,6)，6=(；(2)左=(；(3)y/3<\a-tb\<2y/3

【解析】

【分析】(1)根据向量差公式与夹角公式可得结果;

(2)由上q+b与3b垂直可得(左a+)》(a_3))=0,即可求得结果;

(3)由卜―乃卜“。—加丫=小小—2R./+JG化简再结合d—1,1］即可求范围.

【详解】(1)因为a=(l,百)/=(一2,0),则a—>=(1+2,小卜

\a-bya3xl+V3x>/3_V3

设a与a之间的夹角为。则cos。=----r-j-r,因为6G[0,»|

-2

故8=工

6

(2)ka+b=(k-2,~j3k^,a-3b=(1+6,6)=(7,6)

因为左a+人与a—3Z?垂直，所以,a+b>(a—3b)=0,则7亿一2)+3左=0得左=]

(3)由卜町=da'-25:+广片=,4产+4/+4=++3

所以百<」41+口+3<273

因为/e[—1,1],

所以小〈卜—回426

【点睛】本题的解题关键在于准确掌握向量线性运算，以及求角和模公式.

18.在VABC中，2asin8=同.

(1)求A；

(2)若b=2娓,从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得VA3C存在且唯一确定，求VA3C

的面积.条件①：cosC=—亚；条件②：a=2；条件③：sinB=—

105

注：如果选择了不合适的条件，则第（2）问记0分.

【答案】（1）生或型

44

（2）18

【解析】

【分析】（1）根据已知条件利用正弦定理求解即可.

（2）由题意可知只有①符合，②③不符合，通过面积公式和正弦定理求解即可.

【小问1详解】

因为2asin8=41b，

则由正弦定理可得，

2sinAsinB=5/2sinB，

因为3e（0,兀）,sin5＞0

所以A=;或A=」.

44

【小问2详解】

若选①，即cosC=—典，则乌＜。＜兀，

102

所R二以I'l0<AA<兀一八n兀,s,m厂C=3--y-l--0-

2210

jr

所以A=；,

4

则sinB=sin（兀一（A+C））=sin（A+C）=sin|—+C

V2（屈）3MV2_A/5

-------X-------------H-----------------X-----------------

2I10J1025

由正弦定理得：

a_b_c

sinAsinBsinC

276V2/-2瓜3MA/-

a=-——=2oW5,c=-------=673

V5210

1~1~

则VABC存在且唯一确定,

VABC面积为S=^acsin3=,仓673?—18.

225

若选②，即。=2,又b=2瓜'2asinB—y/2b

所以sin3=Q，矛盾

所以②不成立；

若选③，

由sinB=，b=2^/6，2asinB=垃b

得(2=2\/15，

由余弦定理可得：a2=/+。2-2Z?ccosA，

jr

当A=:时，60=24+c2-2/?ccosA

4

得c2—4y/3c—36=0=>c=6^/5^或c=—2y/3舍；

,4371,c

当A=一时，60=24+c2-2Z?ccosA

4

得c2+4A/3C-36=0nc=2y/3或c=—6y/3舍；

此时VABC存在但不唯一确定，所以不合题意.

JI

19.函数/(x)=45]!1(8+。)(4>0,<»>0,|夕|<5)的部分图象如图所示.

（1）求函数/（X）的解析式；

7T1

（2）将函数/（无）的图象先向右平移一个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的3（纵坐标不变），得

4/

TT7T

到函数g。)的图象，求8(%)在[—-上的最大值和最小值；

126

(3)若函数/(%)的图象向右平移®>0)个单位得到函数〃(%),若〃(尤)为奇函数，求♦的最小值.

【答案】(1)f(x)=2sin^2x+^

(2)最大值为石，最小值为-2

(3)—.

12

【解析】

【分析】(1)根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式.

(2)利用函数图象变换求出g(x),再利用正弦函数的性质求出指定区间上的最值.

(3)求出函数〃(%),再结合正弦型函数是奇函数的特征列式求解.

【小问1详解】

41112兀

由函数/(幻的部分图象知A=2,最小正周期T=—(一兀—―71)=—,解得。=2,

3126co

函数/(%)=2sin(2x+。)，由/1(2)=2,得2义工+夕=工+2版,左eZ,而|夕|<四，则°=百，

66226

JT

所以/(x)=2sin(2x+—).

6

【小问2详解】

将/(%)向右平移一77"个单位，得到y=2sin[2(x—T2T)+2TT]=2sin(2x—TT2)，

4463

再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的;，得到g(x)=2sin(4x--),

由工且一碧，鲁，得4x-ge[-W，争，则当4x—三=々,即x=2时,g(%)1mx=6,

12o33333O

当4XJ=£,即户七时，g(X)mm=-2,

所以g(x)在[-2TT苫7T]上的最大值为拓，最小值为—2.

126

【小问3详解】

ITJT

由(1)知力(%)=/(%-r)=2sin[2(x-，)+—]=2sin[2%-(2方——)],

66

jrjrKTT

由〃（x）为奇函数，得2f——=kn,ke'N,解得/=一+一，左eN,

6122

JT

所以/最小值为一.

12

20.某中学新校区有一块形状为平面四边形ABCD的土地准备种一些花圃，其中A,B为定点,AB=6

（百米），AD=DC=1（百米）.

（1）若NC=120，BD=6（百米），求平面四边形ABCD的面积；

（2）若BC=1（百米）.

（i）证明：73cosZBAD=1+cosZBCD;

（ii）若△ABD,△BCD面积依次为加，S2,求+的最大值.

【答案】（1）G+J行（平方百米）;（2）（/）证明见解析；3）最大值为1（平方百米）.

48

【解析】

【分析】（1）由已知利用余弦定理可求得BC的值，进而根据三角形的面积公式得面积，求和即可计算求

解.

（2）（i）分别在△A3Z）,△2。中应用余弦定理化简即可得证.

（ii）利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求

2

5/+52=[-2|^cosZBCD++1],利用二次函数的性质即可求解.

【详解】（1）令5C=x,在△BCD中，由余弦定理可得：3=l+x2-2xlxxcosl20

即无2+工一2=0，解得：x=l或1=—2（舍）

在△5。中，BC=CD=1,NC=120,所以S“0=^xl><lxsinl20=—，

BCD24

在△AB。中，AB=BD=出,AD=1,所以AD边上的高为J}—[；]=平，

所以S=Lxlx®=姮，所以SABC»=SABD+SB°=/上叵(平方百米).

(2)(i)在△AB£>中，BD2AB2+AD2-2xABxADxcosZBAD=4-273cosZBAD

在ABCD中BD2=BC2+CD2-2xBCxCDxcosZBCD=2-2cos/BCD

所以4-26cosZBAD=2-2cosZBCD,

所以6cos/BAD=1+cosZBCD.

故得证.

(ii)S：=(；x1x百义sinZBADj=|sin2ZBAD=1(l-cos2ABAD)

S；=lg义1x1xsinZBCD^=|sin2ZBCD=^(l-cos2NBCD)

所以S；+S；=；(3-3cos2ZBAD+1-cos2NBCD)

=-[4-(1+008ZBCD)2-cos2ZBCD]=-[-2cos2ZBCD-2cos/BCD+3]

4L」4

因A/3COSZBAD=1+cosZBCD，

所以—若<1+COSZBCD<6，可得—1<COSN3CD<6—1

S；+S；=：-2^cosZBCD+71(1Y7