2025年中考数学专项训练：等腰三角形

2025年中考数学二轮专题训练：

等腰三角形

一.选择题

1.等腰三角形的两边分别为5c机和12cm,则它的周长是（）

A.32cmB.22。m或29cm

C.22cmD.29cm

2.在△ABC和△AEC中,ZB=ZB*=30°,AB=A'B'=3f2C=AC=4,已知NC=",则NC的度数

是（）

A.30°B.n

C.n或180°-nD.30°或150°

3.如图，在△ABC中，AB=AC=6,ZC=70°,以A3为直径作半圆，交BC于点D,交AC于点E,

则朝的长为（）

C

A0B

7142

A.-B.-7TC.TlD.—71

233

4.己知△ABC中，AC=BC=4,CZ）_LAB于点E是AC的中点，CD交BE于点0,若CE=C。,则

AB的长是（）

A-------DB

A.5B.2V7C.6D.10

5.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,OE是AB的垂直平分线,若△BCE的周长为18,BC=6,则AD

的长为（）

A

\E

B

A.12B.8C.6D.3

6.如图，AB//CD,M、N为直线AB上的两点，连接CMMELCN于点E,点厂在CN上，连接。

CF=DF,若/EMN=70°,则/。的度数为（）

7.如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”，/E=45°,ZB=30°,AC//EF,CA=CF,连结AR

8.如图，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC,N8AC=100°,点。是边8c上的一个动点（不与点8、

C重合），NZMC与/AC8的平分线交于点。，则NAOC的大小不可能是（）

A.105°B.115°C.125°D.135°

9.如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC^36°,以点C为圆心，以为半径作弧交AC于点再分

别以B,D为圆心，以大于［BD的长为半径作弧，两弧相交于点P,作射线CP交AB于点E,连接DE.有

以下结论4个结论：①/BCE=36°,®BC=AE,③些=史工，④必空=且士其中正确的有

AC2SpEC2

（）个.

A

E,

ETC

A.1B.2C.3D.4

10.如图，在△ABC中，AB=20cm,AC=12c〃z,点尸从点B出发以每秒3c加速度向点A运动，点。从

点A同时出发以每秒2c机速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ

是以尸。为底的等腰三角形时，运动的时间是（）秒.

11.如图，在中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,将△ABC扩充为等腰三角形AB。，使扩充的

部分是以AC为直角边的直角三角形，则8的长为.

12.等腰三角形中，一个内角比另一个内角的3倍还多20。，则该等腰三角形中最小的内角的度数

是.

13.如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC,点E,E在等腰三角形ABC的内部，连接AE,EF,CF,使

ZBAE=ZAEF=60°,且CF平分/ACB.若AE=5,EF=3,贝UAB=.

14.如图，在△ABC中，。是8C上的一点，AB=AD,E,尸分别是AC,8D的中点，EF=3,贝UAC的

长是

A

15.在△ABC中，CA=C3,NACB=120°,将一块足够大的直角三角尺PMN(NM=90°、/MPN=30°)

按如图所示放置，顶点尸在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C,并且与C2的夹角/

PCB=a,斜边PN交AC于点D.在点P的滑动过程中，若APCD是等腰三角形，则夹角a的大小

16.如图，在△ABC中，AB=AC,AO_LBC于点。，E,尸分别是4。上的任意两点.若△ABC的面积为

20cm2,则图中阴影部分的面积为cm2.

17.如图，在△ABC中，AB^AC,N8AC=36°,过点A作AO〃8C,连结3D,作线段的垂直平分

线所交于点E,交3。于点足连接AF,^AF=AB,则

三.解答题

18.如图，在△ABC中，点。为AC边上一点，连结8。并延长到点E,过点E作E/〃BC交AC于点凡

交AB于点G.

(1)若BD=DE,求证：CD=DF；

(2)若BG=GE,NACB=70°,/E=25°,求/A的度数.

19.在△ABC中，AB=AC.

(1)是BC上的高，AD=AE.

①如图1,如果/54。=20°,则/EZ)C=°；

②如图2,如果/54。=50°,则/EZ)C=0.

(2)思考：通过以上两小题，你发现/54。与/EDC之间有什么关系？请用式子表

ZK:.

(3)如图3,如果不是2C上的高，AD^AE,是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理

20.在△ABC中，ZABC=ZACB,。为线段C2上一点(不与C、2重合)，点E为射线CA上一点，Z

ADE=/AED.设/CDE=0.

(1)如图1,①若NA4C=42°,/D4E=30°,则a=,0=；

②写出a与0的数量关系，并说明理由；

(2)如图2,当点E在CA的延长线上时，其它条件不变，写出a与0的数量关系，并说明理由.

E

21.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设NA4c=。(00<0<90°).现把小棒依次摆放在两

图1图2

活动一：如图1所示，从点4开始，依次向右摆放小棒，使小棒在端点处互相垂直，AM2为第1根小

棒.

数学思考：

(1)小棒能无限摆下去吗？答：.(填“能”或“不能”)

(2)设AAI=AL42=A2A3,e=°.

活动二：如图2所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中4A2为第1根小棒，且4出

—AAi.

数学思考：

(3)若已经摆放了3根小棒，则03=；(用含e的式子表示)

(4)若只能摆放4根小棒，则0的范围是

22.在△ABC中，已知点。在BC上，且C£)=CA,点E在的延长线上，且

(1)如图①，若N2AC=120°,AB^AC,求/D4E的度数;

(2)试探求/D4E与/朋C的数量关系;

(3)如图②，若AB平分/D4E,AC_LCZ)于点C,求证：BE=2CD.

23.阅读：在同一个三角形中，相等的边所对的角相等，简称为“等边对等角”.

例如，在△ABC中，如果A8=AC,依据“等边对等角”可得/8=/C.

请运用上述知识，解决问题：

己知：如图，△ABC中，于。，BE是三角形的角平分线，交于足

(1)若NABC=40°,求NAT茁的度数.

(2)若AE=AF,试判断AABC的形状，并写出证明过程.

24.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是中线，且。G_LCE于G,2CD=AB.

(1)求证：G是CE的中点；

(2)求证NB=2/BCE.

25.【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要.如图①，在AABC中，AB=AC,AD是中线,

若NC=58°,则/区4。的度数为

【数学应用】如图②，在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,AD,AG分别为△ABC和△AEF的

中线，若N8AF=110°,ZCAE=24°,求ND4G的度数;

【拓展】如图③，在△ABC和ZVIBE中，AB^AC,AB^AE,AD.AF分另ij为△ABC和ZkABE的中线,

AD与BE交于点、0,若/AOP=69°,则/CAE的度数为

图①

26.在△A8C中，NABC=/AC8,点。在BC边所在的直线上，点E在射线AC上，且始终保持/AOE

ZAED.

(1)如图1,若/B=/C=30。，ZBAD=80°,求/C£)E的度数;

(2)如图2,若N4BC=NAC2=70°,NCDE=15°,求NA4。的度数;

(3)如图3,当点D在BC边的延长线上时，猜想/胡。与/CDE的数量关系，并说明理由.

EE

图1图2图3

参考答案

选择题

题号12345678910

答案DBDBCAAACD

二.填空题

11.解：如图1,当AO=A8时,

VZACB=90°,

：.AC±BD,

：.CD=BC=6；

图i

如图2,当瓦1=5。时,

图2

VZACB=90°,AC=8,BC=6,

：.AB=+BC2=V82+62=10,

：.BD=lQf

：.CD=BD-3c=10-6=4；

如图3,当AO=80时，设C0=x,则AO=5O=6+x,

在RtZXACZ)中，AC2+CZ)2=AZ)2,

.'.82+^—(6+x)2

7

3-

二CD=-

7

故答案为：6或4或3

12.解：设/A=x,/8=3x+20°,

①当/A=/C为底角时，2x+(3x+20。)=180°,解得尤=32°,则/8=180°-32°-32°=116°；

故三个角的度数分别为32°,32°,116°；

②当NB=NC为底角时，2(3x+20°)+尤=180°,解得x=20°,故三个角的度数分别为20°,80°,

80°；

③当时，x=3x+20a,此种情况不存在；

该等腰三角形中最小的内角的度数是32°或20°.

故答案为：32°或20°.

13.解：延长C尸交A8于点G,延长斯交A8于点£»,

...△AOE是等边三角形，ZEDA=60°,

：.AE^AD^ED^5,

VEF=3,

：.DF=2,

由条件可知A8=2AG,ZCGB=90°,

；./DFG=90°-ZADE^30°,

：.DG=|DF=1,

：.AG=AD-DG=5-1=4,

.•.A8=2AG=8,

故答案为：8.

14.解：如图，连结AR

,：AB^AD,尸是BD的中点，

：.AF±BD,

由题意可得可得：EF=3,

：.AC^2EF^6,

故答案为：6.

15.解：是等腰三角形，

ZPC£)=120°-a,ZCPD=30°,

①当尸C=P。时，

:./PCD=/PDC=180；30°=75°,即120°-a=75°,

.\Za=45°；

②当尸O=C。时，△PC。是等腰三角形，

：.ZPCD=ZCPD=3Q°,即120°-a=30°,

.*.a=90°；

③当PC=CD时，是等腰三角形，

：.ZCDP=ZCPD=30°,

.,.ZPCD=180°-2X30°=120°,

即120°-a=120°,

；.a=0°,

此时点尸与点B重合，点。和A重合，

综合所述：当是等腰三角形时，a=45°或90°或0°.

故答案为：45°或90°或0°.

16.解：•.•在△ABC中，AB=AC,AO_LBC于点。，

:.BD=CD,

".S^BEF—S^CEF,

,S>ABC~20cm2,

11

・•・阴影部分面积为5s△ABC=-x20=10(cm2),

故答案为：10.

17.解：VZBAC=36°,AB=AC,

・・・NABC=NC=*x(180°-ZBAC)=^x(180°-36°)=72°,

U：AD//BC,

:・/D=/DBC,

•・・EF垂直平分A。，

：.FA=FD,

：.ZFAD=ZD,

：.ZAFB=ND+NEW=2ND

9

：AF=ABf

：.ZABF=NAFB=2/D,

：.ZABC=ZABF+ZDBC=2ZD^-ZD=3ZD=72°,

・・・/。=24。,

故答案为：24.

三.解答题(共9小题)

18.(1)证明：9：EF//BC,

：.NE=NCBD,

在△BCD和△EFQ中，

Z.CBD="

BD=DE,

/BDC=乙EDF

・••△BCDmAEFD(ASA),

：.CD=DF；

(2)解：・；BG=GE,

：.ZGBE=ZE=25°,

由(1)知NE=NQ5Z)=25°,

AZABC=ZGBE+ZCBD=50°,

ZA=180°-ZABC-ZACB=180°-50°-70°=60°.

19.解：(1)①在△ABC中，AB=AC,是上的高，

：.ZBAD=ZCADf

'：ZBAD=20°,

：.ZBAD=ZCAD=20°,

VAD=AE,

ZADE=ZAED=^°,

・・・A0是BC上的高，

：.ZEDC=90°-ZADE=10°.

故答案为：10；

②・・•在AA3c中，AB=AC,AO是BC上的高，

：.ZBAD=ZCADf

9：ZBAD=40°,

：.ZBAD=ZCAD=40°,

'：AD=AE,

：.ZADE=ZAED=70°,

：.ZEDC=20°.

故答案为：20；

(2)ZEDC=^ZBAD.

故答案为：ZEDC=^ZBAD；

(3)仍成立，理由如下：

VAD=AE,

ZADE=NAED,

：.ZBAD+ZB=ZADC=ZADE-i-ZEDC=ZAED+ZEDC=(NEDC+NC)+ZEDC

=2NEDC+/C,

^：AB=AC,

:・/B=/C,

1

NBAD=2/EDC,即ZEDC=^ZBAD.

20.解：⑴如图(1),

@VZBAC=42°,ZACB=ZABC,

1800-42°

AZABC=ZACB=2=69°,

VZ£)AE=30o,NADE=/AED,

：.ZADE=ZAED=15°,

,/ZAED是△O£C的一个外角,

：.ZAED=/EDC+/ACB,

：.ZEDC=ZAED-ZACB=15°-69°=6°,

即0=6。,

a=ZBAC-ZDAE=42°-30°=12°；

故答案为：12。，6°；

②a=20,理由是：

设N5AC=x,ZDAE=yf则。=工-乃

ZACB=ZABCf

180°-x

：.ZACB=

-2-

ZADE=NAED,

：.ZAED=吗-丫,

18tx

.•1P=ZA£D-/ACB=I',-'-^-=爰=另

.,.a=2p；

(2)如图(2),20=180°+a,理由是：

设NBAC=x,ZDAE=y,

a=x-(180°-y)=x-180°+y,

・.,ZACB=ZABC,

180°-x

：.ZACB=

-2-

・.,ZADE=NAED,

：.ZAED=180°~y,

ZEDB是△EQC的一个外角,

ZEDB=ZAED+ZACB,

.,.180。-p=180°~y+180°~x,

，2F=x+y,

.'.2p=180°+a.

21.解：(1)・・•根据已知条件NBAC=e(0°<0<90°)小棒两端能分别落在两射线上,

・・・小棒能继续摆下去，

故答案为：能；

(2)・・・A1A2=A2A3,AL42_LA2A3,

ZA2AIA3=45°,

AZA42AI+6=45°,

VAIA2=AAI,

NA42Al=NA=8,

・・・0=4504-2=22.5°；

(3)VAIA2=A4I,

ZAIAA2=ZAA2A1=0,

ZA2AIA3=0I=0+0=20,

即61=29,

同理可得：02=30,03=40,

故答案为：40；

(4)由题意得：产<90。，

(5。>90°

.•.18°W0<22.5°,

故答案为:18°W9V22.5。.

22.(1)解:VZBAC=120°,AB=AC,

1

：.ZC=ZABC=^(180°-ZBAC)=30°,

VCZ)=CA,

：.ZCAD=ZCDA=^(180°-ZC)=75°,

：.ZBAD=ZBAC-ZCA£>=45°,

'：BE=BA,

：.ZE=ZBAEf

'：ZABC=NE+NBAE=2NBAE,

：.2ZBAE=30°,

：.ZBAE=15°,

ZDAE=ZBAE+ZBAD=15°+45°=60°；

(2)解：NDAE与NBA。的数量关系是：ZBAC=2ZDAE,理由如下:

u

：CD=CAf

・••设NCW=NCD4=a,

,:BE=BA,

设NE=N3AE=B，

・•・ZABD=NE+N8AE=2B，

ZCDA=ZABD^ZDAB,

：.ZDAB=ZCDA-ZABD=a-20,

：.ZBAC=ZDAB+ZCAD=a-2p+a=2(a-p),

又丁ZDAE=ZBAE+ZDAB=p+a-20=a-0,

：.ZBAC=2ZDAE；

(3)证明：TAB平分ND4E,

・••设N3AE=NRW=e,

•；BE=BA,

：.NE=NBAE=B,

：.ZABD=ZE+ZBAE=29,

,:CD=CA,AC.LCD,

・・・△CAD是等腰直角三角形，

AZACD=45°,

又丁ZACD=ZABD-^-ZBAD=3Q,

.'.30=45°,

・・・8=15°,

AZABD=2Q=30°,

在RtZXABC中，ZABD=30°,

：.BA=2CA,

•:CD=CA,BE=BA,

；・BE=2CD.

23.解：(1)9：AD±BC,

ZADB=90°,

VZABC=40°,BE平分/ABC,

1

AZDBF=JZABC=20°,

：.ZBFD=90°-20°=70°,

ZAFE=ZBFD=70°；

(2)*：AE=AF,

：./AEF=/AFE,

・・•ZABE=/DBE,NAFE=/BFD,

AZBAE=180°-ZABE-ZAEB,ZBDF=1SO°-/DBF-NBFD,

；・NBAE=NBDF=90°,

：.AABC是直角三角形.

24.证明：(1)连接。E,

TCE是△ABC的中线,

"■△ABD的中线,

,•*AD是高，

AZADB=90°,

1

：.DE=BE/AB,

・「CE是中线，

：.AB=2BE,

9

：2CD=ABf

:.DC=BE,

：.DC=DE,

VDG±CE,

・•・CE=EG,

即G是CE的中点；

(2)・：DE=BE,

；・/B=/EDB,

•：DC=DE,

：・NDEC=NDCE,

：.NEDB=2/BCE,

：.ZB=2ZBCE.

f

25.解：【数学知识】：AB=ACfAO是中线，ZC=58°,

：.ZB=ZC=58°,ADLBC,

：.ZB-^ZBAD=9Q°,

：.ZBAD=32°,

故答案为：32。；

【数学应用】*：AB=ACfAE