安徽省六安某中学2024-2025学年高三年级下册3月月考数学试题（原卷版+解析版）

六安二中2025届高三第八次月考

数学

时间：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

A=x—5<%3<9,B={-3,-1,0,1,21.„

1已知集合II)11,则(

A.{-1,0}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-3,-1,1}

2.在复平面内，复数二的共轨复数对应点的坐标所在的象限是（

1-z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知｛4｝是递增的等比数列，且4+%=34,g%=64,贝I（

A.{«„}公比为一2B.q=2

C.{4}的前"项和为2"+2一4D.{2""}是等比数列

4.若sin[—+«]=—,则cosf2cu--j=(

)

1195011950

B.--------C.D.

169169169169

5.已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点的坐标为耳卜6,0）,点尸（、行,2）在该双曲线上，则该双曲

线的渐近线方程为（）

A.y—±^2xB.y=+xC.y=+s/3xD.y=+2x

6.已知平面向量.、/,满足4=（1,6），4=豆，,一.=6，贝必在。上的投影向量为（）

7.如图，AB,8分别是圆柱上、下底面圆的直径，且A5LCD,若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥

A—BCD的体积为46，则该圆柱的侧面积为（）

B.10不C.12不D.14〃

8.已知/")=6£-2才有两个极值点，则实数。的取值范围为(

eee

——,+oo——，+00-oo,0)l——,+oo

(27

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得8分，部分选对的得部分分.

9.下列命题正确的是()

A.已知由一组样本数据(x”y)(i=l,2,得到的回归直线方程为$=4x+20,且一Z=10,则

这组样本数据中一定有(10,60)

B.若随机变量49,则。⑷=2

C.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的第75百分位数可

能等于原样本数据的第75百分位数

D.若随机变量X〜NQ,/),且P(X>6)=0.4,则尸(―2<X<2)=0.1

10.已知函数/(%)的定义域为R,/(^+y)=/(x)+/(y)+/(x)/(y),且/⑴=1,当x>0时,

/(%)>0,则下列说法正确的是()

A./(0)=-1

B./(%)在(0,+")上单调递增

C.数列{/(〃)+l}(“eN*)是等比数列

D.当x<0时，—1</(x)<0

11.如图，已知正方体ABC。-的棱长为2,尸为底面A3CD内(包括边界)的动点，则下列

结论正确的是().

A.三棱锥B「CRP的体积为定值

B.存点、P,使得

C.若。P，用。，则P点在正方形底面ABC。内的运动轨迹长为J5

D.若点尸是A。的中点，点。是881的中点，过P,。作平面a,平面ACGA，则平面a截正方体

ABCD-4片£2的截面面积为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数“X)=lnx在点(1,/⑴)的切线方程为.

13.随机事件A,B满足尸(5)=0.2,P(A|B)=0.8,则P(Afi)=.

14.若函数/(x)=2siru+cosx-(0,兀)的两个零点分别为七和马，贝iJcosN-4)=.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在VABC中，角A,8,C的对边分别是a,4c,已知上c=2asinC.

(1)求A；

(2)若a=6，且VABC的周长为3+百，求人

16.为了缓解高三学生学业压力，学校开展健美操活动，高三某班文艺委员调查班级学生是否愿意参加健

美操，得到如下的2x2列联表.

性别愿意不愿意

男生610

女生186

(1)根据该2x2列联表，并依据显著水平。=0.05的独立性检验，判断能否认为“学生性别与是否愿意

参加健美操有关”；

(2)在愿意参加的所有学生中，根据性别，分层抽样选取8位学生组织班级健美操队，并从中随机选取2

人作为领队，记这2人中女生人数为随机变量X,求X的分布及期望E[X].

附：P(z2>3.841)«0.05.

17.如图，三棱锥A—BCD中，BC=CD=BD=2,AB=AC=42.异面直线AC和所成角的

6

余弦值为点尸是线段AD上的一个动点.

4

(1)证明：平面ABC，平面BCD；

(2)若二面角3—CE—。正弦值为叵，求。尸.

7

18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆「:工+/=1,过右焦点尸作两条互相垂直的弦AB,CD,设

2

(1)写出椭圆右焦点尸的坐标及该椭圆的长轴长；

(2)证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；

(3)若弦A3,的斜率均存在，求.面积的最大值.

19.阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰・伯努利(JohannBernoulli,1667〜1748)儿子丹尼

尔・伯努利提出来的，大意如下：一个人写了〃封不同的信及相应的〃个不同的信封，他把这〃封信都装错

了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉(LeonhardEuler,1707-1783)给出了

解答：记都装错〃封信的情况为。“种，可以用全排列〃!减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公

式：=n!|+---+其中“CN*.

V1!2!n\)

阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当/（%）在尤=0处〃阶可导，则有：

〃司=/（0）+川0卜+岑工2+-+岩8/+一，注/（"）（力（心3）表示“X）的〃阶导数,

该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题：

（1）求出。，。2，04的值；

（2）估算血的大小（保留小数点后2位），并给出用e和〃表示2的估计公式；

（3）求证：2tan—+4tan—+b2Man—<2n+l,其中〃wN*.

242n一

六安二中2025届高三第八次月考

数学

时间：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

A=(X|-5<X3<9),B={-3,-1,0,1,2).„

1.已知集合L11,则AC5=()

A.{-1,0}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-3,-1,1)

【答案】B

【解析】

分析】根据交集概念，逐个验证即可.

【详解】由于(一3)3=—27<—5,—5<(—1)3=—1<9,—5<CP=0<9,-5<13=1<9,-5<23=8<9,

则AB={-1,0,1,2).

故选：B.

2.在复平面内，复数二的共轨复数对应点的坐标所在的象限是(

1-z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

33

【分析】运用复数的四则运算化简复数，写出共朝复数-------，，根据复数对应的点确定象限.

22

3i_3/(1+，)_3，一3_33.

【详解】

口+2_521

,其共轨复数为-弓3-巳3，，对应点的坐标为-彳3,-3彳1，位于第三象限.

22\22)

故选：C

3.已知{4}是递增的等比数列，且4+%=34,a2a4=64,贝!]()

A.{%}的公比为一2B.q=2

C.｛4｝的前“项和为2"+2_4D.｛2%｝是等比数列

【答案】B

【解析】

【分析】首先利用等比数列性质求出4与生的值，再根据数列递增确定4和生，进而求出公比，然后根据

等比数列相关公式求出前，项和，最后判断｛2%｝是否为等比数列.逐个判断即可.

【详解】在等比数列伍“｝中，由等比数列性质可知。2。4=%。5=64.

又已知q+%=34,则4、%可看作方程%2-34%+64=0的两个根.

tz.=2[a,=32

解这个方程(x—2)(九—32)=0,可得x=2或x=32,即“或＜0.

a5=32[%=2

因为｛4｝是递增的等比数列，所以4=2,%=32.

设公比为4,根据等比数列通项公式可得%=%/，即32=2/,化简得了=16,

解得。=2或q=-2,又因为数列递增，所以q=2,故A选项错误，B选项正确.

根据等比数列前〃项和公式可得：§2(1—2")=_2用_2,故C选项错误.

"1-2

h2a"+'

设入=2%,则也=——=2%+「乐.

"》2%

b

4+i—a“=a©'—%，T=2X2"—2X2"T=2"不是常数，所以言不是常数，｛2%｝不是等比数列，故

un

D选项错误.

故选：B.

4.若sin(2+a]=*，贝1]cos[2戊-巴]=()

(12)13I6j

119c50c119r50

AA.------B.-------C.D.

169169169169

【答案】A

【解析】

【分析】由倍角余弦公式及诱导公式求目标式的值.

【详解】cos[2a+—=1-2sin2[a+—=1-2x(—)2=,

I6)I12J13169

Ac兀、-5兀、-5兀、119

cos2a——=cos(2(zH-----兀)=—cos(2aH---)=----.

I6J66169

故选：A

5.已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点的坐标为耳卜6,0),点/(6,2)在该双曲线上，则该双曲

线的渐近线方程为()

A.y=±y/2xB.y=ixC.y=+y/3xD.y—±2x

【答案】A

【解析】

【分析】根据焦点坐标求出c,根据双曲线定义及双曲线上一点求出再根据/+方2=02求出6,最后

b

根据双曲线渐近线方程为y=土一x即可求解.

a

【详解】双曲线一个焦点的坐标为《卜百,0),可知双曲线交点在x轴上，

所以c=6,另一个焦点坐标月卜疗,0),

因为点网6,2)在该双曲线上，根据双曲线定义可知：归耳—比H=2a,

|^F|=J—G-G『+(O-2『=4,\F2F\=+(O-2『=2,

所以2a=4—2=2,解得。=1,又因为/+方2=3，即1+^=3,解得沙=夜,

所以双曲线渐近线方程为y=+-x=+41x.

a

故选：A

已知平面向量.、人满足君)，卜卜有，卜―.=石，则在上的投影向量为

6.a=(l，ba)

【答案】B

【解析】

【分析】由平面向量数量积的运算可求出。的值，再利用投影向量的定义可求得b在°上的投影向量的坐

标.

【详解】因为Q=(1,G),则同="75=2,且网=石，%—囚二百，

则,一W二〃之—2〃•6+62=7—2〃,6=3,可得a.B=2，

1,1.a|fIa-baa-b2.

所以，b在Q上的投影向量为口cos。,/?,而二1=।l+lE=T"^"."=7=

11Idj同峭问问4

故选：B.

7.如图，AB,CO分别是圆柱上、下底面圆的直径，且A5LCD,若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥

A—BCD的体积为4仃，则该圆柱的侧面积为()

C.121D.14〃

【答案】C

【解析】

【分析】分别取上下底面的圆心为E、F,连接EC、ED、EF,可得A3,平面EC。，设圆柱上底面

圆的半径为。，三棱锥A—BCD的体积为V=；SECDA3=4百，求出a,由圆柱的侧面积公式可得答案.

分别取上下底面的圆心为E、F,连接EC、ED、EF,则印，CD,

因为AC=CB、BD=AD,所以CELAB、ED=AB,且CEcED=E,

所以AB，平面ECD,设圆柱上底面圆的半径为a,则A3=CD=2a,

一111/-

三棱锥A—5CD的体积为V=-SAB=-x—x2ax2ax2a=4y/3

3,ECD32f

解得〃=该圆柱的侧面积为2»ax2a=12»,

故选：C.

8.已知/(x)=e*-有两个极值点，则实数。的取值范围为()

3、33、3

e(e,fe<1

——,+oo——,+ooD.(-8,0)U厉e，+8

A.B.0,—127

277277

【答案】C

【分析】由/''(x)=()参变分离得出a=与，令g(x)=：,其中xwO,利用导数分析函数g(x)的单调

性与极值，分析可知，直线丁=。与函数g(x)的图象有两个交点，数形结合可得出实数。的取值范围，再

结合极值点的定义检验即可.

【详解】函数〃x)=e-的定义域为R,贝!]/，(％)=老—依3,

由题意可知，函数/■'(%)=()有两个异号的根，显然/'(O)=lwO,

当xwO时，参变分离可得。=目

X

e*(x—3)

令g(x)==,其中xwO,则g<x)=J由g'(x)=O可得X=3,列表如下:

XX

(-8,0)(0,3)3(3,+8)

g'(x)——0+

g(x)减减极大值增

所以，函数g(x)的减区间为(—8,0)、(0,3),增区间为(3,+8),

3x*

函数g(x)的极小值为g(3)=—,且当x<。时，g(x)=—<0；当尤>0时，gO)=r>0.

27x

如下图所示:

设这两个交点的横坐标分别为X］、/，设再＜%2，由图可知，/＞%＞。，

(e''

且/'(尤)—QX—cuc^—V---a,

I第)

当0＜%＜西时，4＞«＞则/'(%)＞°，此时，函数/(%)单调递增，

X

当七℃2时，三＜4，贝l/'(x)v。，此时，函数/(%)单调递减，

X

当%＞9时，鼻＞〃，则r(x)＞。，此时，函数/(力单调递增，

X

3

故当4〉时，函数/(%)有两个极值点，

e3、

因此，实数〃的取值范围是—.

(27J

故选：C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得8分，部分选对的得部分分.

9.下列命题正确的是()

A.已知由一组样本数据(％,y)(i=l,2,得到的回归直线方程为9=4尤+20,且工£%=10,则

ni=l

这组样本数据中一定有(10,60)

B.若随机变量J~49,1,则。⑷=2

C.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的第75百分位数可

能等于原样本数据的第75百分位数

D.若随机变量X~N(2,CT2),且尸(X>6)=0.4,则尸(―2<X<2)=0.1

【答案】BD

【解析】

【分析】根据题意，结合回归方程的性质，样本均值和方程的计算方法，以及百分位数的计算方法，正态分

布的概率计算，逐项判定，即可求解.

【详解】A选项，回归直线方程$=4%+20是通过样本数据拟合得到的，

它表示的是变量x和夕之间的一种线性关系，一定过样本中心点(10,60),但并不意味着样本数据中一定

存在点(元,歹),

回归直线是对样本数据整体趋势的一种近似描述，样本点不一定都在回归直线上，

所以这组样本数据中不一定有(10,60),A选项错误.

对于B选项，随机变量J〜8(9,g),那么℃)=9xgx(l—g)=9xgxg=2,B选项正确.

对于C选项,设30个互不相同的样本数据从小到大排列为七,斗，…，马0.

计算30x75%=22.5,则原样本数据第75百分位数是马3・

去掉最大和最小的数据后，剩下28个数据从小到大排列为々丹,・，々9,计算28X75%=21,则剩下28

个数据的第75百分位数是“22+々3.

2

由于30个数据互不相同，则物广C选项错误.

对于D选项，因为随机变量X~N(2,(T2),所以正态曲线关于直线x=2对称.

已知P(X>6)=0.4,根据正态曲线的对称性可知P(X<-2)=P(X>6)=0.4.

1_2x041-0R

那么P(—2<X<2)=—L二=U^=0.1,D选项正确.

故选：BD.

10.已知函数/(%)的定义域为R,/(x+y)=/(x)+/(y)+/(x)/(y),且/(1)=1,当x>0时,

/(%)>0,则下列说法正确的是()

A./(0)=-1

B./(%)在(0,+")上单调递增

C.数列{/(九)+l}(〃eN*)是等比数列

D.当x<0时，-l</(x)<。

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用赋值法判断A,结合单调性的定义判断B,ax=〃(〃eN*),y=l及等比数列的定义判断

]

C,得到/(—x)=-1+(x〉0),即可判断D.

l+/(x)

【详解】令x=l,y=0,则有/(l)=/(l)+/(O)+/(l)/(O),由/。)=1,

故1=1+/(0)+/(0),即/(0)=0,故A错误；

令》>o,y>o,则有/(x+y)-/(x)=/(y)+/(x)/(y)=/(y)[i+/(x)],

由x>0,y>0,故x+y—x>0、/(九)>0、/(y)>0,则+>0,

即当龙+y>y>0时，有/(x+y)—/(x)>0恒成立，

故/(%)在(0,+。)上单调递增，故B正确；

☆x=〃(〃eN*),y=l,则有=++

即“〃+1)=2/(〃)+1,即〃/+1)+1=2"5)+1],

又/(1)+1=2,故数列｛/(〃)+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，故C正确；

由数列｛/(〃)+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

故/⑺+1=2",即/⑺=2"-1,所以当彳f+8时〃x)->+oo,

令丁=-x可得/(O)=/(x)+/(—x)+y(%)/(—%)=。,

当x>°时〃/力\>°，所以〃一/九\)=一1/(7%^)=一1+1717^'

因为x>0,则—x<0,又"％)>0,所以°<-------r^<l所以—l</(—九)<0,

l+/(x)

所以当x<0时，-l</（x）<0,故D正确;

故选：BCD.

11.如图，已知正方体A3CD-A4GD1的棱长为2，尸为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列

结论正确的是（）.

A.三棱锥B「CRP的体积为定值

B.存在点P,使得RPLAC]

C.若则p点在正方形底面ABC。内的运动轨迹长为血

D.若点尸是A。的中点，点。是8片的中点，过P,。作平面平面ACGA，则平面。截正方体

ABCD-AgG2的截面面积为

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据等体积法可计算出三棱锥用-G2P的体积，可判断选项A,建立空间直角坐标系，写出对

应点的坐标与向量的坐标，设P（x,y,0）,根据垂直得向量数量积为0列式，从而判断选项B,c,利用线

面垂直的判定定理得尸《，平面ACGA,再证明四点共面，从而得平面a,再由面面平行的性质可得平

面a截正方体ABC。-4耳£2的截面为正六边形，根据正六边形的性质计算面积即可判断选项D.

【详解】对于A,由等体积法LLG”=%_B,CQ，三棱锥P-四G。的高为3耳=2,

114

底面积551Gz)i=5*2乂2=2，所以5.GAP=%-用GA=§X2X2=§,

所以三棱锥用-G2P的体积为定值，A正确;

对于B,建立如图所示的空间直角坐标系，

设尸(苍y,0),4(2,0,0),4(2,2,2),^(0,2,2),D,(0,0,2),£>(0,0,0),

：.DxP=(x,y,-i),ACt=(-2,2,2),

若QPLAG，则2尸=—2x+2y—4=0,

即x—y=—2,取x=0,y=2,此时点尸与点C重合，满足题意，

所以存在点尸，使得"P，AG，B正确;

对于C,^£)=(-2,-2,-2),若DP工BQ,

:.DlPBiD=-2x-2y+4=0,即x+y=2,

所以点尸的轨迹就是线段AC,

轨迹长为|AC|=打+2?=2忘,C错误；

对于D,如图取AB中点6，连接尸4，

由题可得。BLAC,平面ABCD,

连接30，因为PPJIDB,P《u平面ABCD,

则PP^AA^又4。0相=4,

AC,A4ju平面ACCjA；,则_L平面ACC^,

又取DD1中点为a,则QQJIDBI/PPX,

有P,RQ,Qi四点共面，则平面即为平面a，

又由两平面平行性质可知，PPJ/RR,,PQJ/QR,,P.Q//Q.R,

又P,4Q,Qi都是中点，故氏是2G中点，均是耳£中点,

则平面a截正方体ABC。-AgGA的截面为正六边形，

又正方体棱长为2,则此=也，

故截面面积为6x^x(四)xsin60=36，D正确.

故选：ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数〃x)=lnx在点切线方程为.

【答案】x-y—1=0

【解析】

【分析】利用导数的几何意义直接求解即可.

【详解】由〃x)=lnx可得广(x)=L

X-

可得切线斜率为r(1)=1,且/(i)=o；

所以切线方程为y_0=x_l,即x_y_l=0.

故答案为：x-y-l=0

13.随机事件A,I满足尸(5)=0.2,P(A|B)=0.8,则P(砌=.

【答案】0.04

【解析】

【分析】根据条件概率公式求出P(A3),再利用概率的基本性质求出P(ZB).

【详解】已知条件概率公式P(A18)=今篙，已知P(3)=0.2,P(A|£)=0.8,将其代入公式可得:

P(AB)=P(A|B)xP(B)=0.8x0.2=0.16

因为B事件可以拆分为A与8同时发生以及X与8同时发生这两个互斥事件的和，即

尸（3）=尸（AB）+P（4B）.

将尸（3）=0.2,P（A3）=016代入上式可得:

P(AB)=P(B)-P(AB)=0.2-0.16=0.04

故答案为：0.04.

14.若函数/（x）=2sinx+cosx-xe（0,兀）的两个零点分别为七和马，则cos®-々）=.

【答案】|

【解析】

【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简/（%）,再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得

工_生上玉，进而求出©os士也，最后利用二倍角的余弦公式求值即可.

222

【详解】由辅助角公式得函数，（x）=2sin%+cosx-A/3=J?sin（x+。）-G,

其中锐角。由tan°=g确定，由/（%）=/（々）=0,

好

得sin(x,+e)=sin(x+(p)=而和毛e(0,7t),

23

”口n兀M+%

因此菁+0+%2+0=兀，即夕=----!则2+吴丫）4

口口./兀x-x2.V3工x,-x2V3

即sin(—+———-)=〒，于cos———-

22J52

所以cosQi-x2）=2cos2/2"一］=：-

故答案为：-

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在VABC中，角A8,C的对边分别是"c,己知百c=2asinC.

（1）求A；

（2）若a=5且VA3C的周长为3+有，求b.

rr7jr

【答案】（1）A=U或A=」；

33

(2)答案见解析.

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理边化角，进而求出A.

(2)由(1)的结论，利用余弦定理列式求解.

【小问1详解】

在VA3C中，由6c=2asinC及正弦定理得QsinC=2sinAsinC，而sinC>0,

则sinA=，又0<A<兀，

2

n2兀

所以A=—或A=—.

33

【小问2详解】

由VABC的周长为3+百，a=A得Z?+c=3,

在VABC中，由余弦定理得"=^+02—2bccosA，即3=S+c/—2bc(l+cosA),

2兀

贝!J2Z?c(l+cosA)=6,当4=一时，bc=6,于是/-Bb+GuO,A=-15<0,此方程无解；

3

jr

当A=§时，be=2,于是户—3匕+2=0，解得Z?=l或6=2,

9jrjr

所以当A=—时，6无解；当4=—时，》=1或6=2.

33

16.为了缓解高三学生学业压力，学校开展健美操活动，高三某班文艺委员调查班级学生是否愿意参加健

美操，得到如下的2x2列联表.

性别愿意不愿意

男生610

女生186

(1)根据该2x2列联表，并依据显著水平。=0.05的独立性检验，判断能否认为“学生性别与是否愿意

参加健美操有关”；

(2)在愿意参加的所有学生中，根据性别，分层抽样选取8位学生组织班级健美操队，并从中随机选取2

人作为领队，记这2人中女生人数为随机变量X,求X的分布及期望E[X].

附：P（^f2>3.841）«0.05.

3

【答案】（1）能（2）分布列见解析，E[X]=-

【解析】

【分析】（1）完善2x2列联表，作出零假设根据独立性检验公式计算的值，推断出零假设成立

与否，从而得出判断；

（2）根据2x2列联表得出选取8人中男生与女生人数，由超几何分布计算出对应概率值，得出随机变量的

分布列，求出数学期望.

【小问1详解】

2x2列联表如下：

性别愿意不愿意合计

男生61016

女生18624

合计241640

零假设为Ho：是否愿意参加健美操与学生性别无关.

根据2x2列联表中的数据，可得力2=40x（6x6-10x18）=竺=5625>3841=

16x24x16x248,

根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断Ho不成立，

既认为是否愿意参加健美操与学生性别有关联，此判断犯错误的概率不大于0.005.

【小问2详解】

1Q3

根据2x2列联表可得愿意参加健美操的学生中女生占全部的,

244

3

选取的8人中，女生有8x—=6人，男生有8—6=2人，

4

，随机变量X的可取值：0,12

c°c21p（x=i）="；耙15

・•・P（x=o）=*=P（X=2）=c

-

JW28,

・・・随机变量X的分布歹J:

X012

1215

P

28728

13153

数学期望石[X]=0XK+1X亍+2x荔=；•

Zo/ZoZ

17.如图，三棱锥A—BCD中，BC=CD=BD=2,AB=AC=®.异面直线AC和所成角的

6

余弦值为点尸是线段A£＞上的一个动点.

4

(1)证明：平面ABC，平面；

(2)若二面角5—CE—。的正弦值为叵，求OR.

7

【答案】(1)证明见解析

(2)DF=-

2

【解析】

【分析】(1)结合题目条件，利用线面垂直可证面面垂直.

(2)以。为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可求结果.

【小问1详解】

法一：(几何法)如图，取5C中点0,由AB=AC,得AOL5C,

忤CEIIBD,DE//BC,则四边形BCED为菱形，且？BCE—

3

连接AE,0E,BE,则5E=gBC=2百,

0E=Jg+CE?-2。。鬃石cosg=J1+4-2创2?;|!二币.

..•异面直线AC与5。所成角的余弦值为昱，,cosZACE=+—,

44

当cos/ACE=受时，AE=JAC2+CE2-2AC^E—=J2+4-2^V22?—2.

4V4V4

此时43+4后=夜+2<26=3后，不能构成ABE，舍去,

故cosNACE1=

4

AE=AC2+CE2-2ACCE-=2A/2,

,:BC=2,AB=AC=夜，，丫M。为直角三角形，故。4=』BC=1,

2

/.CM2+OE2=AE1，即04,OE,

VOALBC,BCcOE=O,3C,OEu平面，；.QA_L平面BCD,

：u平面ABC,...平面ABC，平面BCD.

法二：（基底法）如图，取5c中点0,由A5=AC,8。=。。得40_13。，DO±BC,故二面角

A—5C—。的平面角为NA0D,

由题意，得。A=l,0D=M，

设NAO£>=6,OC=a，OD=b，OA=c-

则。-3=0，a-c=0,b-c->[3cosAAOD，AC=a-c>BD=b+a>

AC-BD=（a-。乂>+a）=a-b+a~-c-b-c-a=1-A/3COSZAOD,

ACBD\AC-BD\=^

cos（AC,BDACBD=±1^

AC^BD2A/2—4

cosNAOD=0或COS/AOD=2叵>1（舍去）,

3

71

：.cosZAOD=0,此时NAOD=—,平面ABC,平面BCD.

2

如图，以。B，OD，0A分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系，则8(1,0,0),。(0,0,0),

C(-1,O,O),A(O,O,1),

AD=(O,"—1),BC=(—2,0,0),AC=(-1,O,-1),

设厂(尤,y,z),AF=MZ),/e(0,l),则A/=(x,y,z—1)=«0,月1),

尤=0

y=M,得F(O,4,1T),故。尸=(o,后,1一。.

z=l-t

BC-m=-2X=0,

设平面5cb的法向量冽=(%,%,Z°),则＜Q

OF-m=#呗+(l-^)z0=0,

令%=1—%,得Z0=一\/3t，/=0,即m=(0,1—9

ACn二一%-Zj=0,

设平面OCF的法向量为〃=(x”X，Z]),则＜

AD•n--Z]=0,

令X=l，贝(1Z]=6,玉=-G,即〃=(一6』,G),

设二面角5—CE—D的平面角为a,

।\m-n\\l-t-3t\币/16/2-8r+l_4

则|cosa|—\---------L—_____________

阿〃|J(1T)2+3J.币74t2-2t+l7

33或;二1(舍)，故/0,孚

得t

447

n6一廿、2

DF=o,--,故。尸=

44I4

7

18.在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆「]+丁=1,过右焦点尸作两条互相垂直的弦AB,CD,设

AB,CD中点分别为M，N.

(1)写出椭圆右焦点尸的坐标及该椭圆的长轴长；

(2)证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；

(3)若弦AB,的斜率均存在，求一面积的最大值.

【答案】(1)右焦点尸(1,0),长轴长为2后；

2

(2)证明见解析，(§,0)；

(3)一.

9

【解析】

【分析】(1)直接根据椭圆方程写出右焦点尸的坐标及长轴长.

(2)AB,CD斜率均存在，设直线AB方程为y=1)与椭圆方程联立求出点"坐标，同理得点N

坐标，再