北京市海淀区师达中学2024-2025学年第二学期九年级3月月考数学试卷（含答案）

2025北京师达中学初三3月月考数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.据国家电影局统计：截至2月5日9时，2025年春节档（1月28日至2月4日）电影票房95.10亿元，观影人次为1.87亿．《哪吒之魔童闹海》实时票房超49.65亿，将4965000000用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.2.下列图形中，不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.若，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.4.如图，在中，弦，相交于点，若，则的大小为（）A. B. C. D.5.不透明的袋子中装有两个红球和一个绿球，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（）A. B. C. D.6.为丰富全县职工文体生活，增强各单位凝聚力、向心力，进一步推动全县全民健身运动的开展，由上蔡县总工会主办的县直机关职工篮球赛，在蔡明园公园开赛，规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛场．设参加比赛的球队有支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A. B.C. D.7.如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.48.如图，等边三角形和正方形的边长均为a，点B，C，D，E在同一直线上，点C与点D重合．△ABC以每秒1个单位长度的速度沿BE向右匀速运动．当点C与点E重合时停止运动．设△ABC的运动时间为t秒，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为S，则下列图象中，能表示S与t的函数关系的图象大致是A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________．10.分解因式：__________．11.在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于点和点B，则点B的坐标为__________．12.如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是______米．13.如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则___________．14.某扇形的弧长为5πcm，圆心角为150°，则此扇形的面积为_____．15.如图，在矩形中，点在上，于点，于点．若，，，则的长为________．16.如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为________．三、解答题（本题共68分，第17−20题每小题5分，第21题每小题6分，第22−23题每小题5分，第24−26题每小题6分，第27−28题每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17.计算：．18.解不等式组：19.已知关于x的方程（1）求证：方程总有实数根；（2）若方程有一个正实数根且，求m的值．20.如图，在中，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点．（1）求证：四边形是矩形；（2）连接，若，，求的长．21.无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积．22.在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点．（1）求，的值；（2）点在反比例函数的图象上，且点的横坐标为1．若在直线上存在一点（点不与点重合），使得，结合图象直接写出点的横坐标的取值范围．23.某校初三年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：cm），数据整理如下：a．1班1681711721741741761771792班168170171174176176178183b．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：班级平均数中位数众数1班173.8751741742班174.5mn根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是______班（填“1”或“2”）；（3）1班的6位首发选手的身高分别为171，172，174，174，176，177．如果2班已经选出5位首发选手，身高分别为171，174，176，176，178，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是______cm．24.如图，中，，点在上，以为直径的与相切于点，与相交于点，连接，．（1）求证：；（2）若，，求的半径．25.某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．下面是小红的探究过程，请补充完整：（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．d/米00.611.82.433.64h/米0.881.902.382.862.802.381.600.88在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数；（2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度AE为_______米；②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米）26.在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知点，在抛物线上．对于，都有，求的取值范围．27.如图，在中，，，为的中点，是线段上的动点（不与点，重合）．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，过点作的平行线交的延长线于点．（1）求证：（2）若为线段的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系并证明．28.如图1，平面中的线段和直线外一点P，对于P，A，B三点确定的圆，如果所对的弧为优弧，我们就称点P为线段的“优关联点”．（1）如图2，已知点，．①在点，，中，是线段的“优关联点”的是；②如果直线上存在线段的“优关联点”，直接写出b的取值范围．（2）如图3，已知点，，，，，如果在边上存在线段的“优关联点”，直接写出a的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】C8.【答案】C二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】10.【答案】11.【答案】12.【答案】213.【答案】14.【答案】15πcm2．15.【答案】16.【答案】三、解答题（本题共68分，第17−20题每小题5分，第21题每小题6分，第22−23题每小题5分，第24−26题每小题6分，第27−28题每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17.解：原式．18.解：，由①得：，由②得：，∴原不等式组的解集为：．19.（1）证明：，所以，方程总有实数根；（2）解：由题意得，又∵，∴∴，∴又，∴，整理得，，解得，，，当时，∴不符合题意；当时，∴．20.（1）证明：四边形是平行四边形，，，四边形是平行四边形，，，四边形是矩形；（2）解：如图，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴在中，，∴．21.解：设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是亩．由题意，得．解得．经检验，是原方程的解，且符合题意．答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩．22.（1）解：∵反比例函数图象经过点∴∴，∵直线经过点∴，；（2）解：由（1）可得直线表达式为：∵点B在反比例函数的图象上，且点B的横坐标为1，∴，∴点B的坐标为：，由（1）知：，∴，以为圆心，以的长为半径画弧，与l交于点，如图：设，由题意可知：，当时，即解得：，即：的横坐标为1，的横坐标为9，∵满足的是，∴，∵点P不与点A重合，∴，综上所述：P的横坐标的取值范围：且．23.（1）2班数据从小到大排列为168、170、171、174、176、176、178、183从中可以看出一共八个数，第四个数据为174、第五个数据为176，所以这组数据的中位数为：，故；其中176出现的次数最多，所以这组数的众数为176，故；故答案为：175、176．（2）根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，反之亦然．1班的身高分布于，2班的身高分布于，从中可以看出，1班的数据较2班的数据波动较小，更加稳定，所以1班的选手身高比较整齐，故答案为：1．（3）（厘米）设2班第六位选手的身高为厘米，则，，据此，第六位可选的人员身高为170、183，若为170时，2班的身高数据分布于，若为183时，2班的身高数据分布于，从中可以看出当身高为170时的数据波动更小，更加稳定，所以第六位选手的身高应该是170厘米，故答案为：170．24.（1）证明：连接，如图，为切线，，，为直径，，，，∵，∴，；，∴，，∵，∴，∴，即，∴；（2）解：设的半径为，在中，，，，，，，，，即，解得，即的半径为．25.（1）解：根据函数的定义，我们可以确定，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数；故答案为：d，h；（2）解：描点，连线，画出图象如图：；（3）解：①观察图象，桥墩露出水面的高度AE为0.88米；故答案为：0.88；②设根据图象设二次函数的解析式为h=ad2+bd+0.88，把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：，解得：，∴二次函数的解析式为h=-0.5d2+2d+0.88，令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2，解得d3.3或d0.7，

∴则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．26.（1）解：抛物线的对称轴为：．（2）解：点，在抛物线上．设点关于对称轴的对称点为，则．∴．

∴．①若，则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．（i）当时，∵对于，，都有，∴．∴．∴，不符合题意．（ii）当时，∵对于，，都有，∴，即．∴．∴．②若，则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．（i）当时，∵对于，，都有，∴．∴．∴．∴；（ii）当时，∵对于，，都有，∴，即．∴．∴．不符合题意舍去；综上所述，a的取值范围是或．27.（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，线段绕点逆时针旋转得到线段，∴，，∴，即：，在和中，，∴，∴，∴；（2）解：，理由如下：如图，连接并延长，交于点，连接，∵，∴，，，，，，，由（1）可知：，，∴，，，，，，，，∵，∴，，