河北省邢台市卓越联盟2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题（含答案）

卓越联盟2024-2025学年高一第二学期期中考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章到第八章8.5。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则复平面内复数之对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．如图，在四棱锥中，点G在正方形ABCD内，点F在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是（）A．点G在AC上B．C．D．直线EB，GD交于点B3．已知点，向量，则在方向上的投影向量的坐标是（）A．B．C．D．4．在菱形ABCD中，，点P在线段CD上，则的最小值是（）A．8B．12C．16D．205．如图，已知用斜二测画法得到的水平放置的直观图为，已知是周长为6的正三角形，则的面积是（）A．B．4C．D．6．某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（）A．该几何体有6个面是正方形B．该几何体有8个面是正三角形C．该几何体恰有26条棱D．该几何体的表面积比原正方体的表面积小7．一口古井的形状为正四棱台，下小上大，在枯水时节，其水面面积大约为，水深，丰水时节水面面积大约为，水深，则枯水时节的水量大约为（）A．B．C．D．8．如图，在正方体中，M，N，P分别是，BC，的中点，则下列说法不正确的是（）A．直线与NM是异面直线B．C．平面D．直线CP，，AM相交于一点二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知复数，则（）A．B．C．在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为D．若，则|之的最大值为10．如图，正三棱柱的侧面为边长为6的正方形，现以上、下底面的内切圆为底面挖掉一个圆柱，则下列说法正确的是（）A．内切圆的半径为B．被挖掉的圆柱的侧面积为C．该几何体的表面积为D．该几何体的体积为11．奔驰定理：已知O是内一点，的面积分别为，则．设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，若，且O为的垂心，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．正三棱柱的底面边长为1，高为4，在棱上分别任取点E，F，则的最小值为_________．13．若某圆锥的侧面积为，母线长是底面圆半径的倍，则该圆锥的体积是_________．14．锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，则的取值范围是_________．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知向量满足．（1）设，求；（2）若，求实数k的值．16．（15分）已知在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为．（1）当时，设，求的值；（2）若点与点为同一点，求的取值范围．17．（15分）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角C；（2）若的面积为S，求的取值范围．18．（17分）如图，在正四棱锥中，O，G分别是线段AC，PA的中点，E，F分别在线段BP，BC上，且．（1）证明：O，G，E，F四点共面．（2）证明：平面BDG．（3）若点H在线段PD上，且满足，试问侧棱PC上是否存在一点K，使得平面HAC?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．（17分）如图，在棱长为的正方体内，球与球的球心均在线段AC上，这两个球外切并且球与该正方体的上底面相切，球与该正方体的下底面相切．（1）求这两个球的半径之和．（2）当这两个球的半径分别为多少时，这两个球的表面积之和最小？并求出这个最小值．

卓越联盟2024-2025学年高一第二学期期中考试数学试卷参考答案1．C因为，所以复数z对应的点位于第三象限．2．D因为DF与EG相交，所以平面平面．3．B在方向上的投影向量是．4．A取AB的中点Q（图略），，因为，所以AB边上的高为，所以，从而．5．D因为，所以，所以的面积是．6．C因为正方体截去八个正三棱锥，所以比原正方体多出八个正三角形，所以A，B正确．因为原正方体每个表面均有四条棱，所以该几何体共有24条棱，C不正确．因为截去的每个正三棱锥的侧面面积比它的底面面积大，所以D正确．7．B作正四棱台的中截面，如图所示，AB，DC，FE分别为丰水、枯水、井底的水面边长，则．因为，所以，所以枯水时节的水量为．8．C连接（图略）．点B，，M均在平面上，点N不在平面上，所以与NM是异面直线，A正确．连接（图略）．因为，所以，B正确．因为CM与不平行，所以CM不平行于平面，C错误．连接AP（图略）．由，知M，P，A，C共面，且平面平面，如图1，因为，所以。如图2，因为，所以，则H，I两点重合，所以CP，，AM相交于一点，D正确．9．ABD因为，所以A正确．因为，所以B正确．，所以对应的向量与对应的向量的夹角为，所以C错误．设复数z在复平面内对应的点为Z，因为，即，所以点Z的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，所以的最大值为3，D正确．10．BD边长为6的正三角形的内切圆半径为，A错误．被挖掉的圆柱的侧面积为，B正确．该几何体的表面积为，体积为，C错误，D正确．11．AC因为O为的垂心，所以，A正确，B错误．由上知，同理，．因为，所以，所以，同理，所以．因为，所以．设，因为，所以，所以，解得，以，C正确，D错误．12．5将三棱柱的侧面沿展开得到一个长与宽分别为4与3的长方形，所以．13．设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，由，得，又，所以，则该圆锥的体积为．14．由，得，解得．因为，所以，所以．，所以．因为，所以，则，从而．15．解：（1）因为，所以．1分又，所以，3分解得，4分所以，5分所以．6分（2）因为，所以，8分因为，所以，11分解得．13分16．解：（1）因为，所以，2分代入，得，6分所以．7分（2）由已知得消去m得，10分令，则，12分所以，14分所以，即的取值范围为．15分17．解：（1）因为，所以，2分整理得，4分所以．5分因为，所以．6分（2）因为的面积，7分所以．9分又，所以，则．12分又所以，13分所以，14分故，即的取值范围是．15分18．（1）证明：如图，连接OG．因为O，G分别是线段AC，PA的中点，所以．2分又，所以，4分所以，5分所以O，G，E，F四点共面．6分（2）证明：由（1）得．7分因为平面BDG，平面BDG，8分所以平面BDG．9分（3）解：如图，在线段PH上取一点M，使得，作，交PC于点K，连接BM，BK，OH．因为，所以．10分因为平面HAC，平面HAC，11分所以平面HAC．12分同理可证平面HAC．13分因为，平面BMK，平面BMK，所以平面平面HAC，又平面BMK，所以平面HAC．14分因为，所以，16分因为，所以．故在棱PC上存在一点K，使得平面HAC，且．17分19．解：（1）由题知ABCD为过球心和对棱AB，C