河南省南阳市镇平县2024-2025学年九年级下学期开学数学试卷(含答案)

2024-2025学年河南省南阳市镇平县九年级（下）开学数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）5的相反数是（）A．﹣5 B．−15 C．5 2．（3分）近期浙江大学的科学家们研制出今为止世界上最轻的材料，这种被称为“全碳气凝胶”的固态材料密度仅每立方厘米0.00016克，数据0.00016用科学记数法表示应是（）A．1.6×104 B．0.16×10﹣3 C．1.6×10﹣4 D．16×10﹣53．（3分）将一块直尺与一块三角板如图2放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为（）A．145° B．135° C．120° D．115°4．（3分）一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和左视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多为（）A．7 B．8 C．9 D．105．（3分）某科普小组有5名成员，身高分别为（单位：cm）：165，170，175，168，172，增加身高为170cm的1名成员后，现在科普小组成员的身高与原来相比（）A．平均数不变，方差变小 B．平均数不变，方差变大 C．平均数不变，方差不变 D．平均数变小，方差不变6．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）A．x=y+512x=y−5 C．x=y+52x=y−5 D．7．（3分）如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A．43 B．33 C．23 D．38．（3分）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）A．14 B．13 C．−19．（3分）下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③10．（3分）如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，动点P从点A出发，沿AB匀速运动，到达点B时停止，设点P所走的路程为x，线段OP的长为y，若y与x之间的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的周长为（）A．14 B．28 C．40 D．48二、填空题（每题3分，共15分）11．（3分）若x−8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．12．（3分）不等式组2x−7＜3(x−1)①43x+3≤1−13．（3分）如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，AFFC=14，则14．（3分）如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点．设PC的长度为x，PE与PB的长度和为y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点H的坐标为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是．三、解答题（共75分）16．（10分）①计算(π−1)0②化简：a217．（9分）某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：（1）课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为；（2）请补全条形统计图；（3）该校共有1200名男生，请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数；（4）小明认为“全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为1200×2718．（9分）如图，锐角△ABC内接于⊙O，AB＝AC，射线BE经过圆心O并交⊙O于点D，连接AD、CD，BC与AD的延长线交于点F．（1）求证：DF平分∠CDE．（2）若tan∠ABD=12，⊙O的半径为5，求（3）若∠ACD＝30°，CD＝1，则AB的长为．19．（9分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．（1）求证：∠BOD＝2∠A；（2）若∠A＝30°，AB＝4，求CD的长．20．（9分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图①），图②是平面图．光明中学的数学兴趣小组针对风电塔杆进行了测量，甲同学站在平地上的A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，乙同学站在岩石B处测得叶片的最高位置D的仰角是45°（D，C，H在同一直线上，G，A，H在同一条直线上），他们事先从相关部门了解到叶片的长度为15米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），岩石高BG为4米，两处的水平距离AG为23米，BG⊥GH，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）21．（9分）某校运动会需购买A、B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元．（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？（2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式．请您确定当购买A种奖品多少件时，费用W的值最少．22．（10分）“诗圣”杜甫出生在郑州巩义市笔架山下的窑洞里，窑洞是黄土高原、黄河中游特有的民居形式．如图，某窑洞口的截平面下部为矩形EFGH，上部为抛物线．已知下部矩形的长为4米，宽为2米，窑洞口的最高点P离地面EF的距离为4米．（1）请在图中建立适当的平面直角坐标系，写出P点的坐标；（2）求（1）中所建坐标系中抛物线的表达式；（3）若在窑洞口的上部安装一个矩形窗户ABCD（窗户的边框忽略不计），使得点A，B在下部矩形的边上，点C，D在抛物线上，且AB＝2BC，那么这个窗户的宽BC为多少米？23．（10分）（1）【问题发现】如图1，△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EFC＝90°，点E与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF绕点C旋转，连接BE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当AB＝AC＝2，△CEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．

参考答案一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ACBBAACAAB二、填空题（每题3分，共15分）11．x≥8．12．﹣4＜x≤﹣1．13．1．14．（423，15．3．三、解答题（共75分）16．解：①(π−1)＝1+4×22−＝1+22−22＝4；②a=(a+2)(a−2)=(a+2)(a−2)=(a+2)(a−2)a(a−1)•＝a+2．17．解：（1）360°×（1﹣15%﹣45%）＝360°×40%＝144°；故答案为：144°；（2）“经常参加”的人数为：300×40%＝120（人），喜欢篮球的学生人数为：120﹣27﹣33﹣20＝120﹣80＝40人；补全统计图如图所示；（3）全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数约为：1200×40答：估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数为160人；（4）这个说法不正确．理由如下：小明得到的108人是全校经常参加课外体育锻炼的男生中最喜欢的项目是乒乓球的人数，而全校偶尔参加课外体育锻炼的男生中也会有最喜欢乒乓球的，因此应多于108人．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ADB，∠CDF＝∠ABC，∴∠CDF＝∠ADB，∵∠EDF＝∠ADB，∴∠EDF＝∠CDF，∴DF平分∠CDE；（2）解：∵BD为直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，在RtABD中，∵tan∠ABD=AD∴设AD＝x，AB＝2x，∴BD=x2即5x＝25，解得x＝2，∴AD＝2，AB＝4，∵∠ABF＝∠ACB＝∠ADB，∠DAB＝∠BAF，∴△ABD∽△AFB，∴AD：AB＝AB：AF，即2：4＝4：AF，解得AF＝8，∴DF＝AF﹣AD＝8﹣2＝6；（3）解：∵∠ABD＝∠ACD＝30°，∴∠ADB＝60°，∴∠ACB＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝30°，∴BC=3CD=∴AB=3故答案为：3．19．（1）证明：如图1，连接AD，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴BC=∴∠CAB＝∠BAD，∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOD＝2∠CAB；（2）解：如图2，∵∠A＝30°，∠BOD＝2∠A，∴∠BOD＝60°，∵AB⊥CD，∴CE＝DE，∠OED＝90°，∴∠D＝30°，∵AB＝4，∴OD＝2，∴OE=12OD∴DE=2∴CD＝2DE＝23．20．解：如图，作BE⊥DH于点E，则GH＝BE、BG＝EH＝4，设AH＝x，则BE＝GH＝GA+AH＝23+x，在Rt△ACH中，CH＝AHtan∠CAH＝tan55°•x，∴CE＝CH﹣EH＝tan55°•x﹣4，∵∠DBE＝45°，∴BE＝DE＝CE+DC，即23+x＝tan55°•x﹣4+15，解得：x≈30，∴CH＝tan55°•x＝1.4×30＝42，答：塔杆CH的高为42米．21．解：（1）设A、B两种奖品的单价各是x元、y元，3x+2y=605x+3y=95，得x=10答：A、B两种奖品的单价各是10元、15元；（2）由题意可得，W＝10m+15（100﹣m）＝﹣5m+1500，∵A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，∴m≤3（100﹣m），解得，m≤75，∴当m＝75时，W取得最小值，此时W＝﹣5×75+1500＝1125，答：W（元）与m（件）之间的函数关系式是W＝﹣5m+1500，当购买A种奖品75件时，费用W的值最少．22．解：（1）以H为原点，HG所在直线为x轴，建立平面直角坐标系如下：∵窑洞口的最高点P离地面EF的距离为4米，矩形的长为4米，宽为2米，∴P的坐标为（2，2）；故答案为：（2，2）；（2）根据题意，抛物线顶点为（2，2），且经过点（0，0），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+2，将（0，0）代入得：0＝4a+2，解得a=−1∴y=−12（x﹣2）2+2=−12x∴抛物线的表达式为y=−12x2+2（3）设D（m，−12m2+2m），则AD=−12m2+2∵AB＝2BC，∴AB＝2（−12m2+2m）＝﹣m2+4∵m+（﹣m2+4m）＝﹣m2+5m，∴C（﹣m2+5m，−12m2+2把C（﹣m2+5m，−12m2+2m）代入y=−12x−12m2+2m=−12（﹣m2+5m）2+2（﹣m∴m2﹣4m＝（﹣m2+5m）2﹣4（﹣m2+5m），∴m（m﹣4）＝m（m﹣5）（m﹣1）（m﹣4），∴m（m﹣4）[1﹣（m﹣5）（m﹣1）]＝0，∴m（m﹣4）（﹣m2+6m﹣4）＝0，∴m＝0或m﹣4＝0或﹣m2+6m﹣4＝0，解得m＝0（不符合题意，舍去）或m＝4（不符合题意，舍去）或m＝3−5或m＝3+∴D（3−5，﹣1+∴BC＝AD＝﹣1+5∴窗户的宽BC为（﹣1+523．解：（1）BE=2AF如图1中，∵△AFC是等腰直角三角形，∴AC=2∵AB＝AC∴BE＝AB=2AF（2）BE=2AF如图2中，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴sin∠ABC=CA在Rt△EFC中，∠FEC＝∠FCE＝45°，∠EFC＝90°，∴sin∠FEC=CF∴CACB又∵∠FEC＝∠ACB＝45°，∴∠FEC﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE．即∠FCA＝∠ECB．∴△ACF∽△BCE，∴BEAF∴BE=2AF（3）当点E在线段AF上时，如图2，由（1）知，CF＝EF=2在Rt△BCF中，CF=2，BC＝22根据勾股定理得，BF=6∴BE＝BF﹣EF=6由（2）知，BE=2AF∴AF=3当点E在线段BF