2025版高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法练习含解析新人教A版选修4-5

PAGEPAGE1三反证法与放缩法基础巩固1用反证法证明命题“a,b,c全为0”时,应假设()A.a,b,c全不为0B.a,b,c至少有一个为0C.a,b,c至少有一个不为0D.a,b,c至多有一个不为0解析：“a,b,c全为0”的反面应为“a,b,c至少有一个不为0”.故选C.答案：C2用放缩法证明不等式时,下列各式正确的是()A.BC.x2+x+3>x2+3 D.|a+1|≥|a|-1解析：由肯定值不等式知|a+1|≥|a|-1.故选D.答案：D3P=aA.P≥3 B.P=3C.P<3 D.P>3解析：∵a,b,c均为正数,∴P=aa+1+b答案：C4设x>0,y>0,A=xA.A≥B B.A=BC.A>B D.A<B解析：∵x>0,y>0,∴A=答案：D5lg9·lg11与1的大小关系是.

解析：∵lg9>0,lg11>0,∴∴lg9·lg11<1.答案：lg9·lg11<16用反证法证明命题“若ax2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时应假设.

解析：用反证法证明时要对结论进行否定,即x=a或x=b.答案：x=a或x=b7已知a∈R+,则1解析：因为所以2所以答案：18若|a|<1,|b|<1,求证:a分析：本题由已知条件不易入手证明,而结论也不易变形,即干脆证明有困难,因而可联想反证法.证明：假设a+b1+ab≥1,则|a+b|∴a2+b2+2ab≥1+2ab+a2b2.∴a2+b2-a2b2-1≥0.∴a2-1-b2(a2-1)≥0.∴(a2-1)(1-b2)≥0.∴即a∴9若0<a<2,0<b<2,0<c<2,求证:a(2-b),b(2-c),c(2-a)不行能都大于1.证明：假设a(2-b),b(2-c),c(2-a)都大于1.∵0<a<2,0<b<2,0<c<2,∴2-b>0,2-c>0,2-a>0.∵a(2-b)>1,b(2-c)>1,c(2-a)>1,三式相乘,得a(2-b)·b(2-c)·c(2-a)>1.①又0<a(2-a)≤a0<b(2-b)≤b0<c(2-c)≤c∴a(2-a)·b(2-b)·c(2-c)≤1.②由于①②式相冲突,故原命题成立.实力提升1设x,y,z都是正实数,a=x+1A.至少有一个不大于2 B.都小于2C.至少有一个不小于2 D.都大于2解析：∵a+b+c=x+1x+y+1y+z+1z≥2∴a,b,c三者中至少有一个不小于2.答案：C2对“a,b,c是不全相等的正数”,给出下列推断:①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;②a>b与a<b及a≠c中至少有一个成立;③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立.其中推断正确的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3解析：对于①,假设(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,这时a=b=c,与已知冲突,故(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0,①正确.对于②,假设a>b与a<b及a≠c都不成立,这时a=b=c,与已知冲突,故a>b与a<b及a≠c中至少有一个成立,②正确.对于③,明显不正确.答案：C3已知a>0,b>0,c>0,且a2+b2=c2,则an+bn与cn的大小关系为(n≥3,n∈N+)()A.an+bn>cn B.an+bn<cnC.an+bn≥cn D.an+bn=cn解析：∵a2+b2=c2,∴∴∴∴an+bn<cn.故选B.答案：B4用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°冲突,故假设错误;②所以一个三角形不能有两个直角;③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°.上述步骤的正确依次为.

解析：由反证法的一般步骤可知,此题的正确依次是③①②.答案：③①②5某同学打算用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在区间[0,1]上有意义,且f(0)=f(1),假如对于不同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证|f(x1)-f(x2)|<1答案：|f(x1)-f(x2)|≥16设a,b,c均为正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的条件.

解析：必要性是明显成立的;当PQR>0时,若P,Q,R不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设P>0,Q<0,R<0,则Q+R=2c<0,这与c>0冲突,即充分性也成立.答案：充要★7若A=1解析：A=<答案：A<1★8已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)设数列{an}的通项an=loga1+1bn(其中a>0,且a≠1),记Sn解:(1)设数列{bn}的公差为d,由题意,得解得b1=1,d=3.故数列{bn}的通项公式为bn=3n-2.(2)当a>1时,Sn>13loga当0<a<1时,Sn<13logab证明如下:∵bn=3n-2,∴an