江苏省盐城市东台市某中学2024-2025学年高三年级上册阶段联测数学试卷（含答案）

2024〜2025学年度第一学期阶段联测

高二数学

(考试时间120分钟，总分150分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

[已知集合A+-63口]乂<2}则加八(),

A.[-1,1]B.[-2,-l]u[l,2]C,{-2,-1,1,2}D.

{-2,-1,0,1,2)

【答案】C

【解析】

【分析】解一元二次不等式化简集合A,再解绝对值不等式化简集合B,最后根据交集的

运算求解即可.

【详解】因为4=k1y=G_1}=-1>Oj={x|^<-l§Ju>l},

又因为3={xeZ|国<2}={xeZ|—2<x<2}={—2,—l,0』,2},

所以4r^8={-2,-1,1,2}.

故选：C.

2.已知/(x)是定义在R上的奇函数，当xe(O,+8)时，/W=logi则/(—9)=

3

()

A.2B.3C.-2D.-3

【答案】A

【解析】

【分析】利用奇函数的性质得了(—9)=—/(9),再代入求值即得.

【详解】因/(%)是定义在R上的奇函数，则〃_9)=-/(9)=_恒9=晦9=2

3

故选：A.

3.设〃，Z?GR,则使〃>匕成立的一个充分不必要条件是()

A.a3>b3B.ln(tz-Z?)>0C.^>b2D.\a\>b

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件及必要条件定义结合不等式的性质判定各个选项即可.

【详解】对于A,a3>b3^a>b，故/>匕3是“，的充要条件；

对于B,由ln(a-8)>0得。>>+1,能推出。>匕，则充分性成立，反之不成立，则必要性

不成立，所以ln(a-加>0是的充分不必要条件；

对于C,由/>〃无法得到。，b之间的大小关系，则充分性不成立，反之也是，则必要性

不成立，所以6>尸是的既不充分也不必要条件；

对于D,由|。|>6不能推出。>匕，则充分性不成立，反之不成立，则必要性不成立，所以

|4|>b是。>6的既不充分也不必要条件.

故选：B.

4.曲线y=x2(x—l)在x=l处的切线方程为()

A.x=lB.y=lC.y=xD.

y=x-1

【答案】D

【解析】

【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程.

【详解】因为y=/(x—1),所以y'=3£—2x,

所以曲线丁=/(工-1)在工=1处的切线的斜率为1,

当x=l时，y=Q,所以切点为(1,0),

所以切线方程为y—0=%—1,即y=x-L

故选：D.

5.已知AABC的外接圆圆心为。，且2而=通+/，1E1=1而I，则向量函在向量

元上的投影向量为()

A.-BCB.BCC.—BCD.

444

-^BC

4

【答案】C

【解析】

【分析】由向量线性运算和外接圆的特点可知AC,结合模长相等关系可求得

2兀

NAOC=y,由投影向量公式可直接求得结果.

【详解】AABC中，2X万=通+祝，则。是BC的中点，所以3C为圆。的直径，

则有即卜国=|西，又时卜网，则等边三角形，

有NB4C=g,ZABO=^,ZAOC=?,向量丽在向量配夹角为4,

故选：C.

6.已知对任意平面向量通=（九,y）,把通绕其起点沿逆时针方向旋转。角得到向量

AP=（xcos。—ysin。,尤sind+ycosd），叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转。角得到

点P.已知平面内点A（l,2）,B（1+72,2-272）,把点8绕点A沿逆时针方向旋转!■后

得到点尸，则P的坐标为（）

A.（0,-1）B.（2,5）C.（4,1）D.（3,-1）

【答案】C

【解析】

【分析】设尸。〃,“），根据定义求出衣的坐标可得答案.

【详解】AB=（V2,-2V2）,把点8绕点A沿逆时针方向旋转3后得到

x字0**2日?

AP=V2x—+2V2=(3,-1),

2

设尸(人〃),则Z?=(〃z—L”_2)=(3,—1),

解得力=4,"=1,即尸(4,1).

故选：C.

己矢口35兀7兀n,sinx+cosx

7.cos!x+1=一<x<一，则-------：-)

5124cosx-smx

44、4

A.B.一彳或一

333

333

C.D.一二或二

444

【答案】A

【解析】

3717T

【分析】先由已知和余弦函数值确定一〈九+—＜2兀,再由同角的三角函数关系化简计算

24

即可;

5jr2兀71

【详解】因为——<X<—，所以——<x+—<2兀口

112434

因为cos1：3所以空＜九+巴＜2兀，

524

兀、

71..2

cos2x+—+sinX4—1,

44J

4兀4

所以sin1%+；卜~,tanIxH-"

43

~,sinx+cosx1+tan%4

所以嬴』=匚初

3

故选：A.

8.用min{a,Z?,c}表示a,b,c中的最小数，若函数/(x)为偶函数，且当x'O时,

2

f(x)=min|x+l,x-x+l,-x+6},则/(x)的极值点的个数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】画出xNO时图象，结合偶函数图象对称性及极值点概念即可判断.

【详解】由/(x)=min{x+l,x2-x+l,-x+6},x>0,

可得函数的大致图象，

12345cx

由图象可知当x>0时，有两个极值点，由对称性可知当x<0时，也有两个极值点，

同时由图象可知：x=0也是极值点，

所以共有5个极值点.

故选：D

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的

得0分.

+9丫2+]

9.已知正实数羽〉满足x+y=2,则------+2—的可能取值为()

1y

A.8B.9C.10D.11

【答案】CD

【解析】

【分析】利用基本不等式求最小值，即可得到答案.

【详解】由x+y=2得，|+1=1,

=x+y+2+^=2+(9

vy)

=7+£+守7+2后最=7+3=1。,

当且仅9y当建x，即A73二1取等号.

故王土2+工±1的最小值为io.

xy

故选：CD.

10.数列｛4｝满足：％=1,S0T=3a“(〃22),则下列结论中正确的是()

A.a2=1B.｛%｝是等比数列

4(4V-1

Can+l=-an,n>2D,

【答案】ACD

【解析】

【分析】由已知可得％=；，可判断A；由S.—£1=34+1—3%,,可判断B,C；

由求和公式可判断D.

【详解】对于A,因4=1,S„_j.=3tzn(n>2),

所以当〃=2时，S]=q=3〃2，所以。2=；，故A正确；

对于BC,当〃22时，Sn=3an+l,

所以4,=S“-Sn_}=3an+l-3an,

4

即。用=§%("N2),

又。2=§6，an+l>2),所以数列｛4｝不是等比数列，故B错误，C正确;

对于D,由BC可得§

=Q]+出+/+〃4+•••

正确.

故选：ACD.

11.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为a,沿倾斜角为/?的斜坡向上走am到达8处，在

8处测得山顶P的仰角为7,则山高丸=()

asinisin(7-a)

B.

sin(/-/?)

asinysin(a-3)asin/sin(o一尸)

2.——/<r+asin/7D.+sinP

sin^-a)sin(/-/?)

【答案】AC

【解析】

【分析】根据所给条件表示出NPAB、/APB、sinZABP,在AABP中利用正弦定理表

示出AP、BP,再由锐角三角函数计算可得.

【详解】由题意可知，ZPAQ=a,NPBC=y,ZPAB=a-/3,N3AQ=，,

分别在RU/IPQ,RU5PC中，ZAPQ=^-a,ZBPQ=^-y,

所以NAP3=ZAP。—N3P。=y-a,

又sinZABP=sin[兀-(ZAPS+ZBAP)],

=sin(ZAPB+ZBAP)=sin(y—a+a—/?)=sin(7-fi),

454尸

在△y15P中，由正弦定理可得,

sinZAPBsinNABP

a_A尸…asin(y-J3)

所以=

sin(7-a)sin。一夕)

在RL/PQ中，PQ=APsinp=-震叱;P),故A正确，B错误;

sin^/—CC)

ABPB

在中，由正弦定理可得,

AABPsinZAPB-sinZBAP

即a=PB所以cn噜Rasinf(a_£)

sin。-a)sin(cr-p)

在RtAPBC中,PC=PBsin=-

Zbin丁—(JL)

又CQ=ABsinJ3=asin[3,

asinysin(«-/?)

所以PQ=PC+CQ=——+asin/7,故C正确、D错误.

sin(7-(z)

故选：AC

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知复数z=(疗-5〃z+6)+"-3〃z)i是纯虚数，则复数z的虚部是.

【答案】2

【解析】

【分析】根据纯虚数的定义即可求出.

【详解】若z是纯虚数，则加2—5根+6=0且I"？一3%#0，解得加=2.

故答案为：2.

13.写出一个满足条件“函数的图象与坐标轴没有交点，且关于y轴对称”的幕函数：

小)=-

【答案】%-2(答案不唯一)

【解析】

【分析】根据幕函数的图象与性质以及函数奇偶性即可得到答案.

【详解】举例/'(X)=H,令〃x)=X-2=0,无实数解，且定义域为{尤|尤H0},则函数

的图象与坐标轴没有交点，

/(—x)=(—引一2=一，且定义域为(-8,0)U(。,+8),关于原点对称，

则/(x)为偶函数，则其图象关于》轴对称.

故答案为：了2.

14.函数/(x)=sin乃x-ln|2x—3|的所有零点之和为.

【答案】9

【解析】

【分析】根据给定条件，构造函数丁=5m狈，y=ln|2x-3|,作出这两个函数的部分图

象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答.

【详解】由/'(》)=005111"工=111|2工一3|,4^=sin7ix,y=ln|2x-3|,

3

显然y=sinm：与y=ln|2x—3]的图象都关于直线x=5对称，

在同一坐标系内作出函数y=sin;ix,y=ln|2x-3|的图象，如图,

观察图象知，函数y=sin?ix,y=ln|2x-3|的图象有6个公共点，其横坐标依次为

X],X?，，X4，/，，

3

这6个点两两关于直线X=万对称，有％+4=々+%5=演+%4=3，则

玉+%2+W+%4+%5+%6=9，

所以函数/(%)=5布必-111|2%-3|的所有零点之和为9.

故答案为：9

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

15.某种产品的广告费用支出X(万元)与销售额y(万元)之间有如下的对应数据：

X24568

y3040605070

(1)求回归直线方程；

(2)据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？

—八》fx，^j-nxy._

参考公式：b=Jr7―奇，a=y-bx

Xg]Xj—nx

【答案】⑴y=6.5x+17.5；⑵95.5.

【解析】

【分析】

【详解】试题分析：(1)根据所给的数据先求出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法写

出线性回归方程系数的表达式，把样本中心点代入求出a的值，得到线性回归方程；（2）

根据所给的变量x的值，把值代入线性回归方程，得到对应的y的值，这里的y的值是一

个预报值.

2+4+5+6+8

试题解析：（1）求回归直线方程元=------------=5，

5

30+40+60+50+701380-5x5x50

=50,b==6.5,0=50-6.5x5=17.5,

5145-5x25

因此回归直线方程为y=6.5%+17.5；

（2）当x=12时，预报》的值为y=12x6.5+17.5=95.5万元，

即广告费用为12万元时，销售收入y的值大约是95.5万元.

16.如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PAL平面ABCD,

ZABC=60°，E,尸分别是5C,PC的中点.

（1）证明：平面PAD；

（2）若PA=2,求二面角/—AE—C的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵旦

5

【解析】

【分析】（1）先证AEL8C,可得AELAZ）,利用线面垂直的性质可得R4，AE,再利

用线面垂直的判定定理即可证明AE±平面PAD；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求面面角即可.

小问1详解】

由四边形A3CD为菱形，=60%可得△A3C为正三角形,

•.•石为3。的中点，，砥，：6（2,

又BC//AD,..AELAD,

尸4,平面ABCD,4石匚平面488,..以，4后，

又PAcAD=A,PAADu平面PAD,

AEL平面PAO.

【小问2详解】

由（1）可知，AELAD,PALAE,

又PAL平面ABCD,4。匚平面458,..24,4。,

则AE,AD,AP两两垂直，

故以A为坐标原点，入后,4。,4。分别为了,以2轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则A（0,0,0）,尸（0,0,2）,E（V3,0,0）

.•.荏=（百,0,0）,AF,衣=（0,0,2）,

设平面AEF的法向量为m=（x,y,z）,

y/3x=0

AE-沅=0%=0/、

则《一，即V31，令z=-1，则＜沅=（0,2,—1）,

AFm=Q——x+—y+z=05=2

[22

又平面AEC的一个法向量为AP=（0,0,2）,

./--TD\m-AP-2A/5

\/\m\\AP\V5x25，

由图知，二面角尸—AE—C为锐角，

故二面角F-AE-C的余弦值为好.

5

17.已知向量加二(百sinox,sinox),n-(cosa)x,sina)x),0〉0,函数/(%)二根•几，

且了(%)的最小正周期为兀.

(1)若xe0,—,求〃x)的值域；

(2)将/(x)的图象先向下平移3个单位长度，再向左平移加(m>0)个单位长度，最

后将横坐标变为原来的两倍，所得函数图象与函数y=cosx的图象重合，求实数机的最

小值.

-3-

【答案】(1)0,-

L2J

⑵-

3

【解析】

【分析】(1)利用向量数量积公式和三角恒等变换得到/(x)=sin(20x-+g,根据最

小正周期得到。=1,得到函数解析式，利用整体法求出值域；

(2)利用伸缩和平移变换得到y=sin1x+2机—结合y=©05工=5也[工+]],得到

7T兀

方程，求出机=—+E,keZ,当左=0时，实数m取得最小值一.

33

小问1详解】

f(x}=m-n=>/3smcoxcoscox+sin~a>x=^-sin2cox--cosIcox+—

V'222

/兀11

—sinLCDXH—,

I6)2

2兀

因为〃X)最小正周期为兀，所以2。=不=2,解得。=1,

所以/"(xhsinbx-gX，

3兀兀兀2兀

因为九£0,—,所以2%—

1266?T

贝i]sin[2x—£]e一;,1,

所以/'（x）=sin[2x—+0,|,

「5兀]「3一

所以当xe0,—时，“X）的值域为0,-.

【小问2详解】

向下平移1个单位长度得V=sin12x-弓），

向左平移加（m>0）个单位长度得y=sin12（x+m）—e]=sin（2x+2m—e

横坐标变为原来的2倍得y=sinj^x+2m-^.

因为y=cosx=sin[x+]],

所以要使得y=sin1x+2机—6]与丁=<：05*的图象重合，

兀兀7t

则2〃1—=—I-2kn,keZ,解得m=—I-ku,keZ

623

当左=0时，实数机取得最小值一.

3

18.已知函数/（%）=〃/—%.

（1）讨论了（九）的单调性；

x

e-1

（2）若a>0,X/%w（0,+8）,/（%）>------,求。的取值范围.

ax

【答案】（1）答案见解析

⑵〔”[

【解析】

【分析】（1）求导，即可分类讨论求解导数的正负求解单调性，

—X11

(2)将不等式变形为即加工―£—〉x—上构造函数g(x)=x——,则g(ae)>g(x),

axx

YY

根据单调性可得即。>不，构造函数丸(x)=—r(%〉0),求导即可根据单调性求解最值得

ee

解.

【小问1详解】

/,(x)=tzeA-1.

当aWO时，r(x)<0"(x)在R上是减函数.

当a>0时，y=/0)是增函数.令r(x)=0,解得x=—lna.

当xe(-oo,-lna)时，f'(%)<0；当尤e(-lna,+e),y'(x)>0.

所以/(x)在(一叫-Ina)上单调递减，在(—Ina,+“)上单调递增.

综上，当aWO时，/(X)在R上是减函数；当a>0时，〃x)在(一”,Tna)上单调递

减，在(-Ina,+。)上单调递增.

【小问2详解】

,(、01*e-x1

>-------,即Bnae----->x——.

axax

令函数g(%)=%——

1Y

因为g'(x)=l+F〉0，g(x)在(0,+8)上单调递增，所以ae*>九，即。>—7.

xe

令函数//(x)=W(x〉0)，则〃(x)=L^.

ee

当久e(0,1)时，h'(x)>0；当xe(l,+oo),〃'(x)<0.

所以h(x)(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以丸(X)极大值=/<1