2024年高考数学一轮复习讲练测专题2.5二次函数与幂函数练文含解析

PAGEPAGE1专题2.5二次函数与幂函数1．（2024·辽宁沈阳二中月考）幂函数y＝f(x)经过点(3，eq\r(3))，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数【答案】D【解析】设幂函数的解析式为y＝xα，将(3，eq\r(3))代入解析式得3α＝eq\r(3)，解得α＝eq\f(1,2)，所以y＝x.故选D.2．（2024·河南洛阳一中期中）已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是()【答案】D【解析】由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c＜0，所以函数图象开口向上，解除A、C.又f(0)＝c＜0，所以解除B，故选D.3.（2024·四川绵阳一中期中）二次函数f(x)的图象如图所示，则f(x－1)>0的解集为()A．(－2,1)B．(0,3)C．(－1,2]D．(－∞，0)∪(3，＋∞)【答案】B【解析】依据f(x)的图象可得f(x)>0的解集为{x|－1＜x＜2}，而f(x－1)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位得到的，故f(x－1)>0的解集为(0,3)．故选B.4．（2024·云南普洱一中月考）若a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．c＜a＜bC．b＜c＜a D．b＜a＜c【答案】D【解析】∵y＝x(x>0)是增函数，∴a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))).∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x是减函数，∴a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，∴b＜a＜c.5．（2024·黑龙江伊春一中期末）已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且2是f(x)的一个零点，－1是f(x)的一个微小值点，那么不等式f(x)>0的解集是()A．(－4,2) B．(－2,4)C．(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(4，＋∞)【答案】C【解析】依题意，f(x)图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－1，方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是2，另一个根是－4.因此f(x)＝a(x＋4)(x－2)(a>0)，于是f(x)>0，解得x>2或x＜－4.6．（2024·内蒙通辽一中月考）已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))))，b＝f(lnπ)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，则a，b，c的大小关系为()A．c＜a＜b B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．b＜a＜c【答案】A【解析】依据题意，m－1＝1，∴m＝2，∴2n＝8，∴n＝3，∴f(x)＝x3.∵f(x)＝x3是定义在R上的增函数，又－eq\f(1,2)＜0＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0＝1＜lnπ，∴c＜a＜b.7．（2024·山西运城一中期末）已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，则y＝2ax＋b的图象不行能是()【答案】B【解析】选项A中，a＝0时，符合题意．当a≠0时，对称轴x＝－eq\f(b,2a)≥0且y＝2ax＋b与x轴的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，0))应位于x轴非负半轴，B不符合题意．选项C，D符合题意．8．（2024·河北张家口二中期中）若二次函数f(x)＝ax2－x＋b(a≠0)的最小值为0，则a＋4b的取值范围是________．【答案】[2，＋∞)【解析】依题意，知a>0，且Δ＝1－4ab＝0，所以4ab＝1，且b>0.故a＋4b≥2eq\r(4ab)＝2，当且仅当a＝4b，即a＝1，b＝eq\f(1,4)时等号成立．所以a＋4b的取值范围是[2，＋∞)．9．（2024·陕西铜川一中月考）已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.(1)求m的值；(2)当x∈[1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．【解析】(1)依题意得，(m－1)2＝1⇒m＝0或m＝2，当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设冲突，舍去，所以m＝0.(2)由(1)得，f(x)＝x2，当x∈[1，2)时，f(x)∈[1，4)，即A＝[1，4)，当x∈[1，2)时，g(x)∈[2－k，4－k)，即B＝[2－k，4－k)，因p是q成立的必要条件，则B⊆A，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－k≥1，,4－k≤4，))解得0≤k≤1.所以实数k的取值范围为[0，1]．10．（2024·安徽马鞍山二中期末）已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x），x＞0，,－f（x），x＜0，))求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．【解析】(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－eq\f(b,2a)＝－1，解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝(x＋1)2.所以F(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋1）2，x＞0，,－（x＋1）2，x＜0.))所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，从而|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x2＋bx≤1在区间(0，1]上恒成立，即b≤eq\f(1,x)－x且b≥－eq\f(1,x)－x在(0，1]上恒成立．又eq\f(1,x)－x的最小值为0，－eq\f(1,x)－x的最大值为－2.所以－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2，0]．11．（2024·江苏苏州中学模拟）已知二次函数f(x)满意f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞) B．(－∞，0]C．[0，4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)【答案】C【解析】由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为x＝eq\f(2＋x＋2－x,2)＝2，又函数f(x)在[0，2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4，故选C.12．（2024·浙江学军中学模拟）已知二次函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1<x2，x1＋x2＝0，则f(x1)与f(x2)的大小关系为()A．f(x1)＝f(x2) B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)<f(x2) D．与a值有关【答案】C【解析】该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝eq\f(1,4)，又依题意，得x1<0，x2>0，又x1＋x2＝0，所以当x1，x2在对称轴的两侧时，eq\f(1,4)－x1>x2－eq\f(1,4)，故f(x1)<f(x2)．当x1，x2都在对称轴的左侧时，由单调性知f(x1)<f(x2)．综上，f(x1)<f(x2)．13．（2024·山东莱阳一中模拟）已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，b＝f(lnπ)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))，则a，b，c的大小关系是()A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．b<a<c【答案】A【解析】由于f(x)＝(m－1)xn为幂函数，所以m－1＝1，则m＝2，f(x)＝xn，又点(2，8)在函数f(x)＝xn的图象上，所以8＝2n，知n＝3，故f(x)＝x3是增函数．又lnπ>1>2－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)>eq\f(1,3)，因此b>c>a.14．（2024·湖北襄樊五中模拟）已知二次函数f(x)满意f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________．【答案】[0，4]【解析】由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝2(如图)，若f(a)≥f(0)，从图象视察可知0≤a≤4.15．（2024·广东广雅中学模拟）已知二次函数f(x)满意f(x)＝f(2－x)，且f(1)＝4，f(3)＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m，使得在[1，4)上f(x)的图象恒在曲线y＝2x＋m的上方？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c.因为二次函数f(x)满意f(x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，即－eq\f(b,2a)＝1.①因为f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(1)＝a＋b＋c＝4，②f(3)＝9a＋3b＋c＝0，③联立①②③，解得a＝－1，b＝2，c＝3.故f(x)＝－x2＋2x＋3.(2)设g(x)＝－x2＋2x＋3－2x－m.f(x)的图象恒在曲线y＝2x＋m的上方等价于g(x)>0恒成立．所以m<－x2＋2x＋3－2x恒成立．因为y＝－x2＋2x＋3在[1，4)上单调递减，y＝2x在[1，4)上单调递增，所以h(x)＝－x2＋2x＋3－2x在[1，4)上单调递减，所以h(x)>h(4)＝－16＋8＋3－16＝－21.即m≤－21.故实数m的取值范围是(－∞，－21]．1.【2024年高考全国Ⅰ卷文数】已知，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】即则．故选B．2．(2024·上海卷)已知α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,2)，1，2，3)).若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________．【答案】－1【解析】因为幂函数y＝xα是奇函数，知α可取－1，1，3.又y＝xα在(0，－∞)上是减函数，所以α<0，即α＝－1.3．(202