江苏省2024高考数学二轮复习专题三解析几何3.1小题考法-解析几何中的基本问题讲义含解析

PAGEPAGE15专题三解析几何[江苏卷5年考情分析]小题考情分析大题考情分析常考点1.直线与圆、圆与圆的位置关系(5年4考)2.圆锥曲线的方程及几何性质(5年5考)主要考查直线与椭圆(如2014年、2015年、2024年、2024年)的位置关系、弦长问题、面积问题等；有时也考查直线与圆(如2024年)，常与向量结合在一起命题.偶考点直线的方程、圆的方程第一讲小题考法——解析几何中的基本问题考点(一)直线、圆的方程主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算.[题组练透]1．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为____________．解析：由题意知直线l与直线PQ垂直，所以kl＝－eq\f(1,kPQ)＝1.又直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝02．(2024·南通一模)已知圆C过点(2，eq\r(3))，且与直线x－eq\r(3)y＋3＝0相切于点(0，eq\r(3))，则圆C的方程为____________．解析：设圆心为(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－\r(3),a)·\f(\r(3),3)＝－1，,a－22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\r(3)))2＝a2＋b－\r(3)2，))解得a＝1，b＝0，r＝2.即所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.答案：(x－1)2＋y2＝43．(2024·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系xOy中，若动圆C上的点都在不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤3，,x－\r(3)y＋3≥0,x＋\r(3)y＋3≥0))，表示的平面区域内，则面积最大的圆C的标准方程为____________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，面积最大的圆C即为可行域三角形的内切圆．由对称性可知，圆C的圆心在x轴上，设半径为r，则圆心C(3－r,0)，且它与直线x－eq\r(3)y＋3＝0相切，所以eq\f(|3－r＋3|,\r(1＋3))＝r，解得r＝2，所以面积最大的圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.答案：(x－1)2＋y2＝4[方法技巧]1．求直线方程的两种方法干脆法选用恰当的直线方程的形式，由题设条件干脆求出方程中系数，写出结果待定系数法先由直线满意的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数2.圆的方程的两种求法几何法通过探讨圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程考点(二)直线与圆、圆与圆的位置关系主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系，以及依据直线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题.[典例感悟][典例](1)(2024·无锡期末)过圆x2＋y2＝16内一点P(－2,3)作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为________．(2)(2024·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4,0)，B(0,4)，从直线AB上一点P向圆x2＋y2＝4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为________．[解析](1)设O到AB的距离为d1，O到CD的距离为d2，则由垂径定理可得deq\o\al(2,1)＝r2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2，deq\o\al(2,2)＝r2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,2)))2，由于AB＝CD，故d1＝d2，且d1＝d2＝eq\f(\r(2),2)OP＝eq\f(\r(26),2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2＝r2－deq\o\al(2,1)＝16－eq\f(13,2)＝eq\f(19,2)，得AB＝eq\r(38)，从而四边形ACBD的面积为S＝eq\f(1,2)AB×CD＝eq\f(1,2)×eq\r(38)×eq\r(38)＝19.(2)法一：(几何法)因为直线AB的方程为y＝x＋4，所以可设P(a，a＋4)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以PC的方程为x1x＋y1y＝4，PD的方程为x2x＋y2y＝4，将P(a，a＋4)分别代入PC，PD的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax1＋a＋4y1＝4，,ax2＋a＋4y2＝4，))则直线CD的方程为ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，所以直线CD过定点N(－1,1)，又因为OM⊥CD，所以点M在以ON为直径的圆上(除去原点)．又因为以ON为直径的圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(1,2)，所以AM的最大值为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4＋\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＋eq\f(\r(2),2)＝3eq\r(2).法二：(参数法)因为直线AB的方程为y＝x＋4，所以可设P(a，a＋4)，同法一可知直线CD的方程为ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，得a＝eq\f(4－4y,x＋y).又因为O，P，M三点共线，所以ay－(a＋4)x＝0，得a＝eq\f(4x,y－x).因为a＝eq\f(4－4y,x＋y)＝eq\f(4x,y－x)，所以点M的轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(1,2)(除去原点)，所以AM的最大值为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4＋\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＋eq\f(\r(2),2)＝3eq\r(2).[答案](1)19(2)3eq\r(2)[方法技巧]解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略(1)探讨直线与圆及圆与圆的位置关系时，要留意数形结合，充分利用圆的几何性质找寻解题途径，削减运算量．(2)解决直线与圆相关的最值问题：一是利用几何性质，如两边之和大于第三边、斜边大于直角边等来处理最值；二是建立函数或利用基本不等式求解．(3)对于直线与圆中的存在性问题，可以利用所给几何条件和等式，得出动点轨迹，转化为直线与圆、圆与圆的位置关系．[演练冲关]1．已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A的横坐标的取值范围是________．解析：由题意知，直线l与圆M相离，所以点A在圆M外．设AP，AQ分别与圆M相切于点P，Q，则∠PAQ≥∠BAC＝60°，从而∠MAQ≥30°.因为MQ＝2，所以MA≤4.设A(x0,6－x0)，则MA2＝(x0－1)2＋(6－x0－1)2≤16，解得1≤x0≤5.答案：[1,5]2．(2024·苏北四市期末)在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，则r的取值范围是________．解析：设圆C1上存在点P(x0，y0)满意题意，点P关于直线x－y＝0的对称点Q(y0，x0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)＋y0－12＝r2，,y0－22＋x0－12＝1，))故只需圆x2＋(y－1)2＝r2与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1有交点即可，所以|r－1|≤eq\r(1－02＋2－12)≤r＋1，解得eq\r(2)－1≤r≤eq\r(2)＋1.答案：[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1]3．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为________.解析：圆C的标准方程为(x－m)2＋(y－2)2＝32，圆心为C(m,2)，半径为4eq\r(2)，当△ABC的面积的最大值为16时，∠ACB＝90°，此时C到AB的距离为4，所以4≤CP＜4eq\r(2)，即16≤(m－3)2＋(0－2)2＜32，解得2eq\r(3)≤|m－3|＜2eq\r(7)，即m∈(3－2eq\r(7)，3－2eq\r(3)]∪[3＋2eq\r(3)，3＋2eq\r(7))．答案：(3－2eq\r(7)，3－2eq\r(3)]∪[3＋2eq\r(3)，3＋2eq\r(7))4．(2024·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x＋4)2＋(y－a)2＝16上的两个动点，且AB＝2eq\r(11).若直线l：y＝2x上存在唯一的一个点P，使得eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))，则实数a的值为________．解析：法一：设AB的中点为M(x0，y0)，P(x，y)，则由AB＝2eq\r(11)，得CM＝eq\r(16－11)＝eq\r(5)，即点M的轨迹为(x0＋4)2＋(y0－a)2＝5.又因为eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))，所以eq\o(PM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))，即(x0－x，y0－y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(a,2)))，从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x－2，,y0＝y＋\f(a,2)，))则动点P的轨迹方程为(x＋2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(a,2)))2＝5，又因为直线l上存在唯一的一个点P，所以直线l和动点P的轨迹(圆)相切，则eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－4－\f(a,2))),\r(22＋－12))＝eq\r(5)，解得a＝2或a＝－18.法二：由题意，圆心C到直线AB的距离d＝eq\r(16－11)＝eq\r(5)，则AB中点M的轨迹方程为(x＋4)2＋(y－a)2＝5.由eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))，得2eq\o(PM,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))，所以eq\o(PM,\s\up7(→))∥eq\o(OC,\s\up7(→)).如图，连结CM并延长交l于点N，则CN＝2CM＝2eq\r(5).故问题转化为直线l上存在唯一的一个点N，使得CN＝2eq\r(5)，所以点C到直线l的距离为eq\f(|2×－4－a|,\r(22＋－12))＝2eq\r(5)，解得a＝2或a＝－18.答案：2或－18考点(三)圆锥曲线的方程及几何性质主要考查三种圆锥曲线的定义、方程及几何性质，在小题中以考查椭圆和双曲线的几何性质为主.[题组练透]1．(2024·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线y2＝8x的焦点，则点F到双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的渐近线的距离为________．解析：抛物线的焦点F(2,0)，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(3,4)x，不妨取y＝eq\f(3,4)x，即3x－4y＝0，所以焦点F到渐近线的距离为eq\f(|6|,\r(32＋－42))＝eq\f(6,5).答案：eq\f(6,5)2．(2024·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是________．解析：由题意得，A(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，F(c,0)，所以eq\o(B2F,\s\up7(→))＝(c，－b)，eq\o(AB1,\s\up7(→))＝(－a，－b)，因为B2F⊥AB1，所以eq\o(B2F,\s\up7(→))·eq\o(AB1,\s\up7(→))＝0，即b2＝ac，所以c2＋ac－a2＝0，e2＋e－1＝0，又椭圆的离心率e∈(0,1)，所以e＝eq\f(\r(5)－1,2).答案：eq\f(\r(5)－1,2)3．(2024·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．解析：由题意得，双曲线的右准线x＝eq\f(3,2)与两条渐近线y＝±eq\f(\r(3),3)x的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，±\f(\r(3),2))).不妨设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，则F1(－2,0)，F2(2,0)，故四边形F1PF2Q的面积是eq\f(1,2)|F1F2|·|PQ|＝eq\f(1,2)×4×eq\r(3)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)4．(2024·常州期末)在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x＋y＋1＝0与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．解析：双曲线的渐近线分别为y＝eq\f(b,a)x，y＝－eq\f(b,a)x，依题意有－eq\f(b,a)>－1，即b<a，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))<eq\r(2).又因为e>1，所以e的取值范围是(1，eq\r(2))．答案：(1，eq\r(2))[方法技巧]应用圆锥曲线的性质的两个留意点(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是干脆求出c和a的值，而是依据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．[必备知能·自主补缺](一)主干学问要记牢1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系(1)平行⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；(2)重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0；(3)相交⇔A1B2－A2B1≠0；(4)垂直⇔A1A2＋B1B2＝0.2．直线与圆相交(1)几何法由弦心距d、半径r和弦长的一半构成直角三角形，计算弦长|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代数法设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线方程代入圆方程中，消去y得关于x的一元二次方程，求出x1＋x2和x1·x2，则|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1·x2).3．推断两圆位置关系时常用几何法即通过推断两圆心距离O1O2与两圆半径R，r(R>r)的关系来推断两圆位置关系．(1)外离：O1O2>R＋r；(2)外切：O1O2＝R＋r；(3)相交：R－r<O1O2<R＋r；(4)内切：O1O2＝R－r；(5)内含：0≤O1O2<R－r.4．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)；(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2).(3)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x.留意离心率e与渐近线的斜率的关系．(二)二级结论要用好1．过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.2.过圆C外一点P做圆C的切线，切点分别为A，B(求切线时要留意斜率不存在的状况)如图所示，则(1)P，B，C，A四点共圆，且该圆的直径为PC；(2)该四边形是有两个全等的直角三角形组成；(3)coseq\f(∠BCA,2)＝sineq\f(∠BPA,2)＝eq\f(r,PC)；(4)直线AB的方程可以转化为圆C与以PC为直径的圆的公共弦，且P(x0，y0)时，直线AB的方程为x0x＋y0y＝r2.3．椭圆焦点三角形的3个规律设椭圆方程是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，点P的坐标是(x0，y0)．(1)三角形的三个边长是PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0，|F1F2|＝2c，e为椭圆的离心率．(2)假如△PF1F2中∠F1PF2＝α，则这个三角形的面积S△PF1F2＝c|y0|＝b2taneq\f(α,2).(3)椭圆的离心率e＝eq\f(sin∠F1PF2,sin∠F1F2P＋sin∠F2F1P).4．双曲线焦点三角形的2个结论P(x0，y0)为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上的点，△PF1F2为焦点三角形．(1)面积公式S＝c|y0|＝eq\f(1,2)r1r2sinθ＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))(其中PF1＝r1，PF2＝r2，∠F1PF2＝θ)．(2)焦半径若P在右支上，PF1＝ex0＋a，PF2＝ex0－a；若P在左支上，PF1＝－ex0－a，PF2＝－ex0＋a.5．抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB的3个结论(1)xA·xB＝eq\f(p2,4)；(2)yA·yB＝－p2；(3)AB＝xA＋xB＋p.[课时达标训练]A组——抓牢中档小题1．若直线l1：mx＋y＋8＝0与l2：4x＋(m－5)y＋2m＝0垂直，则m＝________.解析：∵l1⊥l2，∴4m＋(m－5)＝0，∴m＝1.答案：12．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq\r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq\f(4\r(5),5)，则圆C的方程为____________．解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝eq\f(2a,\r(5))＝eq\f(4\r(5),5)，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝eq\r(22＋\r(5)2)＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.答案：(x－2)2＋y2＝93．(2024·镇江期末)已知双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1的左焦点与抛物线y2＝－12x的焦点重合，则双曲线的右准线方程为________．解析：因为抛物线的焦点为(－3,0)，即为双曲线的左焦点，所以a2＝9－1＝8，所以双曲线的右准线方程为x＝eq\f(8,3).答案：x＝eq\f(8,3)4．已知直线l过点P(1,2)且与圆C：x2＋y2＝2相交于A，B两点，△ABC的面积为1，则直线l的方程为________．解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为y＝k(x－1)＋2，即kx－y－k＋2＝0.因为S△ABC＝eq\f(1,2)CA·CB·sin∠ACB＝1，所以eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×sin∠ACB＝1，所以sin∠ACB＝1，即∠ACB＝90°，所以圆心C到直线AB的距离为1，所以eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4)，所以直线方程为3x－4y＋5＝0；当直线斜率不存在时，直线方程为x＝1，经检验符合题意．综上所述，直线l的方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.答案：3x－4y＋5＝0或x＝15．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4eq\r(3)，则C的方程为__________．解析：因为△AF1B的周长为4eq\r(3)，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4eq\r(3)，所以a＝eq\r(3).又因为椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.答案：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝16．(2024·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________．解析：圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，由题意得，圆心(2，－2)到直线kx＋y＋3＝0的距离d＝eq\f(|2k－2＋3|,\r(k2＋1))≤1，解得－eq\f(4,3)≤k≤0，所以实数k的最小值为－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)7．已知以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M，N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e＝________.解析：因为圆的半径r＝c，在Rt△F1F2M中，|F1F2|＝2c，|F2M|＝c，|F1M|＝eq\r(3)c，所以2a＝|F1M|＋|F2M|＝(eq\r(3)＋1)c，离心率e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2c,\r(3)c＋c)＝eq\r(3)－1.答案：eq\r(3)－18．(2024·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是________．解析：由题意知△ABC为等腰直角三角形，且AC＝BC＝4，AB＝4eq\r(2)，∴圆心C到直线ax＋y－2＝0的距离d＝eq\r(42－2\r(2)2)＝2eq\r(2)，∴eq\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))＝2eq\r(2)，解得a＝－1.答案：－19．(2024·扬州期末)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋y2－6y＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：由圆x2＋y2－6y＋5＝0，得圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝4，所以圆心C(0,3)，半径r＝2.因为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线bx±ay＝0与该圆没有公共点，则圆心到直线的距离应大于半径，即eq\f(|b×0±a×3|,\r(b2＋a2))>2，即3a>2c，即e＝eq\f(c,a)<eq\f(3,2)，又e>1，故双曲线离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是________．解析：设∠PCA＝θ，所以PQ＝2eq\r(2)sinθ.又cosθ＝eq\f(\r(2),AC)，AC∈[3，＋∞)，所以cosθ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),3)))，所以cos2θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,9)))，sin2θ＝1－cos2θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，1))，所以sinθ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(7),3)，1))，所以PQ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(14),3)，2\r(2))).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(14),3)，2\r(2)))11．(2024·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)的两条渐近线与圆O：x2＋y2＝2的四个交点依次为A，B，C，D.若矩形ABCD的面积为b，则b的值为________．解析：由题意知，双曲线C的渐近线方程为y＝±bx，如图所示，两条渐近线与圆O的四个交点为A，B，C，D.不妨设点B的坐标为(m，n)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝bm，,m2＋n2＝2，))解得m2＝eq\f(2,b2＋1)，而矩形ABCD的面积为2m×2n＝4mn＝4bm2＝eq\f(4b×2,b2＋1)＝b，解得b＝eq\r(7).答案：eq\r(7)12．(2024·苏锡常镇调研)已知直线l：x－y＋2＝0与x轴交于点A，点P在直线l上．圆C：(x－2)2＋y2＝2上有且仅有一个点B满意AB⊥BP，则点P的横坐标的取值集合为________．解析：法一：由AB⊥BP，得点B在以AP为直径的圆D上，所以圆D与圆C相切．由题意得A(－2,0)，C(2,0)．若圆D与圆C外切，则DC－DA＝eq\r(2)；若圆D与圆C内切，则DA－DC＝eq\r(2).所以圆心D在以A，C为焦点的双曲线eq\f(x2,\f(1,2))－eq\f(y2,\f(7,2))＝1上，即14x2－2y2＝7.又点D在直线l上，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,14x2－2y2＝7，))得12x2－8x－15＝0，解得xD＝eq\f(3,2)或xD＝－eq\f(5,6).所以xP＝2xD－xA＝2xD＋2＝5或xP＝eq\f(1,3).法二：由题意可得A(－2,0)，设P(a，a＋2)，则AP的中点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－2,2)，\f(a＋2,2)))，AP＝eq\r(2a＋22)，故以AP为直径的圆M的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a－2,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(a＋2,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a＋2|,\r(2))))2.由题意得圆C与圆M相切(内切和外切)，故eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－2,2)－2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)))2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(2)±\f(|a＋2|,\r(2))))，解得a＝eq\f(1,3)或a＝5.故点P的横坐标的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，5)).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，5))13．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于A，B两点．若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为________．解析：设直线x＝m与x轴交于点H，椭圆的右焦点为F1，由椭圆的对称性可知△FAB的周长为2(FA＋AH)＝2(2a－F1A＋AH)，因为F1A≥AH，故当F1A＝AH时，△FAB的周长最大，此时直线AB经过右焦点，从而点A，B坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，所以△FAB的面积为eq\f(1,2)·2c·eq\f(2b2,a)，由条件得eq\f(1,2)·2c·eq\f(2b2,a)＝ab，即b2＋c2＝2bc，b＝c，从而椭圆的离心率为e＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)14．已知A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝eq\r(3)，P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，则|eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))|的取值范围为________．解析：因为A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝eq\r(3)，所以线段AB的中点H在圆O：x2＋y2＝eq\f(1,4)上，且|eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))|＝2|eq\o(PH,\s\up7(→))|.因为点P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，所以5－eq\f(3,2)≤|eq\o(PH,\s\up7(→))|≤5＋eq\f(3,2)，即eq\f(7,2)≤|eq\o(PH,\s\up7(→))|≤eq\f(13,2)，所以7≤2|eq\o(PH,\s\up7(→))|≤13，从而|eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))|的取值范围是[7,13]．答案：[7,13]B组——力争难度小题1．已知点P是圆C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0上的一点，直线l：3x－4y－5＝0.若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有________个．解析：由题意知圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，所以圆心(－2,3)到直线l的距离d＝eq\f(|－6－12－5|,5)＝eq\f(23,5)∈(4,5)，故满意题意的点P有2个．答案：22．(2024·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，则圆心A到此渐近线的距离d＝eq\f(|ba－a×0|,\r(b2＋a2))＝eq\f(ab,c).又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin60°＝eq\f(ab,c)，即eq\f(\r(3)b,2)＝eq\f(ab,c)，所以e＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)3．(2024·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝k(x－3eq\r(3))上存在一点P，圆x2＋(y－1)2＝1上存在一点Q，满意eq\o(OP,\s\up7(→))＝3eq\o(OQ,\s\up7(→))，则实数k的最小值为________．解析：设点P(x，y)，由eq\o(OP,\s\up7(→))＝3eq\o(OQ,\s\up7(→))，可得Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)，\f(y,3))).又点Q在圆x2＋(y－1)2＝1上，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,3)－1))2＝1，即x2＋(y－3)2＝9，所以点P既在圆x2＋(y－3)2＝9上，又在直线y＝k(x－3eq\r(3))上，即直线与圆有交点，所以圆心到直线距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－3－3\r(3)k)),\r(