浙江省嘉兴市八校2024～2025学年高二下学期4月期中联考数学试题含答案

/浙江省嘉兴市八校2024−2025学年高二下学期4月期中联考数学试题一、单选题（本大题共6小题）1．下列函数求导正确的是（

）A． B． C． D．2．若的展开式中常数项为32，则（

）A．5 B．6 C．7 D．83．若随机变量，且，，则的值为（

）A． B． C． D．4．从4名女生和2名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层随机抽样，则不同的抽取方法数为（）A．56 B．28 C．24 D．125．某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于（）A． B． C． D．6．三次函数在上是减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共1小题）7．已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示.下列关于函数的结论正确的有（

）A．函数的极大值点有个B．函数在上是减函数C．若时，的最大值是，则的最大值为4D．当时，函数有个零点三、单选题（本大题共1小题）8．已知函数，，若在区间上，函数的图象恒在函数图象的上方，则的取值范围为（

）A． B．C．或 D．四、多选题（本大题共3小题）9．若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值和方差，则（

）A． B．C． D．10．已知的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（

）A． B．展开式的各项系数和为243C．展开式中奇数项的二项式系数和为16 D．展开式中有理项一共有3项11．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．当时，若有三个零点，则b的取值范围为B．若满足，则C．若过点可作出曲线的三条切线，则D．若存在极值点，且，其中，则五、填空题（本大题共3小题）12．设曲线的图象在点(1，)处的切线斜率为2，则实数a的值为．13．在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为．14．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为．六、解答题（本大题共5小题）15．已知函数有极小值．(1)求的单调区间；(2)求在上的最大值和最小值．16．设，且．(1)求与的值；(2)求的值．17．张先生家住小区，他在科技园区工作，从家开车到公司上班有，两条路线(如图)，路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的均为；上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.（1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；（2）若走路线，求他遇到红灯的次数的分布列和数学期望.18．随着新中考英语人机测试的推行，为了确保学生能够有效应对这一新的考试形式，某中学决定展开深入调查，组织一次模拟测试，对学生的英语水平能力进行准确评估，并据此制定针对性的教学方案.该校从初二学年学生中随机抽取40人将进行模拟测试.现将40人分成三个小组，其中组15人，组15人，组10人.(1)第一轮测试按小组顺次进行.若一切正常，则该小组完成测试的时间为10分钟，若出现异常情况，则该小组需要延长5分钟才能完成测试.已知每小组正常完成测试的概率均为，且各小组是否正常完成测试互不影响.记3个小组完成测试所需时间为，求的分布列;(2)第二轮测试将3组同学一起排序，每一位同学顺次上机操作.①求最后一名同学来自组的条件下，组同学比组同学提前完成测试的概率;②若每名同学完成测试的时间都是为3分钟，求组和组同学全部完成测试所需时间的期望.19．已知函数.（1）讨论函数的极值；（2）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值：若不存在，请说明理由.

参考答案1．【答案】A【详解】，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D错误.故选A.2．【答案】A【详解】的展开式通项为.故常数项为，得.故选A.3．【答案】A【详解】因为，，所以，解得.故选A.4．【答案】D【详解】所抽取的男生人数为，因此女生人数为2，抽取方法数共有种．故选D．5．【答案】B【详解】设事件为选到的是团员，事件为选到的是男生，根据题意可得，，，故．故选B．6．【答案】A【详解】对函数求导，得因为函数在上是减函数，则在上恒成立，即恒成立，当，即时，恒成立；当，即时，，则，即，因为，所以，即；又因为当时，不是三次函数，不满足题意，所以.故选A．7．【答案】ABD【详解】由导数的正负性可知，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为、，B选项正确；函数有个极大值点，A选项正确；当时，函数最大值是，而最大值不是，C选项错误；作出函数的图象如下图所示，由下图可知，当时，函数与函数的图象有四个交点，D选项正确.故选ABD.8．【答案】D【详解】令，由数的图象恒在函数图象的上方得在上恒成立，即即可，所以，令有或，由，所以，由有或，由有，所以在上单调递减，在单调递增，所以只需，故选D.9．【答案】ACD【详解】对于选项A：随机变量X服从两点分布，因为故，故选项A正确；对于选项B：，故选项B错误；对于选项C：，故选项C正确；对于选项D：，故D正确.故选ACD.10．【答案】BCD【详解】A选项，二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，即为奇数，且与最大，所以，解得，A错误；B选项，中，令得，，故展开式的各项系数和为243，B正确；C选项，展开式中的二项式系数和为，其中奇数项和偶数项的二项式系数和相等，所以展开式中奇数项的二项式系数和为16，C正确；D选项，展开式通项公式为，，且为整数，当时，满足要求，当时，满足要求，当时，满足要求，综上，展开式中有理项一共有3项，D正确.故选BCD.11．【答案】ACD【详解】对于A，，当时，，，令，解得或，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时取得极大值，当时取得极小值，有三个零点，，解得，故选项A正确；对于B，满足，根据函数的对称可知的对称点为，将其代入，得，解得，故选项B错误；对于C，，设切点为，则切线的斜率化简，得由条件可知该方程有三个实根，有三个实根，记，令，解得或，当时取得极大值，当时，取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以，解得，故选项C正确；对于D，，，当，在上单调递增；当，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；存在极值点，由得令，，于是，所以，化简得：，，，于是，.故选项D正确；故选ACD.12．【答案】3【详解】函数，可得，所以切线的斜率为，解得.13．【答案】/【详解】因为在内取值的概率为，服从正态分布，所以，且，所以，所以，所以在内取值的概率为.14．【答案】84【详解】试题分析：甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，①当有二所医院分2人另一所医院分1人时，总数有种，其中有、甲乙二人或丙丁二人在同一组有种；②有二所医院分1人另一所医院分3人.有种.故满足条件的分法共有种.15．【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，(2)最大值为，最小值为．【详解】（1），令，解得或，令，解得，所以单调递减区间为，单调递增区间为，．（2）由（1）知，的极小值为，解得．∵在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴的极小值为，的极大值为又，，所以在上的最大值为，最小值为．16．【答案】(1)；(2)511.【详解】（1）由，得，取，得，所以.（2）由（1）知，，当时，，当时，，因此，所以.17．【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【详解】（1）设走路线最多遇到1次红灯为事件，则.（2）依题意，的可能取值为0，1，2.则；；，随机变量的分布列为：012.18．【答案】(1)分布列见解析(2)，【详解】（1）设事件：组正常完成；设事件：组正常完成；设事件：组正常完成；随机变量的可取值：30，35，40，45的分布列：30354045（2）①设事件：最后一名同学来自组；事件：组同学比组同学提前完成测试.则②设所需时间为，的可取值：90,，93，96，，，，120（）则∴19．【答案】（1）答案不唯一，具体见详解；（2）存在；的最小值是1.【分析】（1）对（或）是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值点，若不恒成立，求出的解，即可求出结论；（2）令，可证恒成立，而，由（1）得，在为减函数，在上单调递减，在都存在，不满足，当时，设，且，只需求出在单调递增时的取值范围即可.【详解】（1）由题知，，①当时，，所以在上单调递减，没有极值；②当时，令，得，当时，单调递减，当时，单调递增，故在处取得极小值，无极大值；（2）不妨令，设在恒成立，在单调递增，，在恒成立，所以当时