安徽省六安新世纪学校2024−2025学年高二下学期4月月考B班数学试题含答案

/安徽省六安新世纪学校2024−2025学年高二下学期4月月考B班数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．椭圆的长轴长、短轴长和焦点坐标依次为（

）．A．，， B．，， C．，， D．，，2．若向量与向量共线，则（

）A． B． C． D．13．已知圆的方程是，则点（

）A．在圆心 B．在圆上C．在圆内 D．在圆外4．已知两点到直线的距离相等，则（

）A．2 B． C．2或 D．2或5．直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．6．如图，焦点在轴上的椭圆（）的左、右焦点分别为，，是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该椭圆的离心率为

A． B． C． D．7．设、分别是双曲线的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若，且的最小内角为30°，则以下说法中错误的是（

）．A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为C． D．直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点8．在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点．有以下三个命题：①异面直线与所成的角是定值；②三棱锥的体积是定值；③直线与平面所成的角是定值．其中真命题的个数是（

）A．3 B．2C．1 D．0二、多选题（本大题共3小题）9．已知直线：和直线：平行，则（

）A． B． C． D．10．已知椭圆的离心率，则的值为（

）A．3 B． C． D．11．如图所示，设，分别是正方体的棱上的两点，且，，其中正确的说法为（

）A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成的角的大小为45°C．平面 D．直线与平面所成的角的大小为40°三、填空题（本大题共3小题）12．若直线与圆相切，则m为．13．点到双曲线渐近线的距离是．14．已知圆与轴的交点分别为双曲线的顶点和焦点，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的取值范围为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线．(1)判断点P是否在圆上，并证明你的结论；(2)若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程．16．（1）若抛物线的焦点在直线上，求此抛物线的标准方程；（2）若双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求此双曲线的标准方程.17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆，动圆M与直线相切且与圆F外切．（1）记圆心M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）已知，曲线C上一点P满足，求的大小．18．如图，四棱锥中，平面，是的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成角的余弦值；(3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，若为直角三角形，且椭圆过点.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率互为相反数的两条直线与分别交椭圆于两点，①求证：通过点的直线的斜率为定值，并求出该定值；②求的最大值.

参考答案1．【答案】A【详解】在椭圆中，所以椭圆的长轴长为、短轴长为，焦点坐标为故选A.2．【答案】B【解析】根据向量共线直接求解.【详解】因为向量与向量共线，所以，解得，所以，故选B.3．【答案】C【详解】因为，所以点P在圆内．故选C．4．【答案】D【详解】（1）若在的同侧，则，所以，，（2）若在的异侧，则的中点在直线上，所以解得,故选D.5．【答案】B【详解】设为直线的倾斜角，当时，直线的斜率不存在，直线的倾斜角，当时，直线的斜率＝，所以直线的倾斜角的取值范围是.综上所述，.故选B.6．【答案】D【详解】由椭圆定义可得，即，因为，所以，即，又，故，也即，由于，故椭圆的离心率为，应选答案D．

7．【答案】C【详解】因为，，所以，．又因为且，所以，所以，所以，所以，故A选项正确．，所以，所以，所以渐近线方程为，故B选项正确．因为，所以，所以．又因为，，所以，所以，所以C选项不成立．因为所以，所以，所以，所以直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点，所以D选项正确．故选C.8．【答案】B【详解】以A点为坐标原点，AB，AD，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，可得B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，(0，0，1)，(1，0，1)，(1，1，1)，(0，1，1)，设F(t，1，1-t)，（0≤t≤1），可得=(1，1，1)，=(t-1，1，-t)，可得=0，故异面直线与所的角是定值，故①正确；三棱锥的底面面积为定值，且∥，点F是线段上的一个动点，可得F点到底面的距离为定值，故三棱锥的体积是定值，故②正确；可得，，，可得平面的一个法向量为=（1，1，1），可得不为定值，故③错误;故选B．9．【答案】AD【详解】直线：和直线：平行，直线的斜率为，直线的斜率为，则，即，解得或．经检验成立故选AD10．【答案】AB【解析】分焦点在、轴上讨论，分别求出的值．【详解】解：由题意知，当时，，，，∴，解得；当时，，，，∴，解得；故选AB．11．【答案】AB【详解】对于A选项，为定值，故A正确；对于B选项，异面直线与所成的角与直线与的角为同一个角，即异面直线与所成的角的平面角为，故B正确；如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则.对于D选项，，平面即平面，设平面的法向量是，则即取，得，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角的平面角为，则，所以，故D错误；对于C选项，由D选项可知直线与平面所成的角为30°，故C错误.故选AB.12．【答案】2【详解】∵圆的圆心为原点，半径，∴直线与圆相切，则圆心到直线的距离，解之得（舍去0）.13．【答案】【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为，即，点到渐近线的距离.14．【答案】【详解】因为与轴交点的坐标分别为，，由题意可知：，，因为为右支上任意一点，根据双曲线的定义有，即，令，则，因为在上为增函数，所以，所以，所以，即.15．【答案】(1)点P不在圆上，证明见解析(2)x＝0或3x＋4y－8＝0．【详解】（1）点P不在圆上．证明如下：∵，∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上；（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离，①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0，综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0．16．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）解出直线与坐标轴的交点坐标，根据焦点坐标设出抛物线的方程，即可求出；（2）写出椭圆的焦点坐标，根据焦点坐标设出双曲线的方程，再结合渐近线方程即可求出.【详解】解：（1）直线与坐标轴的交点为，①若焦点为，则抛物线开口向右，设方程为，由，得：，故方程为：；②若焦点为，则抛物线开口向下，设方程为，由，得：，故方程为：；抛物线的标准方程为或；（2），，椭圆的焦点坐标为：，即双曲线的焦点为：，设双曲线的方程为，则，渐近线方程为，可得：，解得，，故双曲线的方程为.17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）方法一，利用直线与圆的位置关系，以及圆与圆的位置关系，转化为抛物线的定义求曲线方程；方法二，利用等量关系，直接建立关于的方程；（2）方法一，利用条件求点的坐标，再求；方法二，利用抛物线的定义，转化为点到准线的距离，利用几何关系求的大小.【详解】解：（1）设，圆M的半径为r．由题意知，，M到直线l的距离为r．方法一：点M到点的距离等于M到定直线的距离，根据抛物线的定义知，曲线C是以为焦点，为准线的抛物线．故曲线C的方程为．方法二：因为，，，所以，化简得，故曲线C的方程为．（2）方法一：设，由，得，又，解得，故，所以，从而．方法二：过点P向直线作垂线，垂足为Q．由抛物线定义知，，所以，在中，因为，所以，从而，故．1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.18．【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，．【详解】（1）取的中点，连接，因为是的中点，所以．又因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以．又因为平面平面，所以平面．（2）由题意：平面，且，则两两垂直，所以建立如图所示空间直角坐标系，又因为，是的中点，所以点的坐标为，，，，所以平面的法向量为，设平面的法向量为，，由，可得，令，则，所以．所以，平面与平面所成二面角的余弦值为．（3）设，且，，则，设平面的法向量为，则，可得，令，所以．因为点到平面的