福建省宁德市部分学校2024～2025学年高二下学期4月期中质量监测数学试题含答案

/福建省宁德市部分学校2024−2025学年高二下学期4月期中质量监测数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．下列关于空间向量的说法正确的是（）A．任意两个空间向量不一定共面 B．模相等的两个向量是相等向量C．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底2．设向量不共面，已知，若三点共线，则（）A．1 B．2 C．3 D．43．若函数满足，则（）A．1 B． C． D．4．如图，在直三棱柱中，点在棱上，且．设，则（）A． B．C． D．5．函数的部分图象大致是（）A． B．C． D．6．函数图象上一点到直线的最短距离为（

）A． B． C． D．7．如图，在四棱台中，底面ABCD是菱形，平面，直线AC与直线所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．记是的导函数，是的导函数，若曲线在点处的曲率，则曲线在点处的曲率为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知定义在上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．有1个极大值点 D．有1个极小值点10．已知函数，下列说法正确的是（）A．有3个零点B．的图象关于点对称C．既有极大值又有极小值D．经过点且与的图象相切的直线有2条11．在四棱锥中，，四边形是平行四边形，分别为棱的中点，，点在平面的射影恰好是棱的中点，则（

）A．平面B．线段的长为C．三棱锥的外接球的表面积为D．平面与平面夹角的余弦值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知空间中的三点，，，则点到直线AB的距离为.13．若函数在上单调递增，则的取值范围是.14．若将一块体积为的橡皮泥捏成一个圆柱，则圆柱表面积的最小值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数.(1)求在处的切线方程；(2)求过点且与曲线相切的直线方程.16．如图，在正四棱柱中，为棱的中点．(1)求三棱锥的体积．(2)证明：平面．(3)求直线与平面所成角的正弦值．17．已知函数．(1)若，求的极值；(2)若，讨论的单调性．18．在矩形中，为上两个不同的三等分点，如图1．将和分别沿向上翻折，使得点重合，记重合后的点为，如图2．已知，四棱锥的体积为．(1)求；(2)求平面与平面所成角的正弦值．19．已知函数.(1)若在其定义域内单调递增，求的取值范围；(2)若，证明：，；(3)若在上有两个极值点，求的取值范围.

参考答案1．【答案】C【详解】任意两个空间向量一定共面，A错误.方向相同且模相等的两个向量是相等向量，B错误．平行于同一个平面的向量叫做共面向量，C正确.空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，D错误.故选C.2．【答案】B【详解】，因为A，C，D三点共线，所以，即，解得．故选B.3．【答案】D【详解】由，得．故选D.4．【答案】A【详解】连接,．故选A.5．【答案】A【详解】根据题意，函数的定义域为，当时，，所以．排除BC.当时，，所以在上单调递增，排除D.故选A.6．【答案】C【详解】设与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标为．因为，所以，解得，则切点坐标为．最短距离为点到直线的距离，即．故选C.7．【答案】A【详解】取BC的中点，连接AF，则由题意可得,，且，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，所以，所以，所以直线AC与直线所成角的余弦值为．故选A.8．【答案】C【详解】由题意得，则，则曲线在点处的曲率为，故C正确.故选C.9．【答案】AD【详解】由图可得，当时，所以函数在上单调递减，当时，当且仅当，所以函数在上单调递增.综上在上单调递减，在上单调递增，故A正确，B错误；有1个极小值点，无极大值点，故C错误，D正确.故选AD.10．【答案】ACD【详解】对A：由或或.所以函数有3个零点.故A正确；对B：因为，所以的图象关于点对称，故B错误；对C：因为函数有3个零点，结合三次函数的性质，可得函数草图如下：所以函数既有极大值又有极小值.故C正确；对D：设函数图象上任意一点，因为，所以函数在该点处的切线方程为：，因为切线过点，所以，整理得：，因式分解得：或.故过点与函数的图象相切的直线有两条.故D正确.故选ACD.11．【答案】ABD【详解】对于A，取线段的中点，连接，，因为棱的中点，则为的中位线，则，且，因为棱的中点，且四边形是平行四边形，则且，则且，则四边形是平行四边形，则，又平面，平面，则平面，故A正确；对于B，取分别取线段、的中点、，连接、、，由于为的中位线，则，且，由于为的中位线，则，且，又因为四边形是平行四边形，则，且，则，且，则四边形是平行四边形，则，因，则，则，即，故B正确；对于C，因点在平面的射影恰好是棱的中点，则以为原点，分别以平行于、的直线为轴、轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图，在中，，则，则，则，设三棱锥的外接球的球心，半径为，则，解得，则外接球的表面积为，故C错误；对于D，由C选项可知，，设平面的法向量为，则，令，则得，容易知平面的法向量为，则，则平面与平面夹角的余弦值为，故D正确.故选ABD.12．【答案】【详解】因为空间中的三点，，，所以，，所以，，点到直线AB的距离为．13．【答案】【详解】由，得，又函数在上单调递增，所以在上恒成立，即，所以．14．【答案】（或）【详解】设圆柱底面圆的半径为，高为，则，即．由圆柱的表面积公式得圆柱的表面积为，令函数，则，当时，，单调递增，当时，单调递减，则在上单调递减，在上单调递增，得到．故圆柱表面积的最小值为.15．【答案】(1)(2)或【详解】（1）..在处的切线方程为，即.（2）设所求直线与曲线相切于点，则曲线在点处的切线斜率为，所以切线方程为.因为切线过点，所以，解得或，则或.故所求直线方程为或.16．【答案】(1)(2)证明见解析(3)．【详解】（1）易知三棱锥即三棱锥，其体积为．（2）以为坐标原点，所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则．．因为，所以．因为平面，所以平面（3）由（2）得是平面的一个法向量设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．17．【答案】(1)极大值，无极小值；(2)答案见解析.【详解】（1）当时，，定义域为，则．当时，单调递增；当时，单调递减．故当时，取得极大值，无极小值．（2）由，得．令，得或．若，则，当时，单调递增；当时，单调递减．若，则，当和时，单调递减；当时，单调递增．若，则在上恒成立，单调递减．综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和；当时，的单调递减区间为，无单调递增区间．18．【答案】(1)(2)【详解】（1）取的中点分别为，连接，过点作，垂足为，设，则，为等边三角形，，在中，，在中，，，又梯形的面积，所以四棱锥的体积为，解得（舍去），即；（2）由（1）可得．以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以．．设平面的法向量为，则取，得．设平面的法向量为，则取，得．所以，，所以平面与平面所成角的正弦值为．19．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.设，则，则在上单调递增，在上单调递减，所以，则，即的取值范围为.（2）证明：若，则.设，则，，则在上单调递减，在上单调递增