福建省莆田市莆田第五中学2024～2025学年高一下学期期中考试数学试卷

/莆田第五中学2024-2025学年下学期高一数学期中考试卷（考试时间120分钟考试满分150分）一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）1．若复数z在复平面内对应的点的坐标为，则的共轭复数（

）A．B．C．D．2．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（

）

A．B．4C．D．83．已知的边BC上有一点D，且满足，则（

）A．B．C．D．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（

）A．若则 B．若，则C．若∥，则n∥D．m∥β，，则5．在中，角的对边分别是，若，则（

）A．B．3C．D．26．已知向量，满足，，则在上的投影向量的坐标为（

）A．B．C．D．7．释迦文佛塔，又称广化寺塔，位于福建省莆田市城厢区广化寺东侧，建造年代尚无法确定，但早于南宋乾道元年(1165年)，是一座仿木楼闹式石塔..如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在广化寺的正西方向找到一座建筑物，高约为15m，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则广化寺塔的高度约为（

）A．25m B．31m C．30m D．44m8．如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（

）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知，则下列叙述正确的是（

）A．若，则B．若，则C．的最小值为5D．若向量与向量的夹角为钝角，则且t≠-810．已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（

）A．若，则a＞bB．若a=8，b=2，A=30°则三角形有两解C．若，则为等腰三角形D．若，则为钝角三角形11．如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（

）A．动点F的轨迹是一条线段B．直线AB1与BC1的夹角为60°C．三棱锥F-BC1M的体积是随点F的运动而变化的D．平面AMC1截正方体所得截面的面积为2三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12．已知复数z满足，则=13．已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积．14．如图，已知是边长为2的等边三角形，D是AB的中点，E是BC的一个靠近点B的三等分点，连接DE并延长至点F，连接AF交BC于点G．若，则的值是；若，则的值是．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．已知复数(1)若复数为纯虚数，求实数的值；(2)已知是关于的方程的一个根，其中，，求的值．16.如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：

(1)；

(2)平面平面.17．设∆ABC内角所对的边分别为，已知，且．(1)求∆ABC(2)若为角的平分线，交于，求的长度．18．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，为与的交点，为上一点，且．(1)求证：平面；(2)若为正三角形，，求异面直线与所成角的余弦值；(3)若点到底面的距离为3，求三棱锥的体积．19．古希腊数学家托勒密给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知凸四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线.(1)若为凸四边形的外接圆直径，，，，求与的长度；(2)若，且为正三角形，求面积的最大值；(3)已知，且，，求的最大值参考答案一、单选题题号12345678答案DBCADBCA二、多选题题号91011答案BCDADABD三、填空题12.513.3214.−13四、解答题15．(1)(2)【详解】（1）若复数为纯虚数，则，解得.（2）已知是关于的方程的一个根，则也是方程的根，所以，所以.(1)由题意，因为A1B∥平面ADC1，A1B⊂平面A1BC又因为平面ADC1∩平面A1BC=OD，所以由线面平行的性质得.A1B∥OD.由(1)可知A1B∥OD，又因为O点为A1C的中点，所以D为BC的中点，即BD=12因为D1为B1C1的中点,即D1C1=12又因为BC//B1C1,BC=B1C1，所以BD=D1C1,BD//D1C1所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以BD1//DC1又因为DC1⊂平面ADC1,BD1⊄平面ADC所以BD1//平面ADC1又A1B//平面ADC1,AB∩BD1=B,A1B⊂平面A1BD1,BD1⊂平面A1BD1,所以平面A1BD//平面ADC1.17．(1)(2)【详解】（1）由余弦定理可得：，即，因为，，所以，所以；（2）因为为角的平分线，所以因为，所以，而，所以.18．(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）由及，可知，又，所以，所以在中有，又平面，而平面，所以平面；（2）取的中点，连接，根据，可知，则异面直线与所成的角即为，又可得，则，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.（3）分别过点作于，于，可得，所以四边形的面积为，的面积为，由，可知到平面的距离为1，所以.19．(1)，.(2).(3).【详解】（1）如图①，因为为外接圆的直径，所以，因为，所以.因为，所以（同弧所对的圆周角相等）.在中，，，所以，，.在中，，，由正弦定理，解得.（2）如图②