四川省巴中市高级中学2024−2025学年高二下学期4月期中数学试题含答案

/四川省巴中市高级中学2024−2025学年高二下学期4月期中数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．以为焦点的抛物线标准方程是（

）A． B． C． D．2．已知数列的前项和，则（

）A．2 B．3 C．4 D．53．已知函数，则（

）A．1 B．2 C．4 D．84．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（

）A． B．4 C． D．15．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（）A． B． C． D．6．已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．12 B．14 C．42 D．847．已知函数，其导函数的图象如图所示，则（

）

A．有2个极值点 B．在处取得极小值C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减8．已知椭圆的左，右焦点是，，是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列求导运算正确的是（

）A． B． C． D．10．公比为的等比数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．11．如图，正方体的棱长为是棱上的动点（含端点），则（

）A．三棱锥的体积为定值B．C．二面角的平面角的大小为D．存在某个点，使直线与平面所成角为三、填空题（本大题共3小题）12．若向量，，则．13．在等差数列中，，，则.14．已知抛物线C：，点N在C上，点，若点M，N关于直线对称，则.四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)求函数在区间上的最大值与最小值．16．已知等比数列各项均为正数，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.17．已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，．(1)若F是PE中点，证明：平面．(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．18．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性.19．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P为C上的动点，的周长为6.(1)求C的标准方程.(2)延长线段，分别交C于Q，M两点，连接，并延长线段交C于另一点N，若直线和的斜率均存在，且分别为，，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.

参考答案1．【答案】D【详解】由题意，抛物线方程形如，因，解得，故以为焦点的抛物线标准方程是.故选D.2．【答案】B【详解】解：因为数列的前项和，所以.故选B.3．【答案】C【详解】因为，所以，.故选C．4．【答案】C【详解】因为，则可得，且，，则可得，解得故选C.5．【答案】A【详解】双曲线的渐近线方程为，所以，解得.故选A.6．【答案】C【详解】因为数列为等差数列，所以，所以，所以.故选C.7．【答案】C【详解】由导函数的图象可知，当时，，仅时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数只有一个极值大点，无极小值点，所以有极大值，没有极小值，故ABD错误，C正确.故选C.8．【答案】C【详解】根据椭圆定义及求出，由即可求解.【详解】由椭圆的定义知：，因为，即，又因为，所以，所以有：，，故椭圆的离心率的取值范围是．故选C9．【答案】BC【详解】，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故选BC.10．【答案】ABD【详解】由已知等比数列的公比为，且，，则，解得，所以，，故选ABD.11．【答案】ABC【详解】对于选项A：三棱锥转化为三棱锥的底面积为定值，因为平面平面，所以到平面高不变，体积为定值，故选项A正确；对于选项B：如图建系，设，则因为，，所以得，故选项B正确；对于选项D：取平面的法向量为，因为，则设直线与平面ABCD所成角,则，当时，，这时直线与平面ABCD所成角最大值为，故选项D不正确；对于选项C：设平面法向量为，，所以，所以所以令，可得，设平面法向量为，设二面角为，则所以二面角的大小为，故选项C正确.故选ABC.12．【答案】【详解】因为向量，所以，又向量，所以.13．【答案】11【详解】根据等差数列的性质，可得，所以.14．【答案】3【详解】设，因为点M，N关于直线对称，所以中点在直线上，且与直线垂直，则中点为，，且与直线垂直，，联立方程可得，点N在抛物线上，，解得或（舍去），.15．【答案】(1)单调递增区间是：和，单调减区间是：；(2)最小值为，最大值为.【详解】（1）由，可得：，，由，可得：或；由，可得：；所以函数的单调递增区间是：和，单调减区间是：；（2）由（1）知：函数在区间上的单调性为：单调递减，单调递增，所以最小值为，又，所以最大值为.所以函数在区间上的最小值为，最大值为.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）设公比为，由，得，所以（舍去），所以；（2）由（1）得，所以.17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）取的中点为，接，则，而，故，故四边形为平行四边形，故，而平面，平面，所以平面.（2）因为，故，故，故四边形为平行四边形，故，所以平面，而平面，故，而，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，则设平面的法向量为，则由可得，取，设平面的法向量为，则由可得，取，故，故平面与平面夹角的余弦值为.18．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）当时，，，∴，，∴切线方程为，整理得，.（2）函数定义域为.∵，∴，由得，或.当，即时，，在上为增函数.当，即时，由得，或，由得，，∴在，上为增函数，在上为减函数.当，即时，由得，或，由得，，∴在，上为增函数，在上为减函数.综上得，当时，在上为增函数；当时，在，上为增函数，在上为减函数；当时，在，上为增函数，在上为减函数.19．【答案】(1)；(2)是，.