上海市闵行（文绮）中学2023−2024学年高三下学期5月月考数学试卷含答案

/上海市闵行（文绮）中学2023−2024学年高三下学期5月月考数学试卷一、填空题（本大题共12小题）1．在连续抛四枚硬币的随机试验中，样本空间包含个样本点.2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则.3．圆的半径为.4．若，，则.5．已知无穷等比数列的前项和，则的各项和为．6．函数的值域为7．直线的倾斜角为.8．已知随机事件A，B，，，，则．9．在平面直角坐标系中，单位圆上三点A，B，C满足：A点坐标为并且，在上的投影向量为，则．10．如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是.11．设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望=.12．若函数有且仅有两个零点，则a的取值范围是.二、单选题（本大题共4小题）13．下列各项中，既是奇函数，又是增函数的为（

）A． B．C． D．14．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则15．若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（

）A． B． C． D．16．已知项数为的等差数列满足，．若，则k的最大值是（

）A．14 B．15 C．16 D．17三、解答题（本大题共5小题）17．已知正四棱柱的底面边长为2，.（1）求该四棱柱的侧面积与体积；（2）若为线段的中点，求与平面所成角的大小.18．已知函数.(1)写出函数的最小正周期以及单调递增区间；(2)在中，角所对的边分别为，若，且，求的值.19．某地计划在水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：年入流量发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台发电机年净利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年维护费与年入流量有如下关系：年入流量一台未运行发电机年维护费500800欲使水电站年净利润最大，应安装发电机多少台？20．已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．(1)若直线垂直于轴，求；(2)当时，在轴上方时，求、的坐标；(3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)函数在区间上有零点，求k的值；(3)记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围.

参考答案1．【答案】【详解】连续抛四枚硬币的随机试验中，用表示正面向上，表示反面向上，则样本空间包含的样本点有，，共个.故答案为：.2．【答案】/i-2【详解】由题意知，，则，故答案为：3．【答案】【详解】圆的标准方程为，故该圆的半径为.故答案为：.4．【答案】【详解】，，，.故答案为：.5．【答案】【详解】，.故答案为：.6．【答案】【详解】因为所以根据对数函数的性质可得，可知函数的值域为．故答案为：7．【答案】【详解】由题意可将原直线方程变形，则直线的斜率为，由倾斜角的取值范围，所以倾斜角为.故答案为：.8．【答案】【详解】依题意得，所以，则，所以，故答案为：.9．【答案】【详解】根据题意可知如下图所示：由题可得，且，设与的夹角为，所以，又因为，所以，由二倍角公式可得；所以.故答案为：10．【答案】【详解】如图所示为圆柱的轴截面图，过作容器壁的垂线，垂足为，因为平行于地面，可得，椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是12和18，所以，在直角中，，即圆柱的底面半径为，所以容器内液体的体积等于一个底面半径为，高为的圆柱体积的一半，即为容器内液体的体积为.故答案为：.11．【答案】【详解】由题意正方体中两条平行的棱间的距离为1或．正方体共12条棱中任取两条，共有种取法，其中相交的有，平行且距离为的有种，其余的是异面或距离为1的平行线，共有36种，∴，，，分布列为：01．故答案为：．12．【答案】【详解】由可得，则函数与函数的图象有两个交点；设，则，令，解得；令，解得；所以在上单调递增，在上单调递减；令，解得，可求得的图象在处的切线方程为；令，解得，可求得的图象在处的切线方程为；函数与函数的图象如图所示：切线与在x轴上的截距分别上，，当时，与函数的图象有一个交点，所以实数a的取值范围.故答案为：13．【答案】D【详解】由函数的奇偶性可知，函数为非奇非偶函数，函数为偶函数，故排除选项A，B选项；由幂函数的单调性可知，函数在和上单调递减，故排除选项C，因为函数为奇函数，且单调递增，故选：D.14．【答案】B【详解】A中，也可能相交；B中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C中，也可能相交；D中，也可能在平面内.【考点定位】点线面的位置关系15．【答案】B【详解】由题意，命题的否定“，，使得”为真命题，即，设，则，所以为增函数，所以由可知，故选：B16．【答案】B【详解】由，，得到，即，当时，恒有，即，所以，由，得到，所以，，整理得到：，所以.故选：B17．【答案】（1），（2）【详解】试题分析：⑴根据题意可得：在中，高∴⑵过作，垂足为，连结，则平面，∵平面，∴∴在中，就是与平面所成的角∵，∴，又是的中点，∴是的中位线，∴在中∴∴考点：线面角，棱柱的体积点评：解决的关键是对于几何体体积公式以及空间中线面角的求解的表示，属于基础题．18．【答案】(1)，单调递增区间为，(2)【详解】（1），所以；由，得.所以函数的单调递增区间为，；（2）由，得.所以或，.因为是三角形内角，所以.而，所以.又，所以.所以，则.19．【答案】（1）；（2）应安装发电机2台.【详解】（1）依题意，，，由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为：.（2）记水电站年净利润为（单位：万元）①当安装1台发电机时.由于水库年入流量总大于40，所以1台发电机运行的概率为1.此时的年净利润，；②当安装2台发电机时.此时，若，则只有1台发电机运行，此时，因此若，则2台发电机都能运行，此时，因此由此得的概率分布列如下：4500100000.20.8所以，.③当安装3台发电机时.此时，若，则只有1台发电机运行，此时，因此若，则有2台发电机运行，此时，因此若，则3台发电机同时运行，此时，因此由此得的概率分布列如下：40009200150000.20.70.1所以，综上，欲使水电站年净利润最大，应安装发电机2台.20．【答案】(1)(2)，(3)存在，或【详解】（1）解：依题意，，当轴时，将代入，解得，则，，所以；（2）解：设，，，，所以，，又在椭圆上，满足，即，，解得，即．所以直线，联立，解得或，所以；（3）设，，，，直线，则，．联立，得．则，．由直线的方程：，得纵坐标；由直线的方程：，得的纵坐标．若，即，，，，代入根与系数的关系，得，解得．存在直线或满足题意．21．【答案】(1)(2)或(3)【详解】（1）解：因为，