广西平果市铝城中学2024～2025学年高二下学期期中数学测试卷含答案

/广西平果市铝城中学2024−2025学年高二下学期期中数学测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．等比数列的前n项和，则（

）.A． B． C． D．2．若是一个单位正交基底，且向量，，则的值为（

）A． B．4 C．7 D．233．已知展开式中的常数项为40，则a等于（）A．1 B．2 C． D．4．小李一家打算去张家界或长沙旅游，去张家界与长沙的概率分别为0.6，0.4，在张家界去徒步爬山的概率为0.5，在长沙去徒步爬山的概率为0.6，则小李一家旅游时去徒步爬山的概率为（

）A．0.54 B．0.56 C．0.58 D．0.65．在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（）A． B． C． D．6．已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．7．函数有三个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．设函数的导函数为，若函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，称在区间上是“缓减函数”，区间称为的“缓减区间”，若，下列区间是的“缓减区间”的是（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．在平面直角坐标系中，已知直线（不同时为0），到直线的距离为，为直线的法向量；推广，在空间直角坐标系中，已知平面（不同时为0），到平面的距离为，为平面的法向量.若平面，点，则（

）A．点 B．若为原点，则C．点到平面的距离为 D．若，则10．某次射击比赛中，记事件：“甲射击一次，命中目标”，，常数；事件：“乙射击一次，命中目标”，，假定甲、乙互不影响，各人每次射击互不影响，比赛时，两人同时射击次，事件，，发生的次数分别为，，，则（

）A． B．C． D．11．甲、乙两人进行投篮游戏，用抽签的方式决定谁先投篮，抽到谁是等可能的.每次投篮若命中，则继续投篮；若未命中，则换对方投篮.规定两人累计共投3次球，投中次数多的一方获胜，若两人投中次数相同，再抽签决定谁投篮一次，投中为胜，未投中则对方获胜.若甲、乙每次投篮命中的概率分别为，且每次投篮相互独立，则下列说法正确的是（

）A．第2个球是甲投的概率为B．甲只投了1次球获胜的概率为C．甲投了3次球获胜的概率为D．在第一次是乙投篮的条件下，甲获胜的概率为三、填空题（本大题共3小题）12．设数列的前n项和为，若.13．已知空间中的三点，，，则点到直线AB的距离为.14．若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知在中，角的对边分别为．(1)求的值；(2)若是的中点，，求的值．16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，.(1)证明：平面ABCD.(2)若，求二面角的余弦值.17．某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了20位高三学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分4个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示：等级不及格及格良优分数1234人数3953(1)若从样本中随机选取2位学生，求所选的2位学生分数不同的概率；(2)用样本估计总体，以频率代替概率.若从高三年级学生中随机抽取n位学生，记所选学生分数不小于3的人数为X.（ⅰ）若，求X的分布列与数学期望；（ⅱ）若，当k为何值时，最大？18．已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，若为直角三角形，且椭圆过点.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率互为相反数的两条直线与分别交椭圆于两点，①求证：通过点的直线的斜率为定值，并求出该定值；②求的最大值.19．已知函数.(1)当时，求的解集；(2)若有极值，求实数的取值范围；(3)设，若，求的最大值.

参考答案1．【答案】D【详解】在等比数列中，由前n项和，则，当时，由，所以，即.故选D.2．【答案】A【详解】由是一个单位正交基底，得，所以.故选A.3．【答案】B【详解】对于可知：，可知展开式中的常数项为，即，解得或（舍去），且，所以.故选B.4．【答案】A【详解】记小李一家去张家界为事件，去长沙为事件，去徒步爬山为事件，则、、、，所以，即小李一家旅游时去徒步爬山的概率为.故选A.5．【答案】A【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，由，得，由点E在棱BC上，且，得，的重心，则，，，，所以点G到直线AE的距离.故选A.6．【答案】B【详解】因为，所以，因为，所以，，又，，所以，所以，所以，所以.故选.7．【答案】A【详解】因为，易知，所以0不是零点，令，即，得到，令，，则，易知恒成立，由，得到，当时，，时，，时，，所以在单调递增，单调递减，单调递增，又易知，当，且时，，时，，当时，时，，且，当时，时，，所以的图象如图所示，由题知与有三个交点，所以，故选A.8．【答案】A【详解】由题意得，又，由，得,解得，，即的单调递减区间为，.设，则，由，得，即，又，则，解得，，即的单调递增区间为，．由“缓减区间”的定义可得的“缓减区间”为，，而是的子集，是“缓减区间”；不是的子集，不是“缓减区间”；不是的子集，不是“缓减区间”；不是的子集，不是“缓减区间”.故选A.9．【答案】AD【详解】对于A，因为，所以点，故A正确；对于B，由平面，可得平面的法向量为，又，，所以，又，所以与不共线，故不垂直于平面，故B错误；对于C，由点到平面的距离公式可得点到平面的距离，故C错误；对于D，由，，所以，所以，所以，又，所以，所以，故D正确.故选AD.10．【答案】AC【详解】对于A，由题意得事件：“甲射击一次，命中目标”，，事件：“乙射击一次，命中目标”，，则，，由二项分布的期望公式得，，则，，即，故A正确，对于B，由二项分布的方差公式得，，则，，则不一定相等，故B错误，对于C，由题意得假定甲、乙互不影响，则，相互独立，由独立事件概率公式得，则，由二项分布的期望公式得，由二项分布的方差公式得，由已知得，得到，故C正确，对于D，由已知得，，则，故D错误.故选AC.11．【答案】ABD【详解】记“抽签抽到甲”，“甲投篮命中”，“抽签抽到乙”，“乙投篮命中”.对于A，第2个球是甲投的概率为，所以A正确；对于B，甲只投了1次球获胜的概率为，所以B正确；对于C，甲投了3次球获胜的概率为，故C错误；对于D，在第一次是乙投篮的条件下，甲获胜的概率为，故D正确.故选ABD.12．【答案】2【详解】数列的前项和因为所以解得13．【答案】【详解】因为空间中的三点，，，所以，，所以，，点到直线AB的距离为．14．【答案】【详解】直线方程可化为，则该直线过定点，因为直线与椭圆恒有公共点，则点在椭圆上或椭圆内，所以，解得且.因此，实数的取值范围是.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）在，，所以，由，即，所以，在中，，所以，因此，即；（2）由余弦定理得，即有①，由是中点得，两边平方有，即有②，联立①②解得，所以．16．【答案】(1)证明见解析(2).【详解】（1）证明：因为底面为正方形，所以.又因为，，平面，所以平面PBD；因为平面，所以.因为，与相交，平面.所以平面.（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，，则，，.设平面的法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为.，易知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.17．【答案】(1)(2)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）时，最大【详解】（1）设事件“选取的2位学生分数不同”，则，故所选的2位学生分数不同的概率为；（2）设“学生分数不小于3”，则，（ⅰ）若，的可能取值为，由题意可得,又，，，，所以的分布列为：由于，则；（ⅱ）若，则，所以，由于最大，所以，即，因为，，所以时，最大.18．【答案】(1)(2)①证明见解析，定值为1；②4.【详解】（1）由题意，则是等腰直角三角形，即得，从而.又椭圆过点则有解得.椭圆的方程：.（2）①由（1）知椭圆的方程为，设直线的方程：，则的方程是.令，由可得则有，同理得，.即直线的斜率为定值，且定值为1.②由①知，则又，当且仅当即当时等号成立，所以，即的最大值为4.19．【答案】(1)(2)(3)2【详解】（1）当时，