广西钦州市第四中学2024−2025学年高二下学期期中数学试卷含答案

/广西钦州市第四中学2024−2025学年高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共7小题）1．某学校准备抽奖活动，在一个盒子中有20个大小和形状均相等的小球，其中有8个粉色球，8个紫色球和4个蓝色球，从盒子中任选一球，若它不是粉色球，则它为蓝色球的概率为（）A． B． C． D．3．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（

）A． B． C． D．4．已知随机变量服从二项分布，则（

）A．1 B．2 C．3 D．45．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称6．若随机变量的分布列为，则（）A．12 B．10 C．9 D．87．设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.30.3若随机变量，则等于（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7二、多选题（本大题共3小题）8．某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布，则下列正确的是（）A． B．C． D．9．已知离散型随机变量的分布列为.定义随机变量为自然对数的底数，的分布列如下：随机变量的数学期望称为随机变量的生成函数，记为.是函数在处的导数，则（

）A．B．若服从两点分布，，则C．若，则D．若实数为常数，则A．中位数就是第50百分位数B．已知随机变量，若，则C．已知随机变量，满足，若，，则，D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为120三、填空题（本大题共3小题）11．设随机变量，若，则．12．箱子中装有4个红球，2个黄球（除颜色外完全相同），掷一枚质地均匀的骰子1次，如果点数为，则从该箱子中一次性取出个球.规定：依据个球中红球的个数，判定甲的得分，每一个红球记1分；依据个球中黄球的个数，判定乙的得分，每一个黄球记2分.比如：若一次性取出了2个红球，2个黄球，则判定甲得分，乙得分.则在1次掷骰子取球的游戏中，.13．一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字．事件，事件，若事件满足，则满足条件的事件的个数为．四、解答题（本大题共5小题）14．小王参加某机构的招聘面试，要从6道简答题和4道论述题中任意抽取3道进行回答．(1)求小王抽取的3道题中两种题型都有的概率；(2)每道简答题答对得10分，每道论述题答对得20分，假设小王每道题都能答对，记小王答完3道题的总得分为，求的分布列和数学期望．15．设有6个白球和4个红球混合后装入袋中，从这10个球中任取5个.(1)在有放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；(2)在不放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；(3)在不放回的情况下，求第3个球为白球的概率.16．某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为．(1)求该运动员第二次投篮命中的概率；(2)记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望；(3)设第次投篮命中的概率为，求证：．17．为了估计一个小池塘中鱼的条数m，池塘主人先从中打捞出20条鱼，做好记号后放回池塘，再从中打捞出10条鱼，发现有记号的鱼有4条.(1)试估计m的值；(2)对于（1）中的估计值m，若在这m条鱼中，A种鱼有8条，从m条鱼中打捞出3条，用X表示其中A种鱼的条数，求X的分布列和数学期望.18．某工厂采购了甲、乙两台新型机器，现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计如下:零件直径(单位:厘米)[1.8，2.0]零件个数1025302510(1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间内的概率;(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望;(3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的2倍，且甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件，若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率.参考数据:若随机变量，则，，.

参考答案1．【答案】D【详解】记取出蓝色球为事件,事件取出的不是粉色球为,,,,则．故选D.2．【答案】C【详解】若该家庭中有两个小孩，样本空间为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，(男，女)，(女，男)(男，男)，(男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)，若该家庭中有三个小孩，样本空间为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，则，于是，故选C．3．【答案】D【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，根据题意可得，，所以.故选D.4．【答案】B【详解】，故选B．5．【答案】C【详解】由连续型随机变量服从正态分布，可得，可得，所以正态密度曲线关于对称，即，由，可得在时增加较快，在时增加越来越慢，所以无对称轴，故AB错误；，所以关于点成中心对称，故C正确，D错误.故选C.6．【答案】B【详解】根据分布列中概率之和为1，列方程得：，即，解得.故选B.7．【答案】A【详解】.故选A.8．【答案】AB【详解】由题意可得．由对称性可得,，AB正确，CD错误．故选AB.9．【答案】AD【详解】对于A，随机变量的生成函数，则，当时，，所以A正确；对于B，服从两点分布，，则生成函数为，所以B错误；对于C，，则生成函数为，所以C错误；对于D，对于线性变换的生成函数，所以D正确.故选AD.2、随机变量，则；3、.10．【答案】AB【详解】对于A选项，中位数就是第50百分位数，A选项正确.对于B选项，已知随机变量，根据二项分布的方差公式（其中是试验次数，是每次试验成功的概率），可得.又因为（、为常数），那么.已知，即，解得，B选项正确.对于C选项，已知随机变量，满足，根据期望的性质（、为常数），可得.因为，所以.再根据方差的性质（、为常数），可得.因为，所以，C选项错误.对于D选项，设男生样本为，平均数为，方差为；女生样本为，平均数为，方差为.总体样本平均数.根据分层抽样样本方差公式（其中、分别是男生、女生的样本数量），可得：，所以D选项错误.故选AB.11．【答案】0.3/【详解】因为随机变量，所以正态分布曲线关于对称，又因为，所以，所以又因为，所以0.3.12．【答案】【详解】设掷骰子得到的点数的概率为，则，当时，的概率为，若，则需取出的1个球是红球的概率为，所以，当时，的概率为，若，则需取出的2个球都是红球的概率为，所以，当时，的概率为，若，则需取出的3个球都是红球的概率为，所以，当时，的概率为，若，则有两种可能的情况：第一种情况为取出的4个球都是红球有种，第二种情况为取出的4个球种有3个红球，1个黄球，有种，所以概率为，所以当时，的概率为，若，则需取出全部4个红球，1个黄球，所以，所以，当时，不满足题意，所以综上.13．【答案】【详解】事件，事件，故，又，故，即，因为，，所以，故，即，又，，故，所以，即，所以，故，其中，，则或2，若，则，又，故，，故，若，，可令或或或；若，，可令或或或，事件，事件若，则，此时，此时，故，不合要求，舍去，综上，满足条件的事件的个数为8.14．【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为42【详解】（1）所求概率为.（2）的所有可能取值为，，，，．所以的分布列为X30405060P的数学期望.15．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）在有放回的情况下，每一次取到白球的概率为，所以这5个球中恰有3个白球的概率.（2）在不放回的情况下，这5个球中恰有3个白球的概率.（3）在不放回的情况下，若第3个球为白球，则有四种情况：白,白,白；白,红,白；红,白,白；红,红,白，所以所求概率.16．【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为(3)证明见解析【详解】（1）设事件“第次投篮命中”，则“第次投篮未命中”，，易知与是互斥事件，所以由全概率公式得该运动员第二次投篮命中的概率为．（2）由题意得，，的所有取值为0,1,2，,所以的分布列为012……所以．（3）由题意得，；当时，即，变形为，所以数列是以为公比的等比数列，又，于是，即，所以．17．【答案】(1)50；(2)分布列见解析，期望为.【详解】（1）已知小池塘中鱼的条数为m，由样本估计总体得=，解得，所以估计小池塘中有50条鱼.（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，所以，，，，X的分布列为0123.18．【答案】(1)(2)的分布列见解析