河北承德市高新区第一中学2024～2025学年高二下学期期中考试数学试卷含答案

/河北承德市高新区第一中学2024--2025学年第二学期期中考试高二数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.2.是等差数列的前项和，，，则首项（）A.1 B.2 C.3 D.43.已知函数的导函数为，若，则（）A. B. C.1 D.24.的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.5.某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（）A.1420 B.1480 C.1520 D.15806.甲、乙等5人计划去上海、苏州及青岛三个城市调查农民工薪资情况．每个人只能去一个城市，并且每个城市都要有人去，则不同的分配方案共有种数为（）A.150 B.300 C.450 D.5407.若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（）A.[－5,1) B.(－5,1) C.[－2,1) D.(－2,1)8.已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知数列满足，，记数列的前项和为，则（）A. B.C. D.10.为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（）A.甲乙丙三人选择课程方案有120种方法B.甲乙丙三人选择同样课程有6种方案C.恰有三门课程没有被三名同学选中的选课方案有120种D.若有五名教师教这6门课程，每名老师至少教一门，且老师不教“数”，则有1440种排课方式.11.已知函数，则下列结论错误的是（）A.函数存在两个不同的零点B.函数只有极大值没有极小值C.当时，方程有且只有两个实根D.若时，，则t的最小值为2三、填空题（本大题共3小题，共15分）12.已知函数是区间上的单调函数，则实数的取值范围是________．13.已知a为常数，函数f(x)＝xlnx－ax2＋x有两个极值点，则实数a的取值范围为________．14.将3种农作物全部种植在如图所示的5块试验田里，每块试验田种植一种农作物，且相邻的试验田不能种植同一种农作物，不同的种植方法共有________种．四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.(本小题13分）已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是.（1）求的值；（2）求展开式中的常数项，并指出是第几项；（3）求展开式中系数绝对值最大的项.16.(本小题15分）已知函数．（1）若，求在上的最值；（2）讨论函数的单调性．17.(本小题15分）某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足．（1）写出该企业今年生产这种产品的利润（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式；（2）今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？（参考数据：，，，）18.(本小题17分）已知数列，满足，其中，.（1）若，.①求证：为等比数列；②试求数列的前n项和.（2）若，数列的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？19.(本小题17分）已知函数．（1）若恰有两个极值点，求实数的取值范围；（2）若的两个极值点分别为，证明:．参考答案;1.【答案】A【解析】对函数求导可得，所以yx=-1=-4，所以切线方程为：2.【答案】A【解析】设等差数列的公差为，因为，，等差数列的通项公式，前项和；所以，3.【答案】B【解析】由，求导可得：，令，得到，所以解得.4.【答案】A【解析】，的通项公式为，对于的通项，所以含的项为，的系数为对于的通项，含的项为，的系数为所以，的展开式中含的系数为；故的系数为．5.【答案】B【解析】已知，由每年存栏数的增长率为且每年年底卖出头牛，可得数列的递推公式.设，展开得，令，解得，所以，由此可知数列是以为首项，为公比的等比数列.根据等比数列通项公式，可得，即.当时，，又因为，所以.所以大约为，答案选B.6.【答案】A【解析】根据条件，有两类分配方案，即：把5人分组为两类情况：和.若把5人按分组，有种分组方法，若按分组，有种分组方法，因此不同分组方法数为，再把三组人安排到三个城市，均有有种方法，所以不同分配方法种数是.7.【答案】C【解析】依题意，求导得，，令，解得或；令，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减．所以当时，取得唯一的极小值，当时，，解得或，所以要使函数在(,)内存在最小值，则，解得．8.【答案】A【解析】因为，则，构造函数，则，因为，所以，在上单调递减，又，则，又不等式，等价于，即，解得，所以不等式的解集是.9.【答案】CD【解析】解：因为，，所以，故A错误；，，所以数列是以为周期的周期数列，所以，故B错误；因为，，所以，故C正确；，故D正确；10.【答案】BCD【解析】对于A，甲乙丙三人每人都有6种选择，共有种，故A错误，对于B，甲乙丙三人选择同样课程，即从6门课程中选一门，有6种方案，故B正确，对于C，6门课程中恰有三门课程没有被三名同学选中即3名学生选择了不同的三门，故有种方案，故C正确，对于D，法一：分类五名教师教这6门课程，每名老师至少教一门，则有一名老师需要教两门课程若老师教2门课程，则有种，若老师教1门课程，且教2门课的老师教“数”，则有种，若老师教1门课程，且教2门课的老师不教“数”，则有种，因此一共有种方案，故D正确，法二：五名教师教这6门课程，所以将6门课程分成5组，在分配给老师第一步：分为5组，有一组有两门课程，其余每组都只有一门课程：种；第二步：因为老师不教“数”这一组，所以从另外4组中选一组给老师，在将剩下4组分配给4个老师：种；则一共有种；故D正确，11.【答案】BD【解析】选项A：由，可得，解得，故A正确；选项B：对函数求导得到，令解得；令解得或，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，所以是函数的极小值，是函数的极大值，故B错误；选项C：由选项B的分析过程可知，当时，，且当时，，函数的最小值是，结合对选项A的分析，可得函数的大致图象，所以当时，方程有且只有两个实根，故C正确；选项D：由B知函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其中，当时，即在区间时，可得，故D错误.12.【答案】【解析】由函数可得，令，解得或，因为是区间上的单调函数，所以或，解得或，故实数取值范围是.13.【答案】0＜a＜【解析】f′(x)＝lnx＋2－2ax，函数f(x)有两个极值点，则f′(x)有两个零点，即函数y＝lnx与函数y＝2ax－2的图象有两个交点，当两函数图象相切时，设切点为(x0，y0)，对函数y＝lnx求导(lnx)′＝1x则有解得要使函数图象有两个交点，则0＜2a＜e即0＜a＜.14.【答案】42【解析】方法一分别用a，b，c代表3种农作物．先安排第1块田(从左往右数，下同)，有3种种植方法，不妨设种植a.再安排第2块田，可种植b或c，有2种种植方法，不妨设种植b.再安排第3块田，若第3块田种植c，则第4,5块田各有2种种植方法，即此时第4,5块田的种植方法种数为2×2＝4；若第3块田种植a，则第4块田可种植b或c，①若第4块田种植c，则第5块田有2种种植方法，②若第4块田种植b，则第5块田只能种植c，有1种种植方法．综上所述，不同的种植方法种数为3×2×(4＋2＋1)＝42.方法二从左往右5块试验田分别有3,2,2,2,2种种植方法，所以不同的种植方法种数为3×2×2×2×2＝48，这些方法中包含“5块试验田只种植2种作物”的情况种数为3×2×1×1×1＝6.所以满足题意的不同的种植方法种数为48－6＝42.15.【答案】解：（1）的展开式的通项为：；则可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为，所以，即，则，或（舍去）；（2）展开式的通项为，常数项，即，解得，所以，所以第5项时常数项为60；（3）设第项系数绝对值最大，根据通项知，项的系数的绝对值为：则，，解得，又，，，即展开式中系数绝对值最大的项为.16.【答案】解：（1）当时，，，由可得，，，令，解得，令，解得，所以当，，f'x，的变化情况如下表所示，所以在区间的最大值为，最小值为.（2）由求导可得，令，得或，当，即时，令f'x>0，得或，令f'x<0，得所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；当，即，此时恒成立，所以函数的单调递增区间是，无减区间；当，即时，f'x>0，得或，f'x<0，得所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；综上可知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是，无减区间；当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.17.【答案】解：（1）设总成本函数（为常数），由已知，，可得，解得，所以，已知每百件产品的销售收入，所以.（2）由（1）可知，求导可得，令，得，，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，有，答：当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元．18.【答案】（1）①证明：由于，则当时利用累加法得，则，又因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.②解：由①得，则，不妨设数列的前项和为，则，①，②①②得，即，则数列的前n项和为.（2）解：因为，则，.所以数