陕西省西安市雁塔区第二中学2024−2025学年高一下学期第一次月考数学试题含答案

/陕西省西安市雁塔区第二中学2024−2025学年高一下学期第一次月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知向量，则（

）A． B． C． D．2．在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．若复数（为虚数单位），则的虚部为（

）A． B． C． D．14．已知是不共线的向量，且，则（

）A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线5．在中，角的对边分别为，若，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形6．已知，且关于的方程无实根，则向量与的夹角的取值范围是（

）A． B． C． D．7．在中，角，，的对边分别为，，，已知，则（

）A． B． C． D．8．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥BD，△BCD为边长为的等边三角形，点P为边BD上一动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．在中，角，，所对的边分别为，，，则由下列条件解三角形，其中只有一解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，10．已知是夹角为的单位向量，且，则（

）A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为11．在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（

）A．若，则为锐角三角形B．若为锐角三角形，则C．若，则为等腰三角形D．若，则是等腰三角形三、填空题（本大题共3小题）12．设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于．13．如图，在直角梯形中，，点在边上，且，则．

14．瑞云塔位于福清市融城东南龙首桥头，如图，某同学为测量瑞云塔的高度，在瑞云塔的正东方向找到一座建筑物，高为，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，瑞云塔顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得瑞云塔顶部M的仰角为15°，瑞云塔的高度为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知复数（为虚数单位，）.(1)若为实数，求的值;(2)若为纯虚数，是关于的方程的一个根，求方程的另一根.16．已知向量，.（1）若向量与平行，求的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.17．记内角的对边分别为，已知，(1)求；(2)若，求的面积．18．如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.(1)设，，试用，表示；(2)求；(3)设，，求的最小值.19．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处的C处的缉私船奉命以的速度追截走私船.此时，走私船正以的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.(1)求线段的长度；(2)求的大小；(3)问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船?最快需要多长时间?参考数值：，

参考答案1．【答案】A【详解】由题意，.故选A.2．【答案】B【详解】由可得，故复数z对应的点为，位于第二象限.故选B.3．【答案】A【详解】，则，故其虚部为，故选A4．【答案】C【详解】A：假设存在实数，使得，则三点共线.，得，无解，所以假设不成立，故A错误；B：假设存在实数，使得，则三点共线.，得，无解，所以假设不成立，故B错误；C：，假设存在实数，使得，则三点共线.，得，解得，所以假设成立，故C正确；D：，假设存在实数，使得，则三点共线.，得，无解，所以假设不成立，故D错误.故选C.5．【答案】B【详解】因，由正弦定理，，即,因,则，故,,即，故是等腰三角形.故选B.6．【答案】D【详解】因关于的方程无实根，则，设向量与的夹角为，则，又，代入整理得：，因，故.故选D.7．【答案】B【详解】因为，由正弦定理可得，即，又，所以，因为且，所以，所以又，所以，.故选B.8．【答案】C【详解】由题意可知，为等边三角形，则有，，在中，,；如图以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则有，，由于，故可设P点坐标为,且，所以，，所以，因为，当时，取得最小值，当时，取得最大值为0，所以，故选C.9．【答案】AB【详解】对于A，因为，，，则根据三角形全等（角边角）可知存在且唯一的，故A正确；对于B，因为，，，则根据三角形全等（边角边）可知存在且唯一的，故B正确；对于C，由余弦定理有，即，整理得，解得或，所以满足条件的三角形有两个，故C错误；对于D，由余弦定理有，即，整理得，且，即无解，所以此时三角形不存在，故D错误；故选AB．10．【答案】ABD【详解】设与的夹角为，对B，因为，B正确；对A，，A正确；对C，，所以，C错误；对D，在方向上的投影为，D正确.故选ABD.11．【答案】BD【详解】对于A，由余弦定理可得，即，但无法判定A、C的范围，故A错误；对于B，若为锐角三角形，则有，由正弦函数的单调性可得，故B正确；对于C，若，由正弦函数的性质可得或，又，故或，所以C错误；对于D，若，由正弦定理可得，结合两角和的正弦公式得又，所以，故，所以D正确.故选BD.12．【答案】/【详解】是实数，则，．13．【答案】/0.5【详解】

依题意，以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系.则，设点，则，于是，解得，即.14．【答案】m【详解】在Rt中，，由题意可得，由图知，，所以，在中，由正弦定理可得：即，解得在Rt中，如图可得.15．【答案】(1)或(2)3【详解】（1）根据复数的定义可知若为实数，则或；（2）根据复数的定义可知若为纯虚数，则，则，则由，得，所以另一个根为.16．【答案】(1)或；(2).【详解】由题知，，.(1)若向量与平行，则，.解得或.(2)若向量与的夹角为锐角，由得，，.解得.又由(1)知，当时，向量与平行.所以若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为.17．【答案】(1)；(2).【详解】（1）在中，由及余弦定理，得，解得，而，则，由，得，又，所以.（2）由（1），得，由正弦定理得，所以的面积为18．【答案】(1)；(2)；(3).【详解】（1）由，得，所以.（2）在等边中，，由（1）得，，，，，所以.（3）由（1）知，，而，，因此，而共线，则，又，于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.19．【答案】(1)(2)15°(3)缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船，最快需要.【详解】（1）在△ABC中，∠CAB＝45°+75°＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2+AC2﹣2ABACcos∠CAB，所以，.（2）在△ABC中，由正弦定理，得，所以，sin∠ACB.又∵0°＜∠AC