河北省秦皇岛市第三中学2024～2025学年高一下学期期中考试数学试卷A卷含答案

/秦皇岛市第三中学2024-2025学年度第二学期期中考试高一数学试卷A卷考试说明：考试时间：120分钟总分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。只有一个选项是正确的。请把正确的选项填在答题卡的相应位置1.若2+a+1ia∈A.2-iB.2+i2.已知a→=3,2，b→=-6A.-4B.4C.9D.3.已知在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，若asinA=2，sinA.22B.2C.1D.4.已知空间向量a→，b→且AB→=a→+A.A，B，DB.A，B，CC.B，C，DD.A，C，D5.已知向量a→=x,3，b→=A.1B.3C.1或-3D.1或36.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由A1，C1A.2a2B.3a27.在△ABC中，AD→=23AC→，点E在BDA.-23B.-458.已知两个单位向量e→1，e→2的夹角为①e→1在e→2上的投影向量为cosθ；②eA.1个B.2个C.3个D.4个二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9.已知i为虚数单位，复数z满足z=1+A.z的实部为3B.z的虚部为2iC.zD.z―10.（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB=AD=A.该圆台的高为3B.该圆台轴截面面积为24cC.该圆台轴截面面积为12D.一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为10cm11.若向量a→=2,1A.aB.a→-bC.a→+2bD.sin⟨三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.△ABC的内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，且a2-13.向量a→，b→在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则14.若a-2i2+i=b-i（a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（13分）计算(1)5i(2)1(3)216.（15分）已知向量a→=1(1)求2a(2)求a→(3)求cos⟨a17.（15分）我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图所示，在长方体ABCD-A1B1(1)求证：四棱锥D1(2)求该“阳马”D118.（17分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN=45∘，点C的仰角∠CAB=60∘，以及(1)求两点AC间的长度；(2)求山MN的高度．19.（17分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(1)求a2(2)若B=2π3，△ABC的面积为153

秦皇岛市第三中学2024-2025学年度第二学期期中考试高一数学试卷A卷答案一、单选题1．若为实数，是纯虚数，则复数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的概念得出的值即可.【详解】为实数，则，是纯虚数，则，则故选：D2．已知，，若与共线，则（

）A． B．4 C．9 D．【答案】A【分析】根据平面向量共线的坐标表示即可求解.【详解】因为与共线，所以，解得.故选：A.3．已知在中，角的对边分别为，若，则的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理可得,故.故选：C4．已知空间向量且则一定共线的三点是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】A【分析】利用向量加法求出，利用共线向量定理逐一判断即可.【详解】解：对于A选项，，所以三点共线，A正确；对于B选项，设，则，即无解，B错误；对于C选项，设，则,即,无解，C错误；对于D选项，，设，即，即，无解，D错误．故选：A5．已知向量，，若，则（

）A．1 B．3 C．1或 D．1或3【答案】C【分析】先应用向量加法，再应用垂直得出平面向量的数量积为0计算求参.【详解】因为，，所以.又，所以，解得或.故选：C.6．8．在正方体中，由，，，四个点为顶点的正四面体的表面积为，则该正方体的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为，由正四面体的表面积求出，从而求出正方体的表面积.【详解】设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为，所以，所以，所以.故选：B7.在中，，点E在上，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的线性运算将用与表示出来，再利用向量共线定理的推理即可得解.【详解】因为，所以，则，因为三点共线，所以，解得.故选：C8．已知两个单位向量的夹角为，则下列结论中正确的有（

）①在上的投影向量为；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据投影公式判断①，应用平面向量数量积公式定义判断②，根据向量数量积平方计算判断③，应用向量的垂直判断④.【详解】在上的投影向量是一个向量，故①不正确；故②不正确；，故③正确；如图所示，设，作平行四边形，则为菱形．则．故④正确.故选：B.二、多选题9．已知为虚数单位，复数满足，则（

）A．的实部为3B．的虚部为C．D．在复平面内对应的点在第四象限【答案】ACD【分析】先根据复数除法法则化简，即可判断A,B；再计算复数的模以及共轭复数定义，结合复数几何意义判断C,D.【详解】由于，则的实部为的虚部为2，不是，所以A正确，B错误；由于在复平面内对应的点在第四象限，所以CD都正确，故选：ACD.10．（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（

）A．该圆台的高为B．该圆台轴截面面积为C．该圆台轴截面面积为D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为【答案】CD【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断BC选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项．【详解】如图①，作交于E，则，则，则圆台的高为，故A错误；圆台的轴截面面积为，故B错误，C正确；将圆台的一半侧面展开，如图②，设P为的中点，由圆台补成圆锥，圆台对应的圆锥的一半侧面展开为扇形，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥侧面展开图的圆心角为，连接，可得，，则，所以沿着该圆台表面从点C到中点的最短距离为，故D正确．故选：CD．11．若向量，则下列说法正确的是（

）A． B．与平行C．在上的投影向量为 D．【答案】ACD【分析】对于A，根据平面向量的模的坐标公式计算即可判断；对于B，根据平面向量的坐标判断即可；对于C，根据投影向量的定义计算即可；对于D，先根据平面向量夹角余弦的坐标公式计算，再利用平方关系求正弦值即可.【详解】A选项：，则，，则，所以，故A正确；B选项：，又，因为，所以与不平行，故B错误；C选项：，又，所以，，所以在上的投影向量为，故C正确；D选项：，又，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题12．△ABC的内角、、所对边长分别为、、，且，则．【答案】【分析】应用余弦定理求出角即可.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.13．向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则.【答案】【分析】建立适当的平面直角坐标系，由向量的线性运算以及向量模的坐标公式即可求解.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：小网格的边长为1，从而，所以，从而，所以.故答案为：.14．若（，为虚数单位），则．【答案】73【分析】根据复数乘法运算及复数相等求出得解即可.【详解】因为，所以，解得，则.故答案为：73四、解答题15．已知向量，．(1)求；(2)求；(3)求．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得.（2）根据向量模的计算公式计算可得.（3）利用向量夹角余弦公式可求出答案.【详解】（1）因为，,所以（2）因为，,所以，所以,（3）.16．计算(1)(2)(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据复数的加减法法则求解；（2）根据复数的乘除法法则求解；（3）根据复数的乘法法则求解.【详解】（1）；（2）（3）.17．我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体中，已知，.(1)求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积；(2)求该“阳马”的外接球的表面积.【答案】(1)证明见解析，4(2)【分析】（1）根据平面，且是矩形，可证明四棱锥是“阳马”，根据锥体的体积公式可求其体积；（2）根据长方体的外接球即为四棱锥的外接球，长方体的对角线就是外接球的直径，结合球体的表面积公式求解.【详解】（1）因为长方体中，平面，且是矩形，所以四棱锥中，底面是矩形，且侧棱底面，所以四棱锥是一个“阳马”，体积；（2）长方体的外接球即为四棱锥的外接球，因为，.长方体的对角线长为，则长方体的外接球的半径，该“阳马”外接球的表面积为.18．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高.(1)求两点AC间的长度；(2)求山MN的高度.【答案】(1)(2)200【分析】（1）解直角三角形即可求得答案；（2）应用正弦定理求出,再结合直角三角形即可求；【详解】（1）在中，因为，，，所以，（2）在△AMC中，因为，，可得，因为，所以，在直角中，可得.19．在中，内角A