陕西省安康市2024−2025学年高二下学期期中联考数学试卷含答案

/陕西省安康市2024−2025学年高二下学期期中联考数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．设数列的前项积，则（）A． B． C． D．2．“杨辉三角”又称“帕斯卡三角”，是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，观察杨辉三角的相邻两行，可以发现，三角形的两个腰上的数都是1，其余的数都等于它肩上的两个数相加，其中杨辉三角的最上方的数字1表示第0行，则第9行第9个数是（）

A．8 B．9 C．10 D．153．某高中足球场内有4条同心圆环步道，其长度依次构成公比为3的等比数列，若最长步道与最短步道之差为，则最长步道为（）A． B． C． D．4．已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．在区间上单调递增 B．是的极大值点C．当时， D．在区间上单调递减5．已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知函数在处取得极大值，则（）A．0 B．12 C．16 D．967．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（

）A．15种 B．28种 C．31种 D．63种8．已知函数，若，使成立，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座.小数想要观看这6部电影，则（）A．若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序B．若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序C．若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式D．若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式10．设双曲线的左，右焦点分别为，，且，为上关于原点中心对称的两点，则（）A．的实轴长为B．C．若，则直线的斜率为D．若，则11．已知前两项均为1的数列满足，记的前项和为，则（）A．B．C．和均为等比数列D．除以3的余数为1三、填空题（本大题共3小题）12．曲线在点处的切线方程为.13．已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为.14．已知椭圆的左，右焦点分别为，，E的离心率为，过作斜率为的直线交于A，B两点，则外接圆的半径为四、解答题（本大题共5小题）15．求二项展开式中的特定项或指定项的系数(1)在的展开式中，求的系数．(2)的展开式中，求的系数．16．设抛物线的焦点为，过作直线交于两点.当轴时，.(1)求的方程；(2)记点.（ⅰ）求点到直线距离的最大值；（ⅱ）当时，求的面积.17．已知正项数列的前项和满足．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．18．如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形.分别为的中点，.(1)求证：；(2)若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角.19．记函数的导数为，函数的导数为，若，则称为函数的广义反曲点.(1)若，求的广义反曲点；(2)已知函数有三个广义反曲点：（ⅰ）讨论函数广义反曲点的个数；（ⅱ）证明：函数的三个广义反曲点共线.

参考答案1．【答案】A【详解】数列的前项积，即；所以，当时，，符合上式，当时，

，由题意可得.故选A.2．【答案】B【详解】由杨辉三角知：第1行：，，第2行：，，，第3行：，，，，第4行：，，，，，由此可得第行，第个数为，所以第9行第9个数是.故选B.3．【答案】D【详解】设最长步道为，由题意可得，则.故选D.4．【答案】C【详解】根据上面导函数图象，可知：在区间上大于零，所以在区间上单调递增，故A正确；由图可知，且在左边附近是大于零，在右边附近是小于零，即可判断在左边附近是单调递增，在右边附近是单调递减，所以在时取到极大值，故B正确；由图可知当时，，故C错误；由图可判断时，，故在区间上单调递减，故D正确；故选C.5．【答案】C【详解】因为，函数在区间上是减函数，所以，恒成立.所以，恒成立.设，，因为对称轴为，所以在为增函数，所以，所以.故选C6．【答案】A【详解】因为，由题意，所以或，经检验时，，可知时，取得极小值，不符合题意.所以，因此.故选A.7．【答案】C【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有种；故该宿舍同学的去法共有种．故选C.8．【答案】D【详解】因为，所以为奇函数，又，故在上单调递增，由，得，所以，若，，即，只需，令，由对勾函数的性质可知在上单调递增，故，故.故选D.9．【答案】BD【详解】若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，可将这两部电影看作一个整体，与其余4部电影全排列，再将这两部电影内部进行全排列，所以观看顺序为种，故A错误；若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则在6部电影的全排列中，《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前的情况占总情况的一半，故共有种观看顺序，故B正确；若将6部电影每2部一组随机分为3组，则可以从6部电影中先选出2部，再从4部电影中选出2部，最后除以消除重复情况，故分组方式为，故C错误；若将6部电影随机分为2组，则可按两组分别有1和5部、2和4部、3和3部电影的三种情况分组，按1和5，有种分组方式；按2和4，有种分组方式；按3和3，有种分组方式，所以共有31种分组方式，故D正确.故选BD.10．【答案】ABD【详解】设为双曲线的半焦距，则2，由，即，所以的实轴长为，故A正确；由于关于原点中心对称，关于原点中心对称，所以四边形为平行四边形，所以，所以，故B正确；由，解得，所以，所以直线斜率即直线斜率，，故C错误；由，，可得，，则，所以，又，所以，故D正确.故选ABD.11．【答案】AC【详解】对于A，令可得，令可得，故A正确；对于B，因为，所以，所以，故，故B错误；对于C，由题意可得，所以数列是首项为、公比为2的等比数列，所以，①，同理可得，所以数列是首项为，公比为-1的等比数列，所以，②，故C正确；对于D，①-②得.所以，，因为展开后最后一项为-1，其余各项均能被9整除，所以能被3整除，故D错误.故选AC.12．【答案】（或）【详解】易得，，故曲线在点处的切线方程为.13．【答案】11【详解】由等差数列的定义可得，则，所以令，解得，所以满足条件的的最小值为11.14．【答案】/【详解】由题意可得的离心率为，不妨记点在轴上方，则，由可知，解得，，故可知点到直线的距离，设，则，由余弦定理知，即，解得，故，所以，故，设则故，即，解得，故，，在中，利用正弦定理得，代入数据得.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由二项式展开式的通项为，令，解得，所以展开式中的系数为.（2）解：由，要使得含有项，可得，其中中含的项为，所以的系数为．16．【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）【详解】（1）显然，当轴时，，联立，得到，即或，于是，解得，故的方程为.（2）（ⅰ），不妨设，即.点到的距离，取等条件：，故点到距离的最大值为.（ⅱ）设，，联立，有，于是，，，得到，故此时点到的距离，故的面积.17．【答案】(1)(2)【详解】（1）对于正项数列，令得，解得，即可得，，两式相减得到，即，故，于是是常数列，可得，故．（2）由（1）可得，故，，两式相减得到18．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）平面平面，，平面，平面，又平面，，又平面平面，又平面；（2）由（1）可知，又，，底面为菱形，为的中点，是等边三角形，由（1）知，所以四棱锥的体积.，如图，以为原点，以为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，平面法向量为，设平面法向量为，则令，则为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为故平面与平面的夹角为19．【答案】(1)(2)（ⅰ）有三个；（ⅱ）证明见解析【详解】（