内蒙古呼和浩特市2025届高三普通高等学校招生第二次模拟考试数学试题含答案

/内蒙古呼和浩特市2025届高三普通高等学校招生第二次模拟考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．设集合A=1,2,3,4,5,6，B=x2x<8A．1,2,3 B．2,3,4,5 C．4,5,6 D．3,4,5,62．命题∀x>1，x2-x>1的否定是（A．∃x>1，x2-x≤1 B．∃x≤1，x2-x>1 C．∀x>1，x2-x≤13．设向量a=0,2，b=1,A．a∥b B．a⋅b=3 C4．一个圆锥的底面半径为1，母线与底面的夹角为π4，则该圆锥的体积为（A．π3 B．2π3 C．π 5．如图，梯形OABC是上底为2，下底为32，高为2的等腰梯形，记梯形OABC位于直线x=t(t>0)左侧的阴影部分的面积为ft，则y=ft的大致图象是

A．

B．

C．

D．

6．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，a2-a1=2，a3-a2=3，a4-a3=4，a5-a4=5，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15A．38 B．51 C．66 D．837．已知函数f(x)=12x-1，x<02a(x+1)2，x≥0(a≠0)在A．0<a≤1 B．0<a≤12 C．0<a≤228．若点A-12,32关于直线y=kx对称的点在圆x-3A．1 B．2 C．3 D．2二、多选题（本大题共3小题）9．下列结论正确的是（）A．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=4.245，已知Pχ2≥6.635=0.01，则在犯错误不超过B．已知随机变量X~B(n,p)，若E(X)=36，D(X)=9，则n=48C．掷一枚质地均匀的骰子两次．事件A=“第一次向上的点数是1”，事件B=“两次向上的点数之和是7”，则事件A与事件B相互独立D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为y=0.4x+a，若其中一个散点坐标为(-a,5.4)，则a一定是10．已知函数fx=sin2x-πA．函数f(x)的值域为[-1,1]B．函数f(x)的图象关于点-πC．若函数y=fω2x(ω>0)在0,D．若g(x)=f(x)+sinx，则g(x)的最小正周期为11．已知数列an满足a1=1，a2=10，且an+2=an+1⋅an2，若记数列an的前nA．数列bn是等比数列

B．C．当n为奇数时，Tn=102n-1-1三、填空题（本大题共3小题）12．已知i为虚数单位，若复数z-1为纯虚数，z+2i为实数，则z=13．请写出一个同时满足以下3个条件的函数fx=①∀x1、x2∈0,+∞，且x1≠x2，都有fx214．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，圆O:x2+y2=1与抛物线四、解答题（本大题共5小题）15．烧麦——在呼和浩特有着深厚的历史底蕴，2024年12月21日，呼和浩特举办了“首届烧麦美食大会”，活动持续至2025年1月3日，期间吸引了数以万计的国内外游客慕名而来．“烧麦美食大会”的举办旨在传承和弘扬烧麦文化，深入挖掘呼和浩特市的文旅资源优势，推动烧麦产业创新与发展，促进文商旅融合，提升城市形象．为了了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组采用问卷调查的方式，随机调查了100名游客，并将收集到的满意度得分数据（满分100分）分成了五段：50,60，60,70，70,80，80,90，90,100得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中t的值，为进一步了解游客对本次“烧麦美食大会”满意度情况，从分值在60,70，70,80，80,90三组满意度问卷中，按分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记满意度得分在80,90人数为X，求X的分布列和期望；(2)已知满意度分值在70,80的平均数z1=78，方差s12=9，在80,90的平均数为z2=88，方差s16．已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点Mm,3．其焦点为F(1)求m的值以及抛物线C的方程；(2)过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A,C与B,D四点，求四边形ABCD面积的最小值．17．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c2a-c(1)求角B；(2)若△ABC的面积为3，点F为△ABC内一点，且∠AFB=∠BFC=∠CFA=2π3，求18．如图1，在等腰直角三角形DFC中，FD=FC，A、B、E分别在线段DF、FC、CD上，且AB∥CD，AE∥FC．已知FA=1，AD=2，沿AE将△DAE折起，使得平面DAE⊥平面AFCE，如图2．(1)求证：平面BDE⊥平面ABD；(2)求直线DF与平面EDC所成角的正弦值；(3)点Q在线段DF上，设直线BQ与直线BE所成角为θ，求cosθ的最大值．19．17世纪，牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了代数方程的一种数值解法：如图所示，我们想要找到fx=0的根，即A点的横坐标，则可以先在A点附近取一个初始值，比如横坐标为x=x0处，然后在以x0为横坐标的B点处做一条切线，并求出该切线与x轴的交点x1，此时，我们会发现x1比初始值x0更接近A点．如果重复这个过程，不断绘制切线并计算其与x轴的交点，依次迭代下去，我们将得到x2,x3,(1)根据牛顿迭代法，求x1(2)求xn+1与xn的关系式(3)牛顿迭代法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线．若gx=xlnx-x

参考答案1．【答案】D【详解】已知B={x|2x<8}，因为8=根据指数函数的单调性，对于指数函数y=2x，函数在R那么由2x<23可得x<3，即已知A={1,2,3,4,5,6}，∁RB={x|x≥3}，所以故选D.2．【答案】A【详解】∀x>1，x2-x>1的否定是∃x>1，故选A3．【答案】C【详解】对于A，由坐标易知0×3对于B：a⋅对于C：a=对于D：a-b=故选C4．【答案】A【详解】由圆锥的底面半径为1，母线与底面的夹角为π4易知圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以圆锥的高为1，所以圆锥的体积为：13故选A5．【答案】A【详解】根据题意可知在梯形OABC中，∠AOC=∠OCB=45当0<t≤2时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为f当2<t<2其面积为ft当t≥22即ft所以可得ft根据函数类型对比图象可得A正确.故选A6．【答案】B【详解】由3-2=1，6-3=3，11-6=5，18-11=7，可知：a6-18=9a7-a8-a即第8项是51，故选B7．【答案】B【详解】因函数f(x)=12x-1，x<02a(x+1)则函数f(x)=12x-1，x<0则x∈[2,4]时，logax<0，又则12则1a故选B8．【答案】C【详解】因点A的坐标满足-122+3因直线y=kx过x2则点A关于直线y=kx对称的点必然在圆x2联立x2+y因圆x2+y2=1因此点A关于直线y=kx对称的点只能是点B，设直线y=kx与线段AB交于点D，因AO=BO=1，AB=3则由垂径定理可得，OD=O则在Rt△ODB中，tan∠BOD=BD因此k=tan∠BOD=3故选C.9．【答案】BC【详解】对于A：由χ2=4.245<6.635，可知对于B，由np=36,np1-p=9，可得p=34，进而得对于C，易知PA=1PAB得PAB=PA对于D，由回归方程，无法确定散点的坐标，故D错，故选BC.10．【答案】ACD【详解】f(x)=sin=3对于A，fx=sin2x+π6对于B，f-π6对于C，y=fω2x=sinωx+π6ω>0在0,π4对于D，因为fx=sin2x+所以g(x)=f(x)+sinx的最小正周期为π，故D正确故选ACD.11．【答案】ABD【详解】对于A，由an+2=abn+1即bn+1bn可得数列bn是以b1=1为首项，公比为q=2对于B，由选项A分析可知，Sn=1-对于C，易知bn=lga当n为奇数时，T=1021对于D，当n为偶数时，T=1020+故选ABD12．【答案】5【详解】设z=a+bi，由题可知z-1=a-1+bi为纯虚数，即a-1=0b≠0，解得a=1又z+2i=a+bi+2i=a+b+2i为实数，可得b+2=0，即因此z=1-2i，所以z=13．【答案】x3【详解】由条件①可得fx在0,+∞对于条件②不妨取k=1，可知函数在一定条件下满足可乘性，并简化运算；由条件③可知函数fx因此可得fx=14．【答案】12/【详解】抛物线E:y2=2px(p>0)已知圆O:x2+y2=1与抛物线E的准线相切，则圆心(0,0)到准线x=-p2的距离等于圆的半径1

因为抛物线E的焦点坐标为(p2,0)，把p=2代入可得焦点坐标为(1,0)，又因为抛物线E的焦点与椭圆C的右焦点重合，所以椭圆C的右焦点F2(1,0)，则设Q(x0,y0)，因为△F1QF2的面积为把y0=±263代入抛物线方程y2=2px=4x，可得因为点Q(23,±263)在椭圆设a2=t（t>1），则49t+解得t=19（舍去）或t=4，即a2根据椭圆的离心率公式e=ca，可得e=15．【答案】(1)分布列见解析，3(2)84，30【详解】（1）由0.010+0.015+0.020+t+0.025×10=1，解得t=0.030由题可知，调查问卷考核得分分值在60,70,70,80,则需在60,70,70,80,80,90内的游客中分别抽取11+2+3现从这6人中随机抽取3人，则考核得分在80,90人数为X的所有可能取值为0，1，2，3．PX=0=CPX=2=C所以X的分布列为X0123P1991所以EX（2）满意度分值在70,80的频率为0.02×10=0.2，人数为20；在80,90的颣率为0.03×10=0.3，人数为30，满意度分值在70,80的平均数z1=78，方差在80,90的平均数z2=88，方差所以满意度分值在70,90的平均数z=满意度分值在70,90的方差s216．【答案】(1)m=32(2)8【详解】（1）因为抛物线C：y2=2px(p>0)∴(又焦点为F，且MF=2∴m+由①、②可得p=1m=3又∵m>p∴p=1,m=3抛物线C的方程：y（2）由题知，过F点的两条相互垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图：因此设直线lAC:y=k设点Ax1,y1、B联立直线lAC与抛物线C的方程，得则有4k2又∵AC=同理，联立直线lBD与抛物线C的方程，得则有4x2又∵BD=又∵AC⊥BD∴=2k当且仅当k2四边形ABCD面积的最小值是8.17．【答案】(1)π(2)-2【详解】（1）∵△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c2a-c=∴b∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC∴2sinAcosB=sin∵A∈0,π，∴sinA≠0，∴2cosB=1，cosB=1又∵B∈0,π，∴B=（2）∵===3∴FA∴===4318．【答案】(1)证明见解析(2)15(3)2【详解】（1）∵|FA|=1，|AD|=2，AB∥CD，∴|FB|=1，|BC|=2，又AE∥BC，|CD|=32∴|DE|=22，∵∠ECB=45°，∴|BE|又|AB|=2∴|BE∵平面DAE⊥平面AFCE，且平面DAE∩平面AFCE=AE，又DA⊥AE，DA⊂平面DAE，∴DA⊥平面AFCE，BE⊂平面AFCE，∴DA⊥BE，∵DA∩AB=A,DA,AB⊂平面ABD，∴BE⊥平面DAB，∵BE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABD（2）∵DA⊥平面AFCE,AF⊥AE,∴建立如图所示空间直角坐标系,∴A0,0,0，F1,0,0，E0,2,0，D0,0,2，BDF=1,0,-2，ED=设平面EDC的法向量为m=x,y,z，则-2y+2z=0x+3y-2z=0，取y=1设直线DF与平面EDC所成的角为α，则sinα=cos（3）设DQ=λDF=λ则Qλ,0,2-2λ，BE=-1,1,0所以cosθ=λ-1+1令t=1λ，则所以cosθ=1当t≥1时，6t故在t=1时，cosθ取最大值，此时cosθ=219．【答案】(1)-1(2)x(3)证明见解析【详解】（1）fx=ex-当x0=1时，fx因此切线l:y-e-1