2024年青海高考数学模拟试卷及答案

》》》》》》历年考试真题——2025年最新整理《《《《《《》》》》》》历年考试真题——2025年最新整理《《《《《《/》》》》》》历年考试真题——2025年最新整理《《《《《《2024年青海高考数学模拟试卷及答案（一）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={x|x2−2x−8<0}，B={x|y=ln(x+1)}，则A∩B=A.(−1,2) B.(−1,4) C.(0,2) D.(0,4)2.已知复数z是方程x2+4x+5=0的一个根，且复数z在复平面内对应的点位于第三象限，则z−=(A.2−i B.2+i C.−2−i D.−2+i3.已知平面向量a=(2,m)，b=(4,−6)，且a⋅b=−10，则|A.5 B.22 C.134.已知互相垂直的两个平面α，β交于直线l，若直线m满足m⊥α，则(

)A.m⊥β B.l⊥m C.m//β D.l/​/m5.某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4：1，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多72，则参加体检的人数是(

)A.90 B.96 C.120 D.1446.已知实数x，y满足约束条件2x+y−2≥0x−2y−2≤0y≤1，则yx的最大值是(

A.1 B.53 C.2 D.7.已知函数f(x−1)为偶函数，且函数f(x)在[−1,+∞)上单调递增，则关于x的不等式f(1−2x)<f(−7)的解集为(

A.(−∞,3) B.(3,+∞) C.(−∞,2) D.(2,+∞)8.已知tan(2α+β)=3，tan(α+π4)=−3，则tanβ=A.−139 B.−179 C.9.将函数f(x)=2sin(2x+π3)的图象向左平移π4个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的单调递增区间为(A.[−13π24+kπ,−π24+kπ](k∈Z) B.[−10.已知体积为4π3的球O1与正三棱柱ABC−A1B1CA.24π B.20π C.16π D.12π11.设F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2的直线交双曲线右支于A.2 B.2 C.3 12.已知a=3301，b=2201，c=lnA.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=5sinx+3cosx的图象在点(0,3)处的切线的斜率为

．14.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为

cm．

15.2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能负责语言服务工作，则不同的选法共有

种.16.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且2csin(B−A)=2asinAcosB+bsin2A，则ca的取值范围是

．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12.0分)

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an−1．

(1)求{an}的通项公式；

18.(本小题12.0分)

赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的种子中合成，其作用是促进细胞的生长，使得植株变高，每粒种子的赤霉素含量x(单位：mg/g)直接影响该粒种子后天的生长质量.现通过生物仪器采集了赤霉素含量分别为10，20，30，40，50的种子各20粒，并跟踪每粒种子后天生长的情况，收集种子后天生长的优质数量y(单位：粒)，得到的数据如表：赤霉素含量x1020304050后天生长的优质数量y237810(1)求y关于x的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，估计1000粒赤霉素含量为60ng/g的种子后天生长的优质数量．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=i=1n19.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，BD⊥PC，∠ABC=60°，四边形ABCD是菱形，PB=2AB=2PA，E是棱PD上的动点，且PE=λPD．

(1)证明：PA⊥平面ABCD．

(2)是否存在实数λ，使得平面PAB与平面20.(本小题12.0分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，四点M1(−2,−2)，M2(2,1)，M3(2,2)，M4(10,1)中恰有三点在椭圆C上．

(1)求椭圆21.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=(ax2+1)ex−x．

(1)当a=−12时，讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；

(2)当22.(本小题10.0分)

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=1+2cosα,y=1+2sinα(α为参数).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C与极轴相交于O，A两点．

(1)求曲线C的极坐标方程及点A的极坐标；

(2)若直线l的极坐标方程为θ=π3，曲线C与直线23.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=|x+a|+|x−3|．

(1)当a=2时，求不等式f(x)≥2x的解集；

(2)若不等式f(x)≤12a+5的解集非空，求a答案1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】D

10.【答案】B

11.【答案】A

12.【答案】B

13.【答案】5

14.【答案】27815.【答案】252

16.【答案】(1,2)

17.【答案】解：(1)当n=1时，S1=a1=2a1−1，解得a1=1．

当n≥2时，Sn−1=2an−1−1，则an=Sn−Sn−1=2an−2an−1，即an=218.【答案】解：(1)x−=10+20+30+40+505=30，

y−=2+3+7+8+105=6，

i=15(xi−x−)(yi−y−)=210，i=1519.【答案】解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC．

因为BD⊥PC，AC，PC⊂平面PAC，且AC∩PC=C，

所以BD⊥平面PAC.因为PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA．

因为PB=2AB=2PA，所以PB2=AB2+PA2，所以AB⊥PA．

因为AB，BD⊂平面ABCD，且AB∩BD=B，所以PA⊥平面ABCD．

(2)取棱CD的中点F，连接AF，易证AB，AF，AP两两垂直，故以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

设AB=2，则A(0,0,0)，C(1,3,0)，D(−1,3,0)，P(0,0,2)，

故AC=(1,3,0)，PD=(−1,3,−2)，AP=(0,0,2)．

因为PE=λPD，所以PE=(−λ,3λ,−2λ)，则AE=AP+PE=(−λ,20.【答案】解：(1)由椭圆的对称性可知M1(−2,2),M3(2,2),M4(10,1)在椭圆C上．

由题意可得4a2+4b2=110a2+1b2=1，解得a2=12b2=6，

故椭圆C的标准方程为x212+y26=1．

(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=−2，则不妨令P(−2,2)，Q(−2,−2)．

因为M3(2,2)21.【答案】解：(1)当a=−12时，f(x)=(1−12x2)ex−x，则f′(x)=(−12x2−x+1)ex−1．

令g(x)=f′(x)=(−12x2−x+1)ex−1，其中x∈(0,+∞)，

则g′(x)=(−12x2−2x)ex<0，则g(x)在(0,+∞)上单调递减．

故当x>0时，f′(x)=g(x)<g(0)=0，

所以f(x)在(0,+∞)上单调递减．

(2)由(1)可知当x>0且当a=−12时，函数f(x)在(0,+∞)上为减函数，

此时f(x)<f(0)=1，

则当a≤−12时，f(x)=(ax222.【答案】解：(1)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=1+2cosα,y=1+2sinα(α为参数)．

可得(x−1)2+(y−1)2=2，可得x2+y2−2x−2y=0，所以圆的极坐标方程为：ρ2−2ρcosθ−2ρsinθ=0，

即ρ=2cosθ+2sinθ．

曲线C与极轴相交于O，A两点．θ=0时，ρ=2，所以A(2,0)．

23.【答案】解：(1)因为a=2，

所以f(x)=|x+2|+|x−3|，

当x≥3时，原不等式转化为2x−1≥2x，无解．

当−2<x<3时，原不等式转化为5≥2x，解得−2<x≤52．

当x≤−2时，原不等式转化为−2x+1≥2x，解得x≤−2．

综上所述，原不等式的解集为(−∞,52]；

(2)由已知可得|x+a|+|x−3|≥|a+3|，

由不等式f(x)≤12a+5的解集非空，可得|a+3|≤12（二）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若iz=1−2i，则z2=(

)A.−3−4i B.3−4i C.−3+4i D.3+4i2.已知集合A={x|4x<1}，B={x|−3<6x<8}，则A∪B=(

)A.{x|x<14} B.{x|−12<x<3.已知平面向量a=(2,m)，b=(4,−6)，且a⋅b=−10A.5 B.22 C.134.已知互相垂直的两个平面α，β交于直线l，若直线m满足m⊥α，则(

)A.m⊥β B.l⊥m C.m//β D.l/​/m5.某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4：1，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多72，则参加体检的人数是(

)A.90 B.96 C.120 D.1446.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若△ABC的面积是3(b2+c2A.π3 B.2π3 C.π67.已知实数x，y满足约束条件2x+y−2≥0x−2y−2≤0y≤1，则yxA.1 B.53 C.2 D.8.已知函数f(x−1)为偶函数，且函数f(x)在[−1,+∞)上单调递增，则关于x的不等式f(1−2x)<f(−7)A.(−∞,3) B.(3,+∞) C.(−∞,2) D.(2,+∞)9.已知cos(α+π12)+cos(α+7πA.−2325 B.2325 C.−10.将函数f(x)=2sin(2x+π3)的图象向左平移π4个单位长度，得到函数g(x)的图象，则A.[−13π24+kπ,−π24+kπ](k∈Z) B.[−11.已知体积为4π3的球O1与正三棱柱ABC−A1BA.24π B.20π C.16π D.12π12.若函数f(x)=x2ex−lnx的最小值为m，则函数g(x)=A.m−1 B.em+1 C.m+1 D.e二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=5sinx+3cosx的图象在点(0,3)处的切线的斜率为

．14.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为

cm．

15.2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从甲、乙等5名志愿者中任意选出2人开展应急救助工作，则甲、乙2人中恰有1人被选中的概率为

．16.已知O是坐标原点，F是双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，平面内一点M满足△OMF是等边三角形，MF与双曲线E交于点N三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12.0分)

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an−1．

(1)求{an18.(本小题12.0分)

赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的种子中合成，其作用是促进细胞的生长，使得植株变高，每粒种子的赤霉素含量x(单位：mg/g)直接影响该粒种子后天的生长质量.现通过生物仪器采集了赤霉素含量分别为10，20，30，40，50的种子各20粒，并跟踪每粒种子后天生长的情况，收集种子后天生长的优质数量y(单位：粒)，得到的数据如表：赤霉素含量x1020304050后天生长的优质数量y237810(1)求y关于x的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，估计1000粒赤霉素含量为60ng/g的种子后天生长的优质数量．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=i=119.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA=PC，E是棱PD上的一点，且2PD=3PE．

(1)证明：AC⊥平面PBD．

(2)若AB=2，PB=PD=6，求点P20.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=lnx−12x+ax．

(1)若f(x)在(3,+∞)上不单调，求实数a的取值范围；

(2)当x∈[1,+∞)时，f(x)≤021.(本小题12.0分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，四点M1(−2,−2)，M2(2,1)，M3(2,2)，M4(10,1)中恰有三点在椭圆C上．

22.(本小题10.0分)

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=1+2cosα,y=1+2sinα(α为参数).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C与极轴相交于O，A两点．

(1)求曲线C的极坐标方程及点A的极坐标；

(2)若直线l的极坐标方程为θ=π3，曲线23.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=|x+a|+|x−3|．

(1)当a=2时，求不等式f(x)≥2x的解集；

(2)若不等式f(x)≤12a+5答案1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】C

10.【答案】D

11.【答案】B

12.【答案】C

13.【答案】5

14.【答案】27815.【答案】3516.【答案】1317.【答案】解：(1)当n=1时，S1=a1=2a1−1，解得a1=1．

当n≥2时，Sn−1=2an−1−1，则an=Sn−Sn−1=2an−2an−1，即an=218.【答案】解：(1)x−=10+20+30+40+505=30，

y−=2+3+7+8+105=6，

i=15(xi−x−)(yi−y−)=210，i=1519.【答案】解：(1)证明：记AC∩BD=O，连接OP，

则O是BD，AC的中点．

∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，

∵PA=PC，且O是AC的中点，∴OP⊥AC，

又OP，BD⊂平面PBD，且OP∩BD=O，

∴AC⊥平面PBD；

(2)连接OE，∵PB=PD，且O是BD的中点，

∴OP⊥BD，又OP⊥AC，AC，BD⊂平面ABCD，

且AC∩BD=O，∴OP⊥平面ABCD，

∵AB=2，∠ABC=60°，

∴AC=2，OB=3，∴OP=3，

∴三棱锥P−ACD的体积VP−ACD=13×12×2×3×3=1，

∵2PD=3PE，∴VP−ACE=23VP−ACD=23，

过点E作EF⊥BD，垂足为F，

由题可得EF=120.【答案】解：(1)因为f(x)=lnx−12x+ax，f′(x)=1x−x2+2a2x2=−x2+2x−2a2x2．

因为函数f(x)在(3,+∞)上不单调，

所以关于x的方程−x2+2x−2a=0在(3,+∞)上有根，

所以−32+2×3−2a>0，所以a<−32，

即a的取值范围是(−∞,−32)；

(2)因为f(x)=lnx−12x+ax≤0(x≥1)，所以a≤121.【答案】解：(1)由椭圆的对称性可知M1(−2,2),M3(2,2),M4(10,1)在椭圆C上．

由题意可得4a2+4b2=110a2+1b2=1，解得a2=12b2=6，

故椭圆C的标准方程为x212+y26=1．

(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=−2，则不妨令P(−2,2)，Q(−2,−2)．

因为M3(2,2)22.【答案】解：(1)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=1+2cosα,y=1+2sinα(α为参数)．

可得(x−1)2+(y−1)2=2，可得x2+y2−2x−2y=0，所以圆的极坐标方程为：ρ2−2ρcosθ−2ρsinθ=0，

即ρ=2cosθ+2sinθ．

曲线C与极轴相交于O，A两点．θ=0时，ρ=2，所以A(2,0)．

23.【答案】解：(1)因为a=2，

所以f(x)=|x+2|+|x−3|，

当x≥3时，原不等式转化为2x−1≥2x，无解．

当−2<x<3时，原不等式转化为5≥2x，解得−2<x≤52．

当x≤−2时，原不等式转化为−2x+1≥2x，解得x≤−2．

综上所述，原不等式的解集为(−∞,52]；

(2)由已知可得|x+a|+|x−3|≥|a+3|，

由不等式f(x)≤12a+5的解集非空，可得|a+3|≤12（三）第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，则（）A． B． C． D．2．已知集合，则（）A． B．C． D．3．已知平面向量，，且，则（）A．5 B． C． D．4．已知互相垂直的两个平面，交于直线，若直线满足，则（）A． B． C． D．5．某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业．已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4：1，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多72，则参加体检的人数是（）A．90 B．96 C．120 D．1446．在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（）A． B． C． D．7．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．1 B． C．2 D．38．已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于的不等式的解集为（）A． B． C． D．9．已知，则（）A． B． C． D．10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的单调递增区间为（）A． B．C． D．11．已知体积为的球与正三棱柱的所有面都相切，则三棱柱外接球的表面积为（）A． B． C． D．12．若函数的最小值为，则函数的最小值为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置．13．函数f（x）=5sinx+3cosx的图象在点（0，3）处的切线的斜率为______．14．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm．15．2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从甲、乙等5名志愿者中任意选出2人进行应急救助工作，则甲、乙2人中恰有1人被选中的概率为______．16．已知O是坐标原点，F是双曲线的左焦点，平面内一点M满足△OMF是等边三角形，线段MF与双曲线E交于点N，且，则双曲线E的离心率为______．三、解答题：共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。17．（12分）设数列的前n项和为，且．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．18．（12分）赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的种子中合成，其作用是促进细胞的生长，使得植株变高，每粒种子的赤霉素含量x（单位：ng/g）直接影响该粒种子后天的生长质量。现通过生物仪器采集了赤霉素含量分别为10，20，30，40，50的种子各20粒，并跟踪每粒种子后天生长的情况，收集后天生长茁壮的种子数量y（单位：粒），得到的数据如下表：赤霉素含量x1020304050后天生长茁壮的种子数量y237810（1）求关于的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，估计1000粒赤霉素含量为的种子中后天生长茁壮的数量．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．19．（12分）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，E是棱PD上的动点，且．（1）证明：AC⊥平面PBD．（2）若AB=2，，求点P到平面ACE的距离．20．（12分）已知函数．（1）若在上不单调，求实数的取值范围；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．21．（12分）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程．（2）过点（－2，－4）的直线与椭圆C交于不同的两点P，Q，试问直线，的斜率之和是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．［选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线与极轴相交于O，A两点．（1）求曲线C的极坐标方程及点的极坐标；（2）若直线的极坐标方程为，曲线与直线相交于O，B两点，求的面积．23．［选修4－5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．参考答案1．D因为，所以，即，则．2．B因为，，所以．3．C，则，所以．4．B因为，，所以，又，所以或故选B．5．C设参加体检的人数是，则，解得．6．A由題意可得，所以，则．7．C画出可行域，如图所示，且，，，表示的是可行域内的点与原点连线的斜率，故．8．A因为为偶函数，所以的图象关于轴对称，则的图象关于直线对称．因为在上单调递增，所以在上单调递减．因为，所以，解得．9．C因为，所以，所以，则，故．10．D，令，，解得，，故的单调递增区间为．11．B因为球的体积为，所以球的半径为1，又球与正三棱柱的所有面都相切，所以正三棱柱底面内切圆的半径为1，高为2，则三棱柱外接球的半径为，即外接球的表面积为．12．C若x∈（0，+∞），则ex∈（0，+∞），所以函数的最小值