提优点10　立体几何中动点及其轨迹问题 高三数学

板块四立体几何与空间向量提优点10立体几何中动点及其轨迹 问题知识拓展立体几何中的动点及其轨迹问题有两个类型(1)研究动点的轨迹，主要方法有定义法(如圆锥曲线定义)、解析法、交轨法；(2)与动点有关的最值、范围问题，主要方法有几何法、函数法.精准强化练类型一动点的轨迹问题类型二与动点有关的最值、范围问题类型突破类型一动点的轨迹问题考向1定性的研究动点的轨迹例1√(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一动点，则下列说法正确的是√√如图所示，对于A，根据正方体的性质可知，MD⊥平面ABCD，所以点N的轨迹为以D为圆心，2为半径的圆，故A正确；对于B，在Rt△MDN中，取MD的中点E，因为P为MN的中点，DN⊥ED，所以PE⊥ED，即点P在过点E且与DD1垂直的平面内，对于C，连接NB，因为BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥NB，所以点N到直线BB1的距离为NB，所以点N到点B的距离等于点N到定直线CD的距离，又B不在直线CD上，所以点N的轨迹为以B为焦点，CD为准线的抛物线，故C正确；对于D，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(4，0，0)，B(4，4，0)，D1(0，0，4)，设N(x，y，0)，所以点N的轨迹为双曲线，故D正确.定性的研究动点的轨迹要利用线面平行、垂直的性质定理，结合圆锥曲线等的定义，确定动点的轨迹.规律方法已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与底面A1B1C1D1垂直，且AD＝AB，E为CC1的中点，P在对角面BB1D1D内运动，若EP与AC成30°角，则点P的轨迹为A.圆 B.抛物线

C.双曲线

D.椭圆训练1√因为在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与底面A1B1C1D1垂直，且AD＝AB，所以该平行六面体ABCD－A1B1C1D1是一个底面为菱形的直四棱柱，所以对角面BB1D1D⊥底面ABCD，AC⊥对角面BB1D1D.取AA1的中点F，连接EF，则EF∥AC.因为EP与AC成30°角，所以EP与EF成30°角.设EF与对角面BB1D1D的交点为O，则EO⊥对角面BB1D1D，所以点P的轨迹是以EO为轴的一个圆锥的底面圆周，故选A.例2考向2定量的研究动点的轨迹(多选)(2024·河南名校联考)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界)，则下列说法正确的是√√√对于A，如图，取B1C1，C1C的中点分别为E，F，连接D1E，D1F，EF，PF，则PF∥B1C1∥A1D1且PF＝B1C1＝A1D1，则四边形A1PFD1是平行四边形，∴D1F∥A1P，∵D1F⊄平面A1PD，A1P⊂平面A1PD，∴D1F∥平面A1PD，同理可得EF∥平面A1PD.∵EF∩D1F＝F，EF，D1F⊂平面D1EF，∴平面A1PD∥平面D1EF，则动点Q的轨迹为线段

EF，故A正确；对于B，如图，以D1为坐标原点，以D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设Q(x，1，z)，0≤x≤1，0≤z≤1，设m＝(a，b，c)为平面A1PD的一个法向量，故不存在点Q使得D1Q⊥平面A1PD，故B错误；对于C，∵△A1PD的面积为定值，∴当且仅当点Q到平面A1PD的距离d最大时，三棱锥Q－A1PD的体积最大.则当x＋z＝0时，d有最大值1；综上，当x＋z＝0，即Q和C1重合时，三棱锥Q－A1PD的体积最大，故C正确；对于D，由正方体的性质知D1C1⊥平面

BB1C1C，当涉及动点的轨迹的长度，图形的面积与几何体的体积以及体积的最值时，可借助于几何体的结构特征，建立空间直角坐标系，用变量表示轨迹，然后用函数的性质求解.规律方法(多选)(2024·西安调研)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点(不包含端点)，若正方体棱长为1，则下列结论正确的有训练2√√对于A，如图①，连接AC，D1P，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，D(0，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，1，0).对于B，当P为A1B的中点时，有AP∥C1D，AD1∥C1B，易证平面APD1∥平面C1BD，故B正确；图①对于C，三棱锥D1－CDP的体积对于D，设A1B的中点为O，连接AP，AD1，D1P.当P点在线段OB(不包含端点)上时，此时平面APD1截正方体所得的截面为梯形AEFD1，如图②；当P点在O点时，此时平面APD1截正方体所得的截面为正三角形AB1D1；当P点在线段OA1(不包含端点)上时，此时平面APD1截正方体所得的截面为等腰三角形AD1G，如图③，且AG2＋D1G2≠AD，所以该三角形不可能为直角三角形，故D错误.类型二与动点有关的最值、范围问题例3√√√如图所示，对于A，对于C，∵点D是三角形PAB内的动点(含边界)，AD⊥CD，取AB的中点G，连接FG，GI，则根据题意易知FG⊥平面PAB，又易知△GIB为边长为1的正三角形，∴C正确；对于B，由选项C知，当DG⊥AB时，D点到平面ABC距离最大，最大距离为1，因此三棱锥C－ABD的体积对于D，将底面直角三角形ABC对称补全成正方形ABCE，建立如图所示的坐标系.而A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，设异面直线CD与AB所成的角大小为φ，在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的解题思路是(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值.(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值.规律方法在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面四边形BCC1B1内(不含边界)一点.若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是______________.训练3 如图所示，分别取棱BB1，B1C1的中点M，N，连接MN，NE，A1N，A1M.因为M，N，E，F分别为BB1，B1C1，BC，CC1的中点，所以MN∥EF.因为MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以MN∥平面AEF.因为AA1∥NE，AA1＝NE，所以四边形AA1NE为平行四边形，所以A1N∥AE.因为A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，所以A1N∥平面AEF.因为A1N∩MN＝N，A1N，MN⊂平面A1MN，所以平面A1MN∥平面AEF.因为P是侧面四边形BCC1B1内(不含边界)一点，且A1P∥平面AEF，所以点P必在线段MN上(不含点M，N).所以△A1MN为等腰三角形，当点P在MN的中点O时，A1P⊥MN，此时A1P最短，当点P在M或N处时，A1P最长，【精准强化练】√1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹为点P到直线C1D1的距离即为点P到点C1的距离，A.直线

B.圆

C.双曲线

D.抛物线所以在平面BB1C1C中，点P到定点C1的距离与到定直线BC的距离相等，由抛物线的定义可知，动点P的轨迹为抛物线，故选D.√2.(2024·无锡调研)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F为AA1，AB的中点，点M是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1E，则点M的轨迹长度为如图所示，取A1B1的中点H，B1B的中点G，连接EF，FC，GH，C1H，C1G，EG，HF可得四边形EGC1D1是平行四边形，∴C1G∥D1E，又D1E⊂平面CD1E，C1G⊄平面CD1E，∴C1G∥平面CD1E，同理可得C1H∥CF，又CF⊂平面CD1E，C1H⊄平面CD1E，∴C1H∥平面CD1E，又C1H∩C1G＝C1，C1H，C1G⊂平面C1GH，∴平面C1GH∥平面CD1E，又M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1E，∴点M在线段GH上，√如图，连接D1A，AC，D1C，因为E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，所以AC∥EF，又EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，所以EF∥平面ACD1，易知EG∥AD1，所以同理可得EG∥平面ACD1，又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，所以平面ACD1∥平面EFG.因为直线D1P∥平面EFG，所以点P在直线AC上.当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小，√4.如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN中点轨迹的面积为易知DD1⊥平面ABCD，∠MDN＝90°，取线段MN的中点P，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，√故DR⊥AQ，CD⊥AQ，又DR∩CD＝D，DR，CD⊂平面CDRH，故AQ⊥平面CDRH，故当P位于平面CDRH与内切球O的交线上时，满足CP⊥AQ，其中r为平面CDRH截正方体内切球所得截面圆的半径，√√√所以F为B1D1的中点，连接BD，记BD中点为O，连接D1O，AO，由正方体性质可知，BO∥D1F，BO＝D1F，所以四边形BOD1F为平行四边形，所以D1O∥BF，所以直线AE与BF所成角即为直线D1O与AD1所成角，对于B，VB－AEF＝VA－BEF，易知点A到平面BB1D1D的距离和点B到直线B1D1的距离均为定值，所以三棱锥A－BEF的体积为定值，故B正确；对于D，二面角A－EF－B的平面角即为二面角A－B1D1－B的平面角，显然其平面角不变，故D正确.故选BCD.√√√如图1，因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，图1所以PA⊥BC，由勾股定理得AB2＋BC2＝AC2，所以BC⊥AB，因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，当E在线段AB上时，PE⊂平面PAB，所以PE⊥BC，故A正确；图2则可以将三棱锥P－ABC放入正方体中，点F是球O表面任意一点，所以EF的最大值为球的直径，因为PA⊥平面ABC，则点D在底面上的射影为AB的中点D′，则DE2＝D′D2＋D′E2，由图3知，当点E与点C重合时，D′E取到最大值，DE2＝D′D2＋D′E2＝1＋5＝6，图3记经过DE的平面为α，当OD⊥α时，平面α与球O的截面面积最小，8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_____________________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)DM⊥PC(或BM⊥PC)连接AC，BD，则AC⊥BD，因为PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC，所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD，PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.BP＝A1P＝DP＝1，所