人教版高一数学必修二导学案

【12份】人教版高一数学必修二导学案目录TOC\o"2-2"\h\z\u1.1空间几何体的结构21.2空间几何体的三视图和直观图171.3空间几何体的表面积与体积312.1空间点、直线、平面之间的位置关系492.2直线、平面平行的判定及其性质692.3直线、平面垂直的判定及其性质85§3.1.1直线的倾斜角与斜率993.2.1直线的点斜式方程1093.3.1两条直线的交点坐标1234.1.1圆的标准方程1364.2.1直线与圆的位置关系1464.3．1空间直角坐标系&4.3.2空间两点间的距离公式156第一章、空间几何体本章概述几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科．空间几何体是几何学的重要组成部分，它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有着广泛的应用，是下一章研究空间点、线、面的位置关系的载体，是初中学过的平面几何的继续和发展．另外，三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展空间想象力、推理理论证能力、运用图形语言进行交流的能力，是高中阶段必修系列课程的基本要求．本章从我们周围存在的各种物体的“形”的角度把握和认识了柱、锥、台、球的结构特征，它们是我们认识空间几何体的基础．在此基础上，我们认识了简单组合体，并从不同的方面对空间几何体进行了分类．学习在平面上画出空间几何体的三视图和直观图，并掌握两者的联系．最后学习如何计算空间几何体的表面积和体积，从中了解解决空间几何问题的基本方法．本章重点是空间几何体的结构特征，三视图和直观图的画法，几何体的表面积和体积的计算．本章难点是对柱、锥、台、球的结构特征的概括，识别三视图所表示的空间几何体，对一些几何体的表面积和体积公式的推导．1.1空间几何体的结构1.1.1柱、锥、台、球的结构特征(一)【考纲要求】[学习目标]1．知道空间几何体的概念及其含义，了解空间几何体的分类及相关概念．2．了解棱柱、棱锥、棱台的定义，知道这三种几何体的结构特征，给出几何体能够识别和区分．[目标解读]1．理解棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征是重点；2．通过实例，培养学生的观察能力和空间想象能力是难点．【自主学习】1．空间几何体(1)空间几何体的定义空间中的物体都占据着空间的一部分，若只考虑这些物体的和，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．类别多面体旋转体定义由若干个围成的几何体由一个平面图形绕它所在平面内的一条旋转所形成的．图形相关概念面：围成多面体的各个．棱：相邻两个面的．顶点：的公共点.轴：形成旋转体所绕的.2．多面体多面体定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都互相，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.如图可记作：棱柱底面(底)：两个互相平行的面．侧面：．侧棱：相邻侧面的．顶点：侧面与底面的．棱锥有一个面是，其余各面都是有一个公共顶点的，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥底面(底)：面．侧面：有公共顶点的各个．侧棱：相邻侧面的．顶点：各侧面的．棱台用一个的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.如图可记作：棱台上底面：原棱锥的．下底面：原棱锥的．侧面：其余各面．侧棱：相邻侧面的公共边．顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点.特别提醒：面数最少的棱锥是三棱锥，棱台的各侧面是梯形.【考点突破】要点一棱柱、棱锥、棱台的概念1.棱柱的结构特征侧棱都相等，侧面都是平行四边形，两个底面相互平行；2．棱锥的结构特征有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形；3．棱台的结构特征上下底面相互平行，各侧棱的延长线交于同一点．典型例题1、有下列说法：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱；②各个面都是三角形的几何体是三棱锥；③用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫做棱台；④棱柱的各相邻侧面的公共边互相平行．以上说法中，正确说法的序号是________(写出所有正确说法的序号)．【思路启迪】根据棱柱、棱锥、棱台的概念解答．由图甲知，说法①错误；如图乙，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，说法②错误；由棱台的定义知，说法③错误；由棱柱的特点知，说法④正确．【答案】④方法指导：解决该类题目需准确理解多面体的定义，要真正把握多面体的结构特征．要学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个说法是错误的，设法举出一个反例即可．反馈训练1、有下列说法：①一个棱锥至少有四个面；②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；③五棱锥只有五条棱；④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．以上说法中，正确说法的序号是________(写出所有正确说法的序号)．典型例题2、如图所示为长方体ABCD－A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．【思路启迪】可先确定两个互相平行的面，再根据棱柱的定义作出判断．【解】截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′－CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面，EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′－DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面，A′D′，EF，BC，AD为侧棱．方法指导：根据形成几何体的结构特征的描述，结合棱柱、棱锥、棱台的定义进行判断，注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模型，通过演示进行准确判断．反馈训练2、下列说法：①有两个面互相平行，其余的面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．其中正确的个数为()A．3B．2C．1D．0要点三多面体的表面展开图1.绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型，在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．2．若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．典型例题3、请画出如图所示的几何体的表面展开图．【思路启迪】假定一个面不动，进行空间想象，展开几何体．【解】展开图如图所示．方法指导：解答此类问题要结合多面体的结构特征，发挥空间想象能力和亲自动手制作模型的能力。反馈训练3、根据下图所给的几何体的表面展开图，画出立体图形．考点巩固一、选择题1．下列说法中正确的是()A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B．棱柱的面中，至少有两个面互相平行C．棱柱中一条侧棱的长叫棱柱的高D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形2．如图，D，E，F分别是等边△ABC各边的中点，把该图按虚线折起，可以得到一个()A．棱柱B．棱锥C．棱台D．旋转体3．下列三个说法，其中正确的是()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，CC1=1，一条绳子从点A沿表面拉到点C1A．3eq\r(2)B．2eq\r(5)C.eq\r(26)D．65．如图，下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何图形的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的序号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．7．在如图所示的三棱柱ABC－A1B1C18．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=2，AA1=2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M求：(1)三棱柱侧面展开图的对角线长；(2)从B经M到C1的最短路线长及此时eq\f(A1M,AM)的值．考点巩固-答案1、详细分析：把该图按虚线部分折起后，点A、B、C重合，得到一个三棱锥．答案：B2、详细分析：棱柱中也存在互相平行的侧面，故A错；棱柱上、下底面的距离叫棱柱的高，若侧棱与底面垂直，则侧棱长即为高；若侧棱与底面不垂直，则侧棱长就不是棱柱的高，故C错；长方体是棱柱，其底面为平行四边形，故D错．综上，选B.答案：B3、详细分析：对①，如图(1)，当截面不平行于底面时棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．对于②③，如图(2)中AA1，DD1交于一点，而BB1，CC1交于另一点，此几何体不能还原成四棱锥，故不是棱台．答案：A4、详细分析：①沿平面AA1B1B、平面A1B1C1D1铺展成平面，此时AC1=3eq\r(2).②沿平面AA1D1D、平面A1D1C1B1铺展成平面，此时AC1=2eq\r(5).③沿平面AA1B1B、平面BB1C1C铺展成平面，此时AC1=eq\r(26).故绳子的最短的长为3eq\r(2).答案：A5、详细分析：由多面体的定义及其结构特征可得．答案：(1)(2)(3)(4)(5)6、详细分析：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，四边形ABCD和四边形ABC1D1为矩形，故①正确；在三棱锥D－ACD1中，有三个面为等腰直角三角形，一个面为等边三角形，故③正确；在三棱锥B1－ACD1中，每个面都是等边三角形，故④正确；在三棱锥A－CDC1中，每个面都是直角三角形，故⑤正确．故满足条件的序号为①③④⑤答案：①③④⑤7、解：如图，连接A1B，BC1，A1C，则三棱锥ABC－A1B1C1被分成三部分，形成三个三棱锥，分别是A1－ABC，A1－BB1C1，A1－8、解：沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B′1B′(如图)．(1)矩形BB1B′1B′的长BB′=6，宽BB1=2.所以三棱柱侧面展开图的对角线长为eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).(2)由侧面展开图可知：当B，M，C1三点共线时，由B经M到C1点的路线最短．所以最短路线长为BC1＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5).显然Rt△ABM≌Rt△A1C所以A1M=AM，即eq\f(A1M,AM)=1.1.1.1柱、锥、台、球的结构特征(二)1.1.2简单组合体的结构特征【考纲要求】[学习目标]1．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．2．会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征．3．理解柱、锥、台体的关系．4．培养观察能力和空间想象能力．[目标解读]1．理解并掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征是重点；2．用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征是难点．【自主学习】1．旋转体旋转体结构特征图形表示圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，于轴的边都叫做圆柱侧面的母线我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，左图可表示为圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的所围成的旋转体叫做圆锥我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图可表示为圆台用平行于的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台我们用表示圆台轴的字母表示圆台，左图可表示为球以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径球常用球心字母进行表示，左图可表示为2．简单组合体的结构特征(1)定义：由组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)简单组合体的两种基本形式：由简单几何体而成；由简单几何体一部分而成．特别提醒：圆是一条封闭的曲线，圆面是一个圆围成的圆内平面．球是几何体，球面是指半圆沿直径旋转形成的曲面，球是旋转体．【考点突破】要点一、旋转体的结构特征圆柱、圆锥、圆台、球从生成过程来看，它们分别是由矩形、直角三角形、直角梯形、半圆绕着某一条直线旋转而成的几何体，因此它们统称为旋转体．但应注意的是：所谓旋转体就是一个平面图形绕着这个平面图形所在的平面内一条直线旋转一周所得到的几何体，因此它还含有除圆柱、圆锥、圆台、球之外的几何体．典型例题1、下列说法：①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④【思路启迪】紧扣母线的定义及相关性质即可解题．方法指导：圆柱、圆锥、圆台和球都是由平面图形绕着某条轴旋转而成的，平面图形不同，得到的旋转体也不同，即使是同一平面图形，所选轴不同，得到的旋转体也不一样．判断旋转体，要抓住定义，分清哪条线是轴，什么图形，怎样旋转，旋转后生成什么样的几何体．反馈训练1、下列说法中正确的是()A．圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的B．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的C．圆柱不是旋转体D．圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的要点二圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图把柱、锥、台体沿一条侧棱或母线展开成平面图，这样便把空间问题转化成了平面问题，对解决简单空间几何体的面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题，是很有效的方法．典型例题2、如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？【思路启迪】把圆柱侧面展开，由图分析求解．【解】把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB=A′B′=2，AA′为底面圆的周长，且AA′=2π×1=2π，∴AB′=eq\r(A′B′2＋AA′2)=eq\r(4＋2π2)=2eq\r(1＋π2)，所以蚂蚁爬行的最短距离为2eq\r(1＋π2).方法指导：解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开图：反馈训练2、若本例中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如图所示，则它爬行的最短距离是多少？要点三简单组合体的结构特征判断实物图是由哪些简单几何体所组成的图形问题，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征，其次要善于将复杂的组合体“分割”成几个简单的几何体．简单组合体有以下三种形式：1．多面体与多面体的组合体：即由两个或两个以上的多面体组合而成的几何体．2．多面体与旋转体的组合体：即由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体．3．旋转体与旋转体的组合体：即由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体．典型例题3、请描述如图所示的组合体的结构特征．【思路启迪】本题主要考查简单组合体的结构特征和空间想象能力．依据柱、锥、台、球的结构特征依次作出判断．【解】(1)是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；(2)是由一个圆台挖去一个圆锥后剩下的部分得到的组合体；(3)是由一个四棱锥和一个四棱柱拼接而成的组合体．方法指导(1)明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的．(2)会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．反馈训练3、说出下列几何体的结构特征．考点巩固1．下列说法正确的是()A．圆锥的母线长等于底面圆直径B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心2．底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为()A．πB．2πC．3πD．4π3．下列说法正确的有()①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段②球的直径是球面上任意两点间的连线段③用一个平面截一个球，得到的是一个圆④不过球心的截面截得的圆的半径小于球半径A．①②B．①④C．①②④D．③④4．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形5．给出下列说法：(1)直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台(4)通过圆台侧面上一点，有无数条母线其中正确的说法是________(写出所有正确说法的序号)．6．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径之比是14，母线长为10，则圆锥的母线长是________．7．如图(1)所示，正三棱柱的底面边长是4cm、过BC的一个平面交侧棱AA′于D，若AD的长为2cm，求截面△BCD的面积．图(1)图(2)8.从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如下图所示的几何体．如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．考点巩固-答案1、详细分析：对于A，圆锥的母线长不一定等于底面圆直径；对于B，圆柱的母线与轴平行；对于C，圆台的母线与轴延长后相交于一点；D正确．答案：D2、详细分析：作出截面图，如图，由△A1B1C1∽△ABC，得B1C1=1，∴截面圆面积为答案：A3、详细分析：根据题意知①④正确．球面上任意两点的连线段不一定是直径，故②错．用一个平面截一个球，得到的是一个圆面，故③错．答案：B4、详细分析：该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面，故选D.答案：D5、详细分析：对于(1)，直角三角形绕斜边旋转形成两个同底的圆锥；对于(2)，若两平行截面平行于圆柱的轴，截面间的几何体不是一个旋转体；对于(4)，过圆台侧面上一点，只有一条母线．答案：(3)6、详细分析：把圆台还原为圆锥，利用三角形相似得，eq\f(x－10,x)=eq\f(1,4)(其中x为圆锥母线长)，∴x=eq\f(40,3).答案：eq\f(40,3)7、解：如图(2)，取BC的中点E，连接AE、DE，则AE⊥BC，DE⊥BC，∵AE=eq\f(\r(3),2)×4=2eq\r(3)，∴DE=eq\r(2\r(3)2＋22)=4.∴S=eq\f(1,2)BC·ED=eq\f(1,2)×4×4=8cm2.∴截面△BCD的面积为8cm2.8、解：过轴作截面，如下图所示：被平行于下底面的平面所截得的圆柱的截面圆的半径O1C＝R，设圆锥的截面圆的R半径O1D为x∵OA＝OB＝R，∴△OAB是等腰直角三角形．又∵CD∥OA，则CD=BC.故x=l.∴截面面积S=πR2－πx2=πR2－πl2=π(R2－l2)．1.2空间几何体的三视图和直观图1.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图【考纲要求】[学习目标]1．了解中心投影和平行投影．2．能画出简单空间图形(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图．3．能识别三视图所表示的立体模型．[目标解读]1．会画简单空间图形的三视图是重点；2．识别三视图所表示的立体模型是难点．【自主学习】1．投影(1)投影的定义由于光的照射，在物体后面的屏幕上可以留下这个物体的，这种现象叫做投影．其中，我们把叫做投影线，把的屏幕叫做投影面．(2)投影的分类①中心投影：光由散射形成的投影．②平行投影：在一束照射下形成的投影．当投影线时，叫做正投影，否则叫做．(3)投影的性质①中心投影的性质：中心投影的交于一点；当光源距离物体越近，投影形成的影子．②平行投影的性质：平行投影的投影线．2．三视图(1)分类①正视图：光线从几何体的向正投影，得到的投影图；②侧视图：光线从几何体的向正投影，得到的投影图；③俯视图：光线从几何体的向正投影，得到的投影图．(2)三视图的画法规则①视图都反映物体的长度——“长对正”；②视图都反映物体的高度——“高平齐”；③视图都反映物体的宽度——“宽相等”．特别提醒：画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．【考点突破】要点一平行投影与中心投影中心投影与平行投影都是空间图形的基本画法，是投影的两种形式．通过中心投影与平行投影将三维物体转换成二维平面物体，可以通过投影想象实际物体的形状，但还不能完全反映真实情况，只能反映部分形状，只有在特殊情况下反映真实尺寸．画立体几何图形时一般采用平行投影法，画实际效果图时采用中心投影法，中心投影的投影线交于一点，点光源离物体越近，投影形成的影子越大；平行投影的投影线是平行的．典型例题1、在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F分别是A′A、C′C的中点，则下列判断正确的是________．①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形【思路启迪】先根据平行投影的定义知投影线垂直于投影面，从而确定四边形BFD′E四点在各投影面的位置．再把各投影点连线成图．①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B、C、D、A，故投影是正方形，正确；②设正方体的边长为2，则AE＝1，取D′D的中点G，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，∴四边形AGD′E是平行四边形．但AE＝1，D′E＝eq\r(5)，故四边形AGD′E不是菱形．对于③，由②知是两个边长分别相等的平行四边形，从而③正确．方法指导：画出一个图形在一个投影面上的投影的关键是确定该图形的关键点(如顶点，端点等)，先画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在投影面上的投影．反馈训练1、如图甲所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE要点二画空间几何体的三视图1.三视图是用两两相互垂直的三个平面(正面、侧面、水平面)作为投影面，把物体放在这个空间内，分别向三个平面进行正投影，然后将水平投影绕水平面和正面的交线向下转90°，将侧面投影绕侧面和正面的交线向右转90°，就得到了三视图，即画出的三视图需要符合长对正、高平齐、宽相等的基本特征．2．画简单组合体的三视图时，先要分析该组合体的结构特征，再想象模型，从正前方、左方、正上方三个不同角度各能看到什么形状，再借助简单几何体的三视图，画出简单组合体的三视图．典型例题2、画出下列几何体的三视图．【思路启迪】先弄清几何体的结构特征，再确定三视图的形状，并注意轮廓线的虚实．【解】(1)三视图如图所示．方法指导：(1)在画三视图时，务必做到正(视图)侧(视图)高平齐，正(视图)俯(视图)长对正，俯(视图)侧(视图)宽相等．(2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．反馈训练2、画出如下图所示的四棱锥的三视图．要点三识别三视图所表示的几何体根据三视图还原几何体，要仔细分析和认真观察三视图并进行充分的想象，然后综合三视图的形状，从不同的角度去还原．通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定几何体的结构特征．典型例题3、下图是一个几何体的三视图，请你想象这个几何体的形状，并画出这个几何体．【思路启迪】根据几何体的结构特征进行空间想象，再进行合理分析．【解】这是一个简单的组合体：上部是一个圆柱，下部是一个长方体，几何体如图所示：方法指导：综合三视图的形状，从不同的角度去还原，看图和想图是两个重要的步骤，“想”于“看”中，形体分析的看图方法是解决此类问题的常用方法．反馈训练3、如图是一个几何体的三视图，由图可以判断此几何体是________．考点巩固1．如果图形所在的平面不平行于投影线，那么下列说法正确的是()A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．正方形的平行投影一定是矩形D．正方形的平行投影一定是菱形2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥A．①②B．①③C．①④D．②④3．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()4．给出下列命题：①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．5．如图所示，E、F分别为正方体面ADD′A′、面BCC′B′的中心，则四边形BFD′E在该正方体的面上的投影可能是图中的________．6．如图，直三棱柱的侧棱长和底边长均为2，正视图与俯视图如图，则该直三棱柱的侧视图面积为________．7．如图所示的几何体是由一个长方体木块锯成的．(1)判断该几何体是否为棱柱；(2)画出它的三视图．8．如图是用小正方体搭的一个几何体的正视图与俯视图，它最少需要多少个小正方体？最多需要多少个小正方体？考点归纳-答案1、详细分析：从平行投影的性质进行分析，平行投影只保持平行性，其他的如垂直、夹角等则不一定保持．答案：B2、详细分析：①正方体，三视图均相同；②圆锥，正视图和侧视图相同；③三棱台，三视图各不相同；④正四棱锥，正视图和侧视图相同．答案：D3、详细分析：根据正投影的性质，并结合侧视图要求及如图所示，AB的正投影为A′B′，BC的正投影为B′C′，BD′的正投影为B′D′，综上可知侧视图为选项D.答案：D4、详细分析：①中三视图完全相同的还可以是球；②中如果将一个圆柱横放，则其正视图和俯视图都是矩形；④中正视图和侧视图都是等腰梯形的几何体还可以是棱台．故正确的是③.答案：③5、详细分析：四边形BFD′E在正方体ABCD－A′B′C′D′的面ADD′A′和BCC′B′上的射影是C；在面DCC′D′上的射影是B，同理，在面ABB′A′、面ABCD、面A′B′C′D′上的射影也全是B.答案：BC6、详细分析：该直三棱柱的侧视图是长为2，宽为eq\r(3)的矩形，其面积为2eq\r(3).答案：2eq\r(3)7、解：(1)是棱柱．因为该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且相邻矩形的公共边都互相平行．(2)该几何体的三视图如图所示．8、解：最少需要9个小正方体；最多需要15个小正方体．1.2.3空间几何体的直观图【考纲要求】[学习目标]1．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．3．通过观察三视图和直观图，了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系．[目标解读]1．斜二测画法的概念是重点；2．应用斜二测画法画平面图形和立体图形的直观图是难点．【自主学习】1．直观图空间几何体的直观图通常是在投影下画出的空间图形．2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们分别画成对应的x′轴与y′轴，其交点为O′，且使∠x′O′y′=(或)，它们确定的平面表示．3．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，使∠x′O′z′=，且平行于O′z′的线段长度．【考点突破】要点一水平放置的平面图形的直观图的画法1.用斜二测画法画直观图要掌握：水平长不变，垂线长减半，直角化成45°，遮挡线条改虚线，竖线长也不变，也就是把握住一斜——已知图形中垂直于x轴的线段，在直观图中与x轴成45°或135°；二测——两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原长度的一半．2．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．典型例题1、如图是由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出其水平放置的直观图．【解】(1)以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图(1))，再建立坐标系x′O′y′，使两轴的夹角为45°(如图(2))；(2)以O′为中点，在x′轴上截取A′B′＝AB；分别过A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′＝eq\f(1,2)AE，B′C′＝eq\f(1,2)BC.在y′轴上截取O′D′＝eq\f(1,2)OD.(3)连接E′D′，E′C′，C′D′，得到平面图形A′B′C′D′E′.(3)擦去辅助线，就得到所求的直观图(如图(3))．方法指导：利用斜二测画法画直观图时应注意：(1)在已知图形中x轴，y轴的选取，应尽可能多的使图形的点落在坐标轴上，有的点不满足时应作辅助线，与x轴，y轴垂直的线段是最常用的辅助线．(2)垂直于x轴，y轴的线段在坐标系x′O′y′下的长度变化切勿混淆．反馈训练1、用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图．要点二空间几何体的直观图的画法几何体的直观图的画法规则，与平面图形的画法相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且平行于z轴的线段的平行性和长度都不变．在直观图上，x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和平面z′O′x′表示直立平面．画空间图形的直观图的原则：1．首先在原几何体上建立空间直角坐标系O－xyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与x′轴垂直．2．作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变．典型例题2、画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．【思路启迪】先画底面，即先按照水平放置的平面图形的直观图的画法画正六边形，再画侧棱，最后成图．【解】画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面．按x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱．过A、B、C、D、E、F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长．(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图)．方法指导：(1)空间几何体直观图的画法规则与平面图形的画法相比，只是多画一个与x轴和y轴都垂直的z轴，表示竖直方向；平行于z轴或在z轴上的线段，方向与长度都与原来保持一致．(2)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快、较准确地画出来．第一步：作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝2cm，AD＝1cm.第二步：过A作z′轴，使∠BAz′＝90°.分别过点B，C，D作z′轴的平行线，在z′轴及这组平行线上分别截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝2cm.第三步：连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，得到的图形就是所求正方体的直观图.反馈训练2、画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图。要点三将直观图还原为平面图形给出直观图来研究原图形，逆向运用斜二测画法规则，要求我们具有逆向思维的能力．画法关键之处同样是关键点的确定，逆向的规则为“水平长不变，垂直长增倍”，注意平行于y′轴的线段与平行于x′轴的线段为垂直关系．典型例题3、已知水平放置的平面图形的直观图是边长为1的正三角形ABC，求原图的面积．【思路启迪】根据斜二测画法的原则递推画出原三角形．【解】如下图①所示，作AD⊥BC于D，延长DB到E，使DE＝AD，连接AE，则∠AEC＝45°.画E′C′＝EC，E′B′＝EB，B′D′＝BD.过E′作E′A′⊥E′C′，使E′A′＝2EA，连接A′C′，A′B′，则△A′B′C′就是原来的图形(如上图②所示)．这里B′C′＝BC＝1，A′E′＝2AE＝2eq\r(2)AD＝2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(6)，∴△A′B′C′的面积为S＝eq\f(1,2)B′C′·A′E′＝eq\f(1,2)×1×eq\r(6)＝eq\f(\r(6),2).方法指导：把直观图还原为平面图形是画直观图的递推过程，解题时要正确运用斜二测画法，特别是对应边的长度应准确无误．反馈训练3、水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2，则AB边上的中线的实际长度为________．考点巩固1．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形以上结论中正确的是()A．①②B．①C．③④D．①②③④2．如下图所示是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是()A．8B．16C．32D．643．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.eq\f(\r(3),4)a2B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2D.eq\f(\r(16),16)a24．如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________．5．在水平放置的平面M内有一边长为1的正方形A′B′C′D′，如图所示，其中对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，则真实图形的面积为________．6．△ABC水平放置的直观图形如下图所示，O′A=O′B=O′C=2cm，那么：(1)△ABC的形状如何？(2)△ABC的面积是多少？7.如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，求梯形OABC的面积．8．如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．考点巩固-答案1、详细分析：斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错．答案：A2、详细分析：由图可知△AOB的底边长为4，高为16，所以面积为eq\f(1,2)×4×16＝32.答案：C3、详细分析：如图①②所示的实际图形和直观图．由图②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.答案：D4、详细分析：直观图中，O′B′＝eq\r(2)，原图形中OC＝AB＝eq\r(2\r(2)2＋12)＝3，OA＝BC＝1，∴原图形的周长是2×(3＋1)＝8.答案：85、详细分析：因为四边形A′B′C′D′是斜二测画法的直观图，且A′C′在水平位置，所以在真实图形中，D′A′所在边应该垂直A′C′所在边，B′C′所在边应该垂直A′C′所在边，如图所示．因为四边形水平放置，A′B′C′D′为正方形，所以在四边形ABCD中DA⊥AC，又因为DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝eq\r(2)，所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)6、解：将直观图还原为原图形如图所示：(1)△ABC为等腰三角形．(2)由(1)知，该△ABC为等腰三角形．∴S△ABC＝eq\f(1,2)×4×4＝8(cm2)．7、解：设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h.C′B′＝CB，O′A′＝OA.过C′作C′D⊥O′A′于D，则C′D＝eq\f(\r(2),2)h.由题意知eq\f(1,2)C′D′(C′B′＋O′A′)＝S，即eq\f(\r(2),4)h(C′B′＋O′A′)＝S.又原直角梯形面积为S′＝eq\f(1,2)·2h(CB＋OA)＝h(C′B′＋O′A′)＝eq\f(4S,\r(2))＝2eq\r(2)S.所以梯形OABC的面积为2eq\r(2)S.8、解：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面，利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取O′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面A′B′C′D′.(3)画正四棱锥顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．(4)成图．连接PA′、PB′、PC′、PD′、A′A、B′B、C′C、D′D，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图②所示．1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【考纲要求】[学习目标]1．通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的求法．2．能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积，并且熟悉台体、柱体和锥体之间的转换关系．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．[目标解读]1．求柱体、锥体、台体的表面积与体积是重点；2．求组合体的表面积与体积是难点．【自主学习】1．多面体与旋转体的表面积公式图形表面积公式多面体多面体的表面积就是的面积的和，也就是的面积．旋转体圆柱底面积：S底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝圆锥底面积：S底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝旋转体圆台上底面面积：S上底＝下底面面积：S下底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V=(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V=.(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则V=.特别提醒：柱、锥、台的侧面积的求法要注意柱、锥、台的几何特征，必要时要展开．【考点突破】要点一柱体、锥体、台体的表面积1.求柱体、锥体、台体的侧面积或表面积时，可直接使用公式．但像台体的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的．2．在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算出以上旋转体的母线长和底面圆的半径长．3．这些公式的推导方法向我们揭示了立体几何问题的解题思路，那就是主要通过空间概念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问题．典型例题1、已知四棱锥S－ABCD中，各侧面为正三角形，底面为正方形，且各棱长均为5，求它的侧面积、表面积．【思路启迪】由题意可知，四棱锥的四个侧面为全等的正三角形，底面为正方形．【解】设E为AB中点，则SE⊥AB，∴S侧＝4S△SAB＝4×eq\f(1,2)×AB×SE＝2×5×eq\r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)＝25eq\r(3).S表＝S侧＋S底＝25eq\r(3)＋25＝25(eq\r(3)＋1)．方法指导：求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．反馈训练1、若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是()A．3:2B．2:1C．4:3D．5:3要点二柱体、锥体、台体的体积求几何体的体积首先要明确几何体的形状及相应的体积公式，其次需要计算几何体的底面积和高．当几何体不规则或直接求体积有困难时，可利用转化思想，采用间接方法，如割补法等求其体积，也可借助体积公式和图形的性质转化为其他等体积的几何体，再求体积．典型例题2、已知过三棱台上底面的一边与一条侧棱平行的一个截面，它的两个顶点是下底面两边的中点，求棱台被分成两部分的体积的比．【思路启迪】注意应用棱台和棱柱的体积公式．【解】设棱台上底面△A′B′C′的面积为S′，棱台的高为h.由题意可知：△A′B′C′≌△DBE.∵△DBE∽△ABC，D，E分别是AB，BC的中点，∴eq\f(S△DBE,S△ABC)＝eq\f(1,4).∴S△ABC＝4S′.∴V台ABC－A′B′C′＝eq\f(1,3)h·(S′＋eq\r(S′·4S′)＋4S′)＝eq\f(1,3)h·7S′＝eq\f(7,3)h·S′，V柱DBE－A′B′C′＝S′·h.∴棱台被分成的两部分体积比为4:3或3:4.方法指导：求几何体的体积要分清是由什么几何体构成，利用相应几何体的体积公式进行求解．反馈训练2、如图，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1=eq\f(1,4)A1B1，则多面体P－BCC1B1的体积为()A.eq\f(8,3)B.eq\f(16,3)C．4D．16要点三三视图与几何体的表面积与体积把几何体的表面积与体积的计算与三视图结合考查是高考的一个热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的度量，再结合表面积或体积公式解题．典型例题3、(2012·江西卷)若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为()A.eq\f(11,2)B．5C.eq\f(9,2)D．4【思路启迪】先根据三视图复原几何体，再根据几何体的特征与体积公式求其体积．由三视图可以判断该几何体为六棱柱，直观图如图所示．AB＝1，AA1＝1.VABCDEF－A1B1C1D1E1F1＝4【答案】D方法指导：根据三视图首先确定几何体的结构特征，再依据三视图中的数据进行相应的计算．反馈训练3、(1)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()A．32B．16＋16eq\r(2)C．48D．16＋32eq\r(2)(2)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()A．8－eq\f(2π,3)B．8－eq\f(π,3)C．8－2πD.eq\f(2π,3)考点巩固1．一个圆锥的全面积是底面积的4倍，则轴截面的面积是底面积的()A.eq\f(\r(15),2π)倍B.eq\f(\r(15),π)倍C.eq\f(\r(2),π)倍D.eq\f(2\r(2),π)倍2．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥A1－BC1DA.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)3．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为eq\f(1,2)，则该几何体的俯视图可以是()4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．48B．32＋8eq\r(17)C．48＋8eq\r(17)D．805．如图是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点，现在沿三角形GFH所在的平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体体积的________．6．已知正三棱锥V－ABC的正视图，俯视图如图所示，其中VA=4，AC=2eq\r(3)，求该三棱锥的表面积．7．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l考点巩固-答案1、详细分析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h依题意得πr2＋πrl＝4πr2∴l＝3r，圆锥的高h＝eq\r(3r2－r2)＝2eq\r(2)r故S轴＝r·2eq\r(2)r＝2eq\r(2)r2，eq\f(S轴,S底)＝eq\f(2\r(2),π).答案：D2、详细分析：三棱锥A1－BC1D是正方体ABCD－A1B1C1D1去掉4个角得到的，其体积V＝1×1×1－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,3).答案：B3、详细分析：当俯视图为A中正方形时，几何体为棱长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B中圆时，几何体为底面半径为eq\f(1,2)，高为1的圆柱，体积为eq\f(π,4)；当俯视图为C中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为eq\f(1,2)；当俯视图为D中扇形时，几何体为圆柱的eq\f(1,4)，且体积为eq\f(π,4).答案：C4、详细分析：由该几何体的三视图得出原型为：S四边形A1B1C1D1＝4×S四边形ABCD＝4×4＝16，四边形ADD1A1与四边形BCC1B1为全等的梯形，面积均为：eq\f(2＋4×4,2)＝12，四边形ABB1A1与四边形CDD1C1均为矩形，其中BB1＝eq\r(42＋1)＝eq\r(17)，∴面积均为：4×eq\r(17)＝4eq\r(17).∴该几何体的全面积S＝8＋16＋12×2＋4eq\r(17)×2＝48＋8eq\r(17).答案：C5、详细分析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA与AG、AF都垂直，即HA垂直于三角形AGF所在的正方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF为底面，H为顶点的一个三棱锥，如果我们假设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3.三棱锥的底面是直角三角形AGF，而∠FAG为90°，G、F又分别为AD、AA1的中点，∴AF＝AG＝eq\f(1,2)a，∴S△AGF＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)a×eq\f(1,2)a＝eq\f(1,8)a2，又AH＝eq\f(1,2)a，∴锯掉一角的体积为V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a×eq\f(1,8)a2＝eq\f(1,48)a3，∴锯掉的这块的体积是原正方体体积的eq\f(1,48).答案：eq\f(1,48)6、解：由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2eq\r(3)，取BC的中点D，连接VD，则VD＝eq\r(VB2－BD2)＝eq\r(42－\r(3)2)＝eq\r(13)，∴S△VBC＝eq\f(1,2)×VD×BC＝eq\f(1,2)×eq\r(13)×2eq\r(3)＝eq\r(39)，S△ABC＝eq\f(1,2)×(2eq\r(3))2×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)，∴三棱锥V－ABC的表面积为3S△VBC＋S△ABC＝3eq\r(39)＋3eq\r(3)＝3(eq\r(39)＋eq\r(3))．7、详细分析：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6和8的矩形，高为4的四棱锥．设底面矩形为ABCD.如图所示，AB＝8，BC＝6，高VO＝4.(1)V＝eq\f(1,3)×(8×6)×4＝64.(2)四棱锥中侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形．在△VBC中，BC边上的高h1＝eq\r(VO2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2)＝eq\r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))2)＝4eq\r(2).在△VAB中，AB边上的高h2＝eq\r(VO2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,2)))2)＝eq\r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2)＝5.所以此几何体的侧面积S＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6×4\r(2)＋\f(1,2)×8×5))＝40＋24eq\r(2).8、解：如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB∴CD＝eq\f(BC－AD,cos60°)＝2a，AB＝CDsin60°＝eq\r(3)a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a∴DO＝eq\f(1,2)DD′＝a.由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱母线长eq\r(3)a，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径a.∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2∴组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4eq\r(3)＋9)πa2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V柱＝Sh＝π·(2a)2·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa3.V锥＝eq\f(1,3)S′h＝eq\f(1,3)·π·a2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3),3)πa3.∴V＝V柱－V锥＝4eq\r(3)πa3－eq\f(\r(3),3)πa3＝eq\f(11\r(3),3)πa3.1.3.2球的体积和表面积【考纲要求】[学习目标]1．了解球的体积和表面积公式．2．会用球的体积和表面积公式解决实际问题．3．培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力．[目标解读]1．球的表面积与体积公式的应用是重点；2．解决球的组合体及三视图中球的有关问题是难点．【自主学习】1．球的体积公式是V球=(R为球的半径)．2．球的表面积公式是S球=(R为球的半径)．特别提醒：在球的截面中，经过球心的截面是最大的圆．【考点突破】要点一球的表面积与体积1.球的体积是球体所占空间的大小的度量，设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数即V=eq\f(4,3)πR3.2．球的表面积是对球的表面大小的度量，它也是关于球半径的函数即S=4πR2.典型例题1、(1)已知球的直径为6cm，求它的表面积和体积；(2)已知球的表面积为64π，求它的体积；(3)已知球的体积为eq\f(500,3)π，求它的表面积．【思路启迪】利用条件确定半径R代入相关公式可求．【解】(1)∵直径为6cm，∴半径R＝3cm，∴表面积S球＝4πR2＝36π(cm2)，体积V球＝eq\f(4,3)πR3＝36π(cm3)．(2)∵S球＝4πR2＝64π，∴R2＝16，即R＝4，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×43＝eq\f(256,3)π.(3)∵V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500,3)π方法指导：已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来，已知体积或表面积也可以求其半径．反馈训练1、(1)把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为()A．RB．2RC．3RD．4R(2)若两球表面积之比为4:9，则其体积之比为_____．要点二球的切接问题球通常可以与其他空间几何体构成一个组合体，主要包括“内切”和“外接”等有关的问题，像长方体内接于球，正方体内接于球，正四面体内接于球，球内切于正方体，球内切于正四面体，球内切于圆台等组合体．解决这类问题的关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．典型例题2、正三棱锥(三棱锥的底面是正三角形，顶点在底面的投影是底面三角形的中心)的高为1，底面边长为2eq\r(6)，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积．【思路启迪】本题关键是求出球的半径．类比三角形内切圆半径的求法(即分割法)，求出三棱锥内切球半径．【解】：如图，过侧棱PA与球心O作截面PAE，交侧面PBC于PE.∵△ABC为正三角形，易知AE既是△ABC底边BC上的高，又是BC边上的中线．作正三棱锥的高PD，则PD过球心O，且D是正△ABC的中心，∵AB＝2eq\r(6)，∴DE＝eq\f(1,3)AE＝eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(2).∴PE＝eq\r(12＋\r(2)2)＝eq\r(3).∴S全＝S侧＋S底＝3·eq\f(1,2)·2eq\r(6)·eq\r(3)＋eq\f(\r(3),4)(2eq\r(6))2＝9eq\r(2)＋6eq\r(3)，即棱锥的全面积为9eq\r(2)＋6eq\r(3).以球心为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，球半径为r.则V1＋V2＋V3＋V4＝eq\f(1,3)r·S全＝eq\f(1,3)h·S△ABC，∴r＝eq\f(S△ABC·h,S全)＝eq\f(\f(\r(3),4)·2\r(6)2·1,9\r(2)＋6\r(3))＝eq\r(6)－2，∴S球＝4πr2＝4π(eq\r(6)－2)2.方法指导：(1)与球有关的组合体问题一种是内切，一种是外接，明确切点和接点的位置，并作出合适的截面图，是确定有关元素间的数量关系的关键．(2)球外接于正方体、长方体时，正方体、长方体的对角线长等于球的直径．(3)球与旋转体的组合，通常作轴截面解题．反馈训练2、有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积．要点三球的截面问题解决球的问题时常常用到球的轴截面，在轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心与圆心的连线所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．球心是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置．典型例题3、已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．【思路启迪】要求球的表面积，只需求出球的半径，因此要抓住球的轴截面(过直径的球的平面)．【解】如图所示，设以r1为半径的截面面积为5π，以r2为半径的截面面积为8π，O1O2＝1，球的半径为R，OO2＝x，那么可得下列关系式：req\o\al(2,2)＝R2－x2且πreq\o\al(2,2)＝π(R2－x2)＝8π，req\o\al(2,1)＝R2－(x＋1)2且πreq\o\al(2,1)＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π，即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，∴2x＝2，即x＝1.又∵π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3.球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π(平方单位)．方法指导：球的轴截面(球的过直径的截面)是将球的问题(立体问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．反馈训练3、用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()A.eq\f(32π,3)B.eq\f(8π,3)C．8eq\r(2)πD.eq\f(8\r(2)π,3)考点巩固1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()A．2倍B．2eq\r(2)倍C.eq\r(2)倍D．3eq\r(2)倍2．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为()A．4:3B．3:1C．3:2D．9:43．某几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8＋\f(4π,3)))m3B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8＋\f(2π,3)))m3C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(4π,3)))m3D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(2π,3)))m34．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________．5．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的eq\f(3,16)，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为__________．6．据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑．在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点在圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积之比．7．一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少．8．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC＝30°)考点巩固-答案1、详细分析：设原来球的半径为r，变化后的球半径为r′，∴4πr′2＝2·4πr2，∴r′＝eq\r(2)r.∴eq\f(V′,V)＝eq\f(\f(4,3)πr′3,\f(4,3)πr3)＝eq\f(\r(2)r3,r3)＝2eq\r(2).答案：B2、详细分析：作轴截面如图，则PO＝2OD，∠CPB＝30°，CB＝eq\f(\r(3),3)PC＝eq\r(3)r，PB＝2eq\r(3)r，圆锥侧面积S1＝6πr2，球的面积S2＝4πr2，S1:S2＝3:2.答案：C3、详细分析：该几何体是一棱长为2的正方体，上面放了一个半径为1的半球，所以其体积为23＋eq\f(2π,3)＝8＋eq\f(2π,3)(m3)．答案：B4、详细分析：据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成，如上图所示．故该几何体的表面积为S＝S圆柱＋S球＝2π＋6π＋4π＝12π.答案：12π5、详细分析：设两圆锥高分别为h1，h2，(设h2<h1)球半径为R，圆锥底面半径为r，如图，S1S2＝2R，AO1＝r，且∠S1AS2＝90°，AO1⊥S2S1，∴AOeq\o\al(2,1)＝S1O1·S2O1，即r2＝h1h2，又∵πr2＝eq\f(3,16)4πR2，∴r＝eq\f(\r(3),2)R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h1h2＝\f(3,4)R2,h1＋h2＝2R))∴h1，h2分别为eq\f(3,2)R，eq\f(1,2)R，∴eq\f(h2,h1)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)6、解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则V圆柱＝πr2h，图中圆锥的底面半径为r，高为h，则V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h，球的半径为r，所以V球＝eq\f(4,3)πr3，又h＝2r所以V圆锥:V球:V圆柱＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)πr2h)):eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πr3)):(πr2h)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)πr3)):eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πr3)):(2πr3)＝1:2:3.7、解：设球未取出时高PC＝h，球取出后水面高PH＝x.如图所示，∵AC＝eq\r(3)r，PC＝3r，∴以AB为底面直径的圆锥容积为V圆锥＝eq\f(1,3)πAC2·PC＝eq\f(1,3)π(eq\r(3)r)2·3r＝3πr3，V球＝eq\f(4,3)πr3.球取出后水面下降到EF，水的体积为V水＝eq\f(1,3)πEH2·PH＝eq\f(1,3)π(PH·tan30°)2·PH＝eq\f(1,9)πx3.而V水＝V圆锥－V球，即eq\f(1,9)πx3＝3πr3－eq\f(4,3)πr3，∴x＝eq\r(3,15)r.故球取出后水面的高为eq\r(3,15)r.8、解：如图所示，过C作CO1⊥AB于O1.在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝eq\r(3)R，BC＝R，CO1＝eq\f(\r(3),2)R.∴S球＝4πR2，S圆锥AO1侧＝π×eq\f(\r(3),2)R×eq\r(3)R＝eq\f(3π,2)R2，S圆锥BO1侧＝π×eq\f(\r(3),2)R×R＝eq\f(\r(3)π,2)R2，∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝eq\f(11π,2)R2＋eq\f(\r(3)π,2)R2＝eq\f(11＋\r(3),2)πR2.故旋转所得几何体的表面积为eq\f(11＋\r(3),2)πR2.章末小结【知识框架】第二章、点、直线、平面之间的位置关系本章概述空间点、直线、平面之间的位置关系，直线与平面、平面与平面平行的判定及其性质以及直线与平面、平面与平面垂直的判定及其性质，它们是我们认识现实世界中物体的形状、大小与位置关系的重要工具和必要的基础知识，对培养空间想象力和逻辑推理能力有一定的辅助和推进作用．另外，本章始终采用直观感知、操作确认、思维论证、度量计算等方法认识和探索几何图形的结构及其性质．本章共分三大节：第一大节是介绍空间点、直线、平面之间的位置关系；第二大节是研究直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；第三大节是研究直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质．学会准确地使用空间几何的数学语言表述几何对象的位置关系，体会公理化思想，培养逻辑思维能力，解决简单的推理论证及应用问题．本章重点是平面的基本性质，空间两直线、直线与平面、平面与平面间的平行与垂直关系．本章难点是直线、平面之间的平行与垂直关系的互相转化，异面直线所成的角及直线与平面所成的角的计算方法．2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面【考纲要求】[学习目标]1．知道平面是不加定义的概念(原始概念)，初步体会平面的基本属性，会用图形与字母表示平面．2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．[目标解读]1．用符号语言描述点、直线、平面之间的位置关系是重点；2．用文字语言、符号语言、图形语言描述三个公理是难点．【自主学习】1．平面(1)平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是的．(2)平面的画法①水平放置的平面通常画成一个，它的锐角通常画成，且横边长等于其邻边长的，如图①.②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用画出来．如图②.2．点、线、面之间的位置关系直线、平面都可以看成的集合．点P在直线l上，记作；点P在直线l外，记作；点A在平面α内，记作；点A在平面α外，记作；直线l在平面β内，记作；直线l在平面α外，记作.3．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内，，且，⇒l⊂α公理2的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条，⇒α∩β＝l，且P∈l特别提醒：点、线、面间的关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线与平面都是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于将图形视为点集．故点与直线之间的关系，点与平面之间的关系用符号∈，∉表示，直线与平面之间的关系用⊂，⊄表示.【考点突破】要点一平面的概念及点、线、面的位置关系1.生活中的平面是比较平整、有限的，而立体几何中所说的平面是从生活中常见平面中抽象、概括出来的，是理想的、绝对平整的、无限延展的．立体几何中的平面无大小、厚薄之分，是不可度量的．2．平面通常用希腊字母α，β，γ等表示(常把这些字母写在代表平面的平行四边形的一个角