2025年中考数学总复习《利用二次函数求线段周长最值问题》专项测试卷及答案

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《利用二次函数求线段周长最值问题》专项测试卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，抛物线与轴交于和，与轴交于点，点为的中点，点、分别为轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接、EF、CF，求四边形周长最小时点、的坐标．2．已知：二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上．

(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值；(3)若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点坐标．3．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若已知B点的坐标为B（6，0）．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）M为线段BC上方抛物线上一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；

4．若二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．①若点N在线段上，且，求点M的坐标；②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．5．抛物线与轴交于A，B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．(1)求m的值及顶点D的坐标；(2)如图1，若点E是抛物线上对称轴右侧一点，设点E到直线AC的距离为，到抛物线的对称轴的距离为,当时，请求出点E的坐标．(3)如图2，直线交抛物线于点M，N，连接AM，AN分别交y轴的正半轴和负半轴于点P，Q，试探究线段OP，OQ之间的数量关系．6．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值；(3)如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且经过点，点是抛物线对称轴上的动点，是否存在点，使得的值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．8．如图，直线y＝x－1与抛物线y＝ax＋x＋c交于点A、B两点，点A在y轴上，点B的横坐标为6，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C．（1）求此抛物线的表达式；（2）若直线PQ∥y轴，与抛物线、直线AB、x轴分别交于点P、Q、D，且点D位于线段OC之间，求线段PQ长度的最大值；（3）连接BP、CQ，当四边形PQCB是平行四边形时，求点D的坐标．9．如图，抛物线与轴的交点分别是，与y轴的交点为C，直线是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P是直线上一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；(3)若点E是抛物线上且位于直线BC上方的一个动点，求的面积最大时点E的坐标．10．如图，二次函数y＝﹣x2+x+6与x轴相交A，B两点，与y轴相交于点C．（1）若点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点P，垂足为F，当PE﹣2EF取得最大值时，在抛物线y的对称轴上找点M，在x轴上找点N，使得PM+MN+NB的和最小，若存在，求出该最小值及点N的坐标；若不存在，请说明理由．（2）在（1）的条件下，若点P′为点P关于x轴的对称点，将抛物线y沿射线BP′的方向平移得到新的抛物线y′，当y′经过点A时停止平移，将△BCN沿CN边翻折，点B的对应点为点B′，B′C与x轴交于点K，若抛物线y′的对称轴上有点R，在平画内有点S，是否存在点R、S使得以K、B′、R、S为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角些标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣的图像经过点A（﹣1，0），C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式及其顶点的坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个．12．如图，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C，OA＝OC，点A的坐标为（﹣3，0）．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；(3)设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．13．如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F、E的坐标．14．如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题：

(1)求抛物线的解析式；(2)在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由；(3)过点作轴的垂线，交于点，求的最大值．15．如图抛物线与x轴交于，两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得的周长最小？若存在，求出M点的坐标：若不存在，请说明理由．参考答案1．当四边形周长最小时，点的坐标，点的坐标为．【分析】作点关于轴的对称点，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，交轴于点．求出直线的解析为，进一步可得出结论．【详解】如图，作点关于轴的对称点，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，交轴于点．由对称知此时四边形的周长为．此时四边形的周长最小，最小值为．抛物线对称轴为直线．．为的中点．．设直线的解析式为．将点、的坐标代入可得解得直线的解析为．令，则，点的坐标为．令，则，点的坐标为．当四边形周长最小时，点的坐标，点的坐标为．【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，四边形与二次函数的结合，线段的和差最值与二次函数的结合，将不共线的线段转化为共线为解题关键．2．(1)(2)(3)符合题意的点坐标为：或或或．【分析】（1）将A、D点代入抛物线方程，即可解出b、c的值，抛物线的解析式可得；（2）点C、D关于抛物线的对称轴对称，连接，点P即为AC与对称轴的交点，的最小值即为AC的长度，用勾股定理即可求得AC的长度；（3）求得B点坐标，设点坐标，利用三角形面积公式，即可求出m的值，点的坐标即可求得．【详解】（1）解：因为二次函数的图象经过所以，解得．所以二次函数解析式为；（2）解：抛物线对称轴和关于轴对称，连接与对称轴的交点就是点

此时最小；（3）解：设点坐标令，解得或即B点坐标为则三角形的面积为点到的距离为故当点纵坐标为时，解得：符合题意的点坐标为：或；当点纵坐标为时，解得：或符合题意的点坐标为：或综上所述：符合题意的点坐标为：或或或．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、两点之间线段最短、勾股定理、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．3．（1）抛物线解析式为，抛物线对称轴为直线；（2）当P点坐标为（2，2）时，使得△PAC的周长最小；（3）【分析】（1）把B（6，0）代入抛物线中求出抛物线解析式，即可求出抛物线对称轴；（2）连接PC，PA，PB，先求出点C的坐标为（0，3），由A、B关于直线对称，得到PA=PB，则△PAC的周长=PC+AC+PA=PC+PA+PB，故要使△PAC周长最小，即要使PC+PB最小，则当P、C、B三点共线时，PC+PB最小，此时P在位置，，求出直线BC的解析式为，令x=2，则，即可得到的坐标为（2，2），则当P点坐标为（2，2）时，使得△PAC的周长最小；（3）设M点坐标为（m，），由MN∥y轴，且N在直线BC上，得到N点坐标为（m，），则，然后利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线经过B（6，0）∴∴∴抛物线解析式为∴抛物线对称轴为直线；（2）如图所示，连接PC，PA，PB∵点C是抛物线与y轴的交点∴点C的坐标为（0，3）∵A、B是抛物线与x轴的交点∴A、B关于直线对称∴PA=PB∴△PAC的周长=PC+AC+PA=PC+PA+PB∴要使△PAC周长最小，即要使PC+PB最小∴当P、C、B三点共线时，PC+PB最小，此时P在位置设直线BC解析式为∴∴∴直线BC的解析式为令x=2，则∴的坐标为（2，2）∴当P点坐标为（2，2）时，使得△PAC的周长最小；（3）如图所示，设M点坐标为（m，）∵MN∥y轴，且N在直线BC上∴N点坐标为（m，）∴∵∴当时，MN有最大值．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数对称性—最短路径问题，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解．4．(1)(2)①；②【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；（2）①先求出直线的表达式为，然后设点N的坐标为．可得．可得到．再由，即可求解；②连接与交与点E．设点M的坐标为，则点N的坐标为根据正方形的性质可得E的坐标为，进而得到P的坐标．再由点P在抛物线上，即可求解．【详解】（1）解：二次函数的图象经过点．又抛物线经过点，对称轴为直线解得∶抛物线的表达式为．（2）解∶①设直线的表达式为．点A，B的坐标为，∴，解得∶直线的表达式为．根据题意得∶点C与点关于对称轴直线对称．设点N的坐标为．轴．∴．解，得．点M的坐标；②连接与交与点E．设点M的坐标为，则点N的坐标为四边形是正方形．∵MN⊥x轴轴．E的坐标为．．．∴P的坐标．点P在抛物线上．解，得．点P在第四象限舍去．即．点M坐标为．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键．5．(1)(2)(3)【分析】（1）将点代入得的值，从而得出函数解析式，求出顶点的坐标；（2）过点作轴的平行线，交直线于，交轴于，作于，利用，得，设，表示出的长，从而列出的方程；（3）设和，利用待定系数法可得直线的解析式为，直线的解析式为，利用根与系数的关系得出、的横坐标，再利用直线与抛物线的交点是、N，求出、的横坐标的和，从而解决问题．【详解】（1）将点代入得解得顶点；（2）过点作轴的平行线，交直线于，交轴于，作于对称轴是直线设由待定系数法可知，直线的解析式为解得或（舍；（3）设利用待定系数法可得直线的解析式为直线的解析式为当时由根与系数的关系得同理得当时．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，抛物线于直线的交点问题，利用“斜化直”思想是解决（2）的关键，利用根与系数的关系是解题（3）的关键．6．(1)(2)的周长的最小值，点M的坐标为(3)存在，或或【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）连接交于点M，此时最小，进而求解；（3）分、两种情况，然后分别求解即可．【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：解得∴抛物线的解析式为：；（2）解：如图，连接交于点M，此时最小又因为是定值，所以此时的周长最小．令时，则有，即∴，同理∴此时的周长；是抛物线的对称轴，抛物线与x轴交点和，对称轴为由，得又∵点M在第四象限，且在抛物线的对称轴上；（3）解：存在这样的点P，使是以为腰的等腰三角形．设直线的解析式为，把点B、C坐标代入得：解得：∴直线的解析式为∵点P的横坐标为m∴点，点则当时，则，解得（舍去）或4；当时，则，解得（舍去）或；综上，或或．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．7．存在，【分析】作点M关于函数对称轴的对称点（10，6），连接C交函数对称轴于点P，则点P为所求，即可求解．【详解】解：如图，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，点即为所求设与轴交于点.∵点，点关于抛物线对称轴对称∴∴.∴此时的值最小.将，代入得解得∴抛物线的解析式为.∴，抛物线的对称轴为直线.∴∴.∴即的最小值为.【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到点的对称性、勾股定理的运用等，其中，本题提供的利用点的对称性，求解线段和的一般方法．8．（1）；（2）；（3）D或【分析】（1）根据直线解析式求得点A、B两点坐标，然后代入抛物线解析式求解即可；（2）设P，求得线段的长度，配方法求解即可；（3）由平行四边形的性质可得，根据（2）中的式子，求解一元二次方程即可．【详解】（1）直线y＝x－1与抛物线交于点A、B两点，点A在y轴上，则A（0，－1），∴c＝－1点B的横坐标为6，则y＝×6－1＝2，∴B（6，2）．把x＝6，y＝2代入得：∴抛物线的表达式；（2）设P、则Q；∵，当时，PQ最大＝（3）当PQ//BC//y轴且PQ＝BC时，四边形PQCB是平行四边形即，解得∴D或【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．9．(1)(2)P的坐标(3)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）连接BC，根据轴对称的性质得到点P的位置，然后求出BC所在直线的表达式，即可求出点P的坐标；（3）作轴交BC于点F，根据题意设出点E和点F的坐标，进而表示出的面积，最后根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）抛物线经过两点∴，解得∴；（2）如图，连接BC，直线BC与直线的交点为P，由于点A、B关于直线对称则此时的点P使的周长最小设直线的解析式为将代入得，解得∴∴由，所以对称轴是直线时当时，即P的坐标．（3）如图，作轴交BC于点F由（2）得直线解析式为：此时，点的坐标是．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和三角形综合题，解题的关键是根据题意求出二次函数解析式．10．（1）点H（9，﹣3），PM+MN+NB的和最小值为9；（2）（，﹣）或（﹣，）；【分析】（1）过点B作直线HB与x轴的夹角为45°，则直线HB的表达式为：y＝x﹣12，过点C作CH⊥BH于点H，交函数对称轴于点M，交x轴于点N，则点N为所求，即可求解；（2）分B′K为菱形的一条边、B′K为菱形的一条对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）二次函数y＝﹣x2+x+6与x轴相交A，B两点，与y轴相交于点C则点A、B、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（12，0）、（0，6）则直线BC的表达式为：y＝﹣x+6设点P（x，﹣x2+x+6），则点E（x，﹣x+6）PE﹣2EF＝yP﹣3yE＝﹣x2+x+6﹣3（﹣x+6）＝﹣x2+3x﹣12当x＝9时，PE﹣2EF有最大值，此时，点P（9，6）即点C是点P关于函数对称轴的对称点过点B作直线HB与x轴的夹角为45°，则直线HB的表达式为：y＝x﹣12…①过点C作CH⊥BH于点H，交函数对称轴于点M，交x轴于点N，则点N为所求BH＝BN，PM+MN+NB的和最小值＝CM+MN+NH＝CH即为最小值同理直线CH的表达式为：y＝﹣x+6…②当y＝0时，x＝6，故点N（6，0）联立①②并解得：x＝9，故点H（9，﹣3）PM+MN+NB的和最小值＝CH＝＝9；（2）存在，理由：y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+点P（9，6），则点P′（9，﹣6）则直线BP′表达式中的k值为：2设抛物线向左平移m个单位，则向下平移2m个单位则y′＝﹣（x﹣+m）2++2m将点A的坐标代入上式并解得：m＝3则y′＝﹣x2+x+3，令y′＝0，则x＝﹣3或6，故点N（6，0）函数的对称轴为：x＝同理可得：直线CN的表达式为：y＝﹣x+6，直线BB′的表达式为：y＝x﹣12联立上述两式并解得：x＝9即交点坐标为：（9，﹣3），该点是点B（12，0）和点B′的中点由中点公式可得：点B′（6，﹣6）同理可得：直线CB′的表达式为：y＝﹣2x+6，令y＝0，则x＝3，故点K（3，0）设点S（m，n），点R（，s），而点B′、K的坐标分别为：（12，0）、（3，0）；①当B′K为菱形的一条边时点K向右平移3个单位向下平移6个单位得到B′同样，点R（S）向右平移3个单位向下平移6个单位得到S（R）即+3＝m，s﹣6＝n或﹣3＝m，s+6＝n，且KR＝B′R，即（6﹣）2+（s+6）2＝（）2+s2解得：m＝或﹣，n＝﹣或即点S的坐标为：（，﹣）或（﹣，）；②当B′K为菱形的一条对角线时由中点公式得：6+3＝m+，s﹣6＝n，且KR＝B′R即（6﹣）2+（s+6）2＝（）2+s2解得：m＝，故点P（，﹣）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、菱形的性质、点的对称性等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．11．（1），抛物线的顶点坐标为（）；（2）最小值为；（3）5个【分析】(1)将A、C三点的坐标代入y=ax2+bx﹣，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，进而得到其顶点坐标；(2)连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．(3)当以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM=AB；②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM=AB；③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM=BM．由M点的个数则可得出点N的个数有5个．【详解】(1)∵二次函数的图像经过点A(﹣1，0)C(2，0)∴解得：∴二次函数的表达式为∵y=∴抛物线的顶点坐标为()；(2)如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA=1，OB=∴∵∴∠ABO=30°∴PH=PB∴PB+PD=PH+PD=DH∴此时PB+PD最短(垂线段最短);∵抛物线的顶点坐标为()∴∵∠ABO=30°∴∠HAD=60°在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°∴sin60°=∴DH=∴PB+PD的最小值为；(3)①以A为圆心AB为半径画弧，因为AB＞AD，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且AM=AB，即M点存在两个，所以满足条件的N点有两个；②以B为圆心AB为半径画弧，因为，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且BM=AB，即M点有两个，所以满足条件的N点有两个；③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM=BM，因为M点有一个，所以满足条件的N点有一个；则满足条件的N点共有5个故答案为：5．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求二次函数的解析式，菱形的判定，锐角三角函数定义，垂线段最短的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题，学会利用数形结合解决问题．12．(1)(2)P（4，21），（﹣4，5）(3)【分析】（1）根据OA＝OC，可求c；再依据对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0），可求a、b，即得求抛物线解析式．（2）可求△BOC的面积，根据，可求P点坐标．（3）求出直线AC解析式，设点Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0），则点D，根据二次函数的最值求法，可求QD的最大值．【详解】（1）令x＝0，则y＝c∴OC＝﹣c∵OA＝OC∴3＝﹣c，即c＝﹣3．∵对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0）根据题意得：解之：．∴抛物线解析式．（2）当x＝0时，y＝﹣3∴点C（0，﹣3），即OC＝3∵A，B关于对称轴对称∴B（1，0），即OB＝1∴设∴＝×3×|x|∵＝∴∴x＝±4∴P（4，21），（﹣4，5）．（3）∵点A（﹣3，0），点C（0，﹣3）∴直线AC解析式y＝﹣x﹣3∴设点Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0）则点∴∴当m＝﹣时，QD的最大值为．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键13．(1)y＝－x2＋4x＋5；(2);(3)F(，0)，E(0，)．【分析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，C两点的坐标，再根据待定系数法可求二次函数的表达式；（2）根据坐标轴上点的坐标特征由二次函数的表达式求出B点的坐标，根据待定系数法可求一次函数BC的表达式，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的纵坐标为-n+5，D点的坐标为D（n，-n2+4n+5），根据两点间的距离公式和二次函数的最值计算可求线段ND长度的最大值；（3）由题意可得二次函数的顶点坐标为H（2，9），点M的坐标为M（4，5），作点H（2，9）关于y轴的对称点H1，可得点H1的坐标，作点M（4，5）关于x轴的对称点HM1，可得点M1的坐标连结H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，可得H1M1+HM的长度是四边形HEFM的最小周长，再根据待定系数法可求直线H1M1解析式，根据坐标轴上点的坐标特征可求点F、E的坐标．【详解】解：(1)∵直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C∴A(－1，0)，C(0，5)∵二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象过A，C两点∴解得∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5；(2)如解图①第2题解图①∵点B是二次函数的图象与x轴的交点∴由二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5得，点B的坐标B(5，0)设直线BC解析式为y＝kx＋b∵直线BC过点B(5，0)，C(0，5)∴解得∴直线BC解析式为y＝－x＋5设ND的长为d，N点的横坐标为n则N点的坐标为(n，－n＋5)D点的坐标为(n，－n2＋4n＋5)则d＝|－n2＋4n＋5－(－n＋5)|由题意可知：－n2＋4n＋5＞－n＋5∴d＝－n2＋4n＋5－(－n＋5)＝－n2＋5n＝－(n－)2＋∴当n＝时，线段ND长度的最大值是；（3）∵点M(4，m)在抛物线y＝－x2＋4x＋5上∴m＝5，∴M(4，5)．∵抛物线y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9∴顶点坐标为H(2，9)如解图②，作点H(2，9)关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为H1(－2，9)；作点M(4