2023-2024学年河北省邢台市一中高一下学期5月月考数学试题及答案

试题PAGE1试题试题PAGE2试题邢台一中2023-2024学年第二学期第三次月考高一年级数学试题考试范围：平面向量及其应用、复数、立体几何初步、统计（第一节）说明：1．本试卷共4页，满分150分.2．请将所有填写在答题卡上，答在试卷上无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z满足，则z在复平面中对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．如图所示，在中，，则（

）

A． B．C． D．3．为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽查了其中100名同学的视力情况.在这个过程中，100名同学的视力情况（数据）是（）A．总体 B．个体C．总体的一个样本 D．样本容量4．某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（

）A．最多有1651名学生 B．最多有1649名学生C．最少有618名学生 D．最少有617名学生5．已知正四面体，M为AB中点，则直线CM与直线BD所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题：①若，，则

②若，，则③若，，则

④若，，则其中正确命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．47．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.如图，在重檐四角攒尖中，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的倍，则侧面与底面所成角的大小为（

）

A． B． C． D．8．平行四边形ABCD中，，将三角形ABD沿着BD翻折至三角形，则下列直线中有可能与直线垂直的是（

）①直线；②直线；③直线；④直线.A．①② B．①④C．②③ D．③④二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法中正确的是（

）A．若直线与平面不平行，则l与相交B．直线在平面外，则直线上不可能有两个点在平面内C．如果直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行D．如果是异面直线，，，则，是异面直线10．已知复数，下列结论正确的有（

）A． B．若，则C． D．11．如图，正三棱柱的各棱长均为1，点是棱的中点，点满足，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则（

）

A．三棱锥的体积为定值B．的最小值为C．平面D．当时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12．如图是正方体平面展开图，在这个正方体中∶（1）BM//ED；（2）CN和BE是异面直线；（3）CN和BM成60°角；（4）DM⊥BN；以上四个命中正确的序号是；13．要考查某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子依次是．（下面抽取了随机数表第1行至第3行）03474373863696473661469863716233261680456011141095977494677442811457204253323732270736075124517989731676622766565026710732907978531355385859889754141014．根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为，高为，里面注入高为的水，将一个半径为的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为．（注：）四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．某化工厂三个车间男､女工人数如下表：第一车间第二车间第三车间女工人数150100男工人数200若按车间人数用分层抽样的方法抽取100名工人，则应在第一车间抽取35名工人，在第二车间抽取25名工人.(1)求这三个车间的工人总数及的值；(2)若按工人性别用分层抽样的方法在第三车间抽取8名工人，则其中有5名女工.求该化工厂这三个车间女工与男工的人数比.16．如图，在棱长为的正方体中，，分别是，中点，过，，三点的平面与正方体的下底面相交于直线.

(1)画出直线的位置，并说明作图依据；(2)正方体被平面截成两部分，求较小部分几何体的体积.17．如图，四边形是边长为4的菱形，平面将菱形沿对角线折起，使得点到达点的位置，且平面平面．（1）求证：平面；（2）若，求多面体体积．18．如图，在四棱柱中，是边长为2的菱形，且，侧面底面为中点.(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥的体积.19．如图，在直三棱柱中，M，N，P分别为的中点．

(1)求证：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，在上是否存在一点E，使得与BP垂直？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．参考答案1．D【分析】设，代入条件根据复数相等求出，进而可得z在复平面中对应的点所在象限.【详解】设，则由得，整理得，所以，解得，所以在复平面中对应的点为，在第四象限.故选：D.2．A【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.【详解】根据向量的线性运算法则，可得：.故选：A.3．C【分析】根据总体，个体，样本和样本容量的定义进行求解.【详解】100名同学的视力情况（数据）是从总体中抽取的一部分个体所组成的集合，所以是总体的一个样本.故选：C4．D【分析】根据题意求出最多和最少的人数即可.【详解】,，即研学人数最多的地点最少有617名学生，，即研学人数最多的地点最多有名学生.故选：D5．B【分析】设正四面体的棱长为，取的中点，连接、，利用几何法求解作答.【详解】如图，设正四面体的棱长为，取的中点，连接、，因为、分别为、的中点，则且，因此或其补角为直线与直线所成的角，因为为等边三角形，为的中点，则，且，同理，在等腰中，，所以直线CM与直线BD所成角的余弦值为.故选：B6．B【分析】根据线面位置关系的判定定理、性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解.【详解】，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，若，，则，，相交或异面，故①不正确；若，，则，故②正确；若，，则，故③正确；若，，则或，故④不正确；正确命题的个数是.故选：.7．B【分析】作出正四棱锥侧面与底面所成角的平面角，利用侧面积和底面积之间的关系即可求得平面角的余弦值，即得答案.【详解】如图，设正四棱锥为，连接AC，BD交于点O，连接PO，则底面，作于E，连接，

底面，则,而平面，故平面，平面，故，故即为平面与底面所成角，也即正四棱锥的侧面与底面所成角；因为正四棱锥的侧面积是底面积的倍，故,即，即,在中，，则，即正四棱锥的侧面与底面所成角的大小为，故选：B8．A【分析】若，当平面平面时，有，可判断①；若，会超过，故存在，可判断②；，始终为锐角可判断③④．【详解】如图．

对于①，若，当平面平面时，平面平面，平面，所以平面，平面，则，故①正确；对于②，若，则在翻折过程中，会超过，故存在，∵，故直线与直线有可能垂直，故②正确；对于③，在中，∵，∴为锐角，即为锐角，故直线与直线不可能垂直，故③错误；对于④，∵，∴中，，∴始终为锐角，故直线不可能与直线垂直，故④错误．故选：A.9．BD【分析】根据线线、线面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对A，若直线与平面不平行，则与相交或，故A错误；对B，直线在平面外，则直线与平面平行或相交，故直线在平面无交点或仅有个交点，故B正确；对C，若直线与平面相交，直线上仍存在两个在平面不同侧的点到平面的距离相等，则故C错误；对D，如果是异面直线，，则异面，则是异面直线，故D正确.故选：BD10．AC【分析】设，根据复数的运算与模的定义计算后判断AC，根据复数乘法判断B，由复数的模的定义和复数相等的定义判断D．【详解】设，则，，A正确；当时，，因此B错误；，，C正确；时，，，D错．故选：AC．11．AC【分析】对于,利用，即可证明；对于,将沿展开与正方形在同一个平面内，则当三点共线时，取得最小值,即可求解；对于,利用线面平行的判断定理即可证明；对于,根据题中条件首先得到截面图形，进一步求解计算即可.【详解】由题意可知，设点到平面的距离为，易知平面平面，所以点到平面的距离等于点到线段的距离，又，所以，所以，为定值，故A正确；将沿展开与正方形在同一个平面内，记此时与对应的点为，则当三点共线时，取得最小值，即，，故的最小值为，故B错误；由点分别为的中点，得，又平面平面，所以平面，故C正确；连接并延长交于点，连接，则过点的平面截正三棱柱所得截面图形为，因为，平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，取的中点，连接，则点为的中点，又点为的中点，所以，当时，点为的中点，所以，所以，所以，所以，所以，故，故D错误．

故选：12．（3）（4）【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，与异面且垂直，故①错误；与平行，故②错误；连接，则，为与所成角，连接，可知为正三角形，则，故③正确；在平面上的投影为，根据三垂线定理得与垂直，故④正确．正确命题的个数是2个．故答案为：（3）（4）．13．774，428，114，572【分析】依据题意结合随机数表法直接读数并满足号码不大于850即可.【详解】依据题意可知：向右读数依次为：774，946，774，428，114，572，042，533，，所以最先检验的4颗种子符合条件的为：774，428，114，572.故答案为：774，428，114，572.14．【分析】根据祖暅原理，建立体积等量关系，代入体积运算公式求解即可.【详解】设铁球沉到容器底端时，水面的高度为h，由图2知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积，由图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于圆柱的体积，故容器内水的体积等于相应圆台的体积，因为容器内水的体积为，相应圆台的体积为，所以，解得，故答案为：15．(1)，(2)【分析】（1）设这三个车间的工人总数为，根据题意列方程可求出，再根据分层抽样的定义可求出的值；（2）由题意可得，，可求出，从而可求出该化工厂这三个车间女工与男工的人数比.【详解】（1）设这三个车间的工人总数为，则，解得.由，得.（2）在第三车间抽取8名工人，则其中有5名女工，，即.又由（1）易知，..该化工厂这三个车间女工与男工的人数比为.16．(1)作图见解析，依据见解析(2)【分析】（1）根据点线面的位置关系，三个平面两两相交，三条交线的可能情况分析，此题中的三条交线必定交于一点，即可作图并写出依据.（2）根据作出的图形可以发现正方体被平面截成两部分，较小部分为三棱台，由棱台体积公式即可求解.【详解】（1）如图所示即为所求：

依据如下：延长交的延长线于，连接，则即为直线的位置.∵，∴平面，平面，∴平面平面，又由题意显然有平面平面，∴平面平面，则即为直线的位置.（也可根据线面平行性质确定直线位置）（2）如图所示：设直线与交于点，则为四等分点，正方体被平面截成两部分，较小部分为三棱台，其体积为.17．（1）证明见解析；（2）12．【分析】（1）取中点，连接，由已知可得，平面平面，得平面，所以，可得答案．（2）算出利用，可得.【详解】（1）取中点，连接，四边形是边长为4的菱形，，则为正三角形，所以，而平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，平面，所以平面．（2）依题意，，由（1）知，平面，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，则，而，所以多面体的体积为.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知易证，利用线面垂直可得，进而可证，利用线线垂直可得平面，可证结论成立；（2）求得的面积，到平面距离，利用可求体积.【详解】（1）取的中点，连结，由为中点，知，是边长为的菱形且为中点，，故，又由平面，平面平面，又四边形为平行四边形，，又平面，平面平面平面平面.（2）由（1）知的面积为侧面底面，又，到平面距离为，即到平面距离为三棱锥的体积.19．(1)证明详见解析(2)(