直线的倾斜角与斜率（教学设计）-高二年级上册数学人教A版选择性

2.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计

本章主要学习直线和圆的方程，通过在平面直角坐标系中，探索确定直线位置和圆的几何

要素，用代数方法刻画直线的斜率、两点间的距离，建立直线和圆的方程，再用方程来研究和

解决与直线和圆有关的数学问题和实际问题，让学生体会解析几何方法的特点，初步感悟平面

解析几何蕴含的数学思想。

一、教学目标

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关系.（数学抽象、逻辑推理）

2.理解直线的方向向量和向量坐标表示.（数学抽象）

3.掌握过两点的直线斜率的计算公式，会应用斜率公式求直线的斜率.（数学运算）

二、教学重难点

1.重点：①掌握直线的倾斜角与直线斜率的概念；

②掌握过两点的直线斜率公式.

2.难点：会用向量方法导出斜率定义的过程.

三、学情分析与教材分析

1.学情分析：

本节课中两点确定一条直线是学生知道的，但如何在直角坐标系下确定直线的几何要素，

并将其代数化，对学生来说有点困难。所以在教学过程中可以引导学生在掌握两点确定一条直

线的基础上，进一步意识到直线上的一点和方向也能确定直线的位置，将其转化形成倾斜角的

概念。而直线的倾斜角是个几何量，直线上两点坐标是代数量，建立二者之间的联系，对学生

来说也有一定的困难，教学中，要借助向量工具，通过从特殊到一般的过程，引导学生用任意

角的三角函数来刻画直线倾斜角，建立直线的斜率公式。

基于以上分析，确定了本节课的教学难点：倾斜角和斜率概念的形成和理解，直线的斜率公

式的推导。

2.教材分析：

内容解析：本课是人教版数学选择性必修第一册第二章第一节《直线的倾斜角与斜率》的

第一课时，是高中解析几何内容的开始。直线的倾斜角和斜率分别从几何和代数的角度刻画了

直线的方向，过两点的斜率公式把直线的倾斜角与直线上两点的坐标联系起来，将直线的几何

特征代数化，是用坐标法研究直线及其几何性质的基础。

为了用代数方法研究直线的有关问题，首先需要研究在平面直角坐标系中确定直线的几何

要素，通过一点和一个方向确定一条直线，引人直线倾斜角的概念刻画直线的方向；进而通过

向量法，用直线上两点的坐标刻画直线倾斜角的正切值，引出直线斜率的概念；最后建立过两

点的直线的斜率公式，以及直线的斜率与其方向向量的关系.这一过程了体现了坐标法和数形

结合的基本思想。

本节内容是解析几何的起始课，本节课不仅要理解两个概念、得到一个公式，更要了解几

何问题代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想方法。倾斜角作为一个几何概念，主要是

为后面的斜率、直线与直线的平行和垂直的判定知识做铺垫。斜率则是以代数方法研究图形的

几何性质的重要概念，是确定直线方程的重要因素。本节课有着开启全章，奠定基调，渗透方

法的作用。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：直线的倾斜角、斜率的概念，过两点的直线斜率

公式。

四、教学过程

1.引入新知

今天由我带大家进入数学的世界。

阅读本节课的学习目标。（ppt展示）

我们先观看一个视频。（播放视频）

引导语：在视频中讲到解析几何就是将几何通过确定平面直角坐标系转化为代数，从而将

几何问题转化为代数问题来进行研究，在我们的几何当中，最简单的元素是点、线、面，那点

在直角坐标系内如何表示，我们已经学习过了，今天，我们在直角坐标系中通过代数的方法来

研究还有哪些可以确定直线的基本要素，今天我们所学习的内容就是直线的倾斜角与斜率。

2.新课探究

问题1:直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几何要素是什么？

学生：两点确定一条直线.

追问：还有没有其他确定一条直线的方法？y人

学生：一点和一个方向也可以确定一条直线.设A,8为直线上的两点，\\/'/,

则通就是这条直线的方向向量.所以，两点确定一条直线可以归结为一点和

一个方向确定一条直线.Z7v

追问：经过一点P有多少条直线？

学生：无数条.

追问：它们组成一个直线束，这些直线的区别是什么？

学生：无数条直线方向不同、直线的倾斜程度不同.

思考:怎样描述这种“倾斜程度”的不同？

师引导：从学校出发到文化广场，路上有很多上坡路，这些坡有陡有缓，我们如何描述坡

度的陡缓程度呢？

学生：找一个水平面

师引导：对，我们通过水平面当做参照物来描述坡度的陡缓程度，那F卜//2

数学当中也有一个很好的参照物，就是坐标系。所以我们可以把直线放入\//,

坐标系中，通过直线与X轴所成的角不同来描述直线的倾斜程度。为了更，.“

好的描述直线方向，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向|

为这条直线的方向。

自学课本第51页（1分钟）（自学任务：倾斜角概念）

自学倾斜角概念后，在导学案所给图中标出直线的倾斜角。（我们在思考一哈这里是直接

学生自学得出还是通过一定的探索过程）

强调：当直线/与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0。.

思考：直线的倾斜角在什么范围内变化？

y

图中直线4的倾斜角%为零度角，直线4的倾斜角%为直角，，/'2

直线，2的倾斜角为锐角，直线，4的倾斜角&4为钝角.因此，直线-J

的倾斜角a的取值范围为0。4夕＜180。.（呈现一哈这几种的图像，V

更加直观的呈现给评委）-[/|

这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜

角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，

倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表

示了直线的方向.

概念辨析：判断下列结论是否正确

1.在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角.V

2.方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等.V

3.方向不同的直线，倾斜角可能相等.X

4.可以用倾斜角表示一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向V

小结：任何一条直线都有唯一确定的倾斜角与它对应

问题2：倾斜角从“形”的角度描述了直线倾斜程度，那么从“数”的角度能否描述直线

的倾斜程度？

我们知道，直线/可由其上任意两点耳,鸟唯一确定，直线/又有唯一确定的倾斜角，可以

推断，直线/的倾斜角一定与两点《(%,%),2(%，%)的坐标有内在联系.到底具有怎样的联

系？

在研究数学问题时我们一般先从特殊情况入手再过渡到一般情况，下面我们从最特殊的情

况开始研究.

在平面直角坐标系中，设直线/的倾斜角为a.

(1)已知直线/经过。(0刀)，P(瓜1),a与o,p的坐标有什么关系？

师生活动：教师提出问题，引导学生体会向量法的优势，以及为什么要用正切函数(复习

任意角的三角函数)来建立角a与给定两点坐标之间的联系.

对于问题⑴，如图，向量方=(百,1),且直线0P的倾斜角为a.我们学习过关于角的

知识点由正切函数的定义，有

+_1

tanct-———

G3

(1)

(2)类似地，如果直线/经过4(-U),6(0,0),a与片,鸟的坐标又有什么关系？

师生活动：学生进行小组探究，探究过程中，难点在于将向量移动到以原点为起点.

如图，^=(-1-72,1-0)=(-1-72,1).平移向量月月到丽，则点P的坐标为(-1-A1),

且直线OP的倾斜角也是a.由正切函数的定义，有

1

tana=-----=1-&

-1-V2

(2)

追问：你能将上述方法进行一般性的推广吗？

（3）一般地，如果直线/经过两点《（石,口）,彳々），那么a与《，鸟的坐标

有怎样的关系？

师生活动：学生通过独立思考，将问题推广到一般情形，并自主探究解答.当福的方向

不同时，教师要引导学生讨论倾斜角与4,6两点坐标的关系，得到计算公式后追问下面的问

题.

一般地，如图2.14,当向量8耳的方向向上时，耳g=%,%—%），平移向量耳耳到而，

则点P的坐标为（々-和丁2-％），且直线OP的倾斜角也是a,由正切函数的定义，有

同样，当向量斯的方向向上时，如图2.15,羽=（%—%,%—%），也有

占一4%—%

所以，计算直线A2的斜率时，与品6两点的顺序无关.

问题3：（1）当直线片鸟与y轴平行或重合时，上述式子还成立吗？

（2）当直线片鸟与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

学生：（1）当直线18与，轴平行或重合时,直线倾斜角为90°,tana不存在，又此时看=々,

tanqnXzA不存在，所以当直线片鸟与丁轴平行或重合时，上述式子不成立.

再~X2

（2）当直线［8与x轴平行或重合时，直线倾斜角为0,tan«=tanO°=O,又此时％=%,

tana=近二区=0,所以当直线打舄与x轴平行或重合时，上述式子成立.

再一又2

教师：综上可知，直线/的倾斜角a与直线/上的两点耳（药,％）,6（X2，%）（X的坐标

有如下关系：

tana=~~—①

X2-X11

我们把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母人表示，即

k=tan~—②

----------西

特别地，垂直于X轴无斜率。

设计意图：通过对特殊问题一般化的抽象得到倾斜角的正切值，即斜率的计算公式，并通

过师生对该公式意义的分析，发现它正是我们寻求的刻画直线方向的代数表达.这种形式能直

接参与代数运算，实现用代数方法处理几何问题的目的.

问题4：倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系？

（使用希沃白板播放倾斜角与斜率的关系，学生观察并完成下表的填写，30秒时间核对答

案）

图示

倾斜角

斜率

师生活动：教师通过希沃白板展示动图，引导学生利用数形结合的思想回答，帮助学生理

解其中的变化情况和特殊点的取值.

设计意图：结合正切函数的概念及其单调性，帮助学生认识随着倾斜角的变化，斜率的变

化情况，理解其中斜率不存在的情况，使得学生对倾斜角和斜率的概念有更清晰的认识.

思考：你能发现直线的方向向量与斜率之间的关系吗？(我们在之前就学过直线的方向

向量也可以表示直线的方向，这节课学习的斜率也是表示直线的方向，那么他们存在什么联

系呢？)

我们知道，直线46上的向量强以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线片鸟的

方向向量耳B的坐标为(X2-石，为-%).(这里让学生来呈现效果更好)，写在导学案上展示

当直线与X轴不垂直时，%1*%,此时向量一--《鸟也是直线打鸟的方向向量，且

2X?—%

它的坐标为---]--(％-和为-%),即(1,2-0\=(1,左)，其中左是直线《鸟的斜率.因此，若

々一%I%—X"

直线/的斜率为左，它的一个方向向量的坐标为(》,y),则左=2.

X

师生活动：利用斜率公式和直线的方向向量的坐标表示，建立二者之间的联系.利用直线

的方向向量

设计意图：利用斜率公式和直线的方向向量的坐标表示，建立二者之间的联系，为今后相

关问题的解决奠定基础.

3.应用新知

练习L已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率：

2〃3〃

(1)a=30°；(2)a=45°；(3)a=——；(4)a=——.

34

解析：(1)Z:=tan30o=—;(2)^=tan45°=l

3

/、73〃.

(3)k—tan—^―=-；(4)k=tan——=一1.

4

练习2.已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角:

(1)k=0；(2)k=A/3;(3)k=-y/3;⑷kg

答案：(1)0；(2)一；(3)—；(4)—・

336

例L已知A(3,2),5(—4,1),C(O,-1),求直线AB,BC,C4的斜率，并判断这些直线

的倾斜角是锐角还是钝角.

1-21

解析：直线AB的斜率=,

-1-1-21

直线5c的斜率用c二八(小=丁=一不

U一(-4)4Z

直线C4的斜率左CA=U^=：=1,

3—U3

由心3＞。＞及可知，直线与C4的倾斜角均

为锐角；由即c＜。可知，直线8。的倾斜角为钝角.

练习3：经过A(0,2),3(-1,0)两点的直线的方向向量为(LQ,求人的值.

20k

解析：kAB=c/1、=不，所以左=2.

师生活动：练习1和练习2由学生接龙回答，例