中考数学高频考点专项练习：菱形 （二）及答案

中考数学高频考点专项练习：专题十四考点31菱形

1.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A.对角相等B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直

2.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC=6,将线段A3水平向右平移a个单位长度

得到线段EF,若四边形ECDb为菱形时，则。的值为（）

3.如图，将两张宽度相同的矩形纸条交叉叠放.小明发现重叠部分（四边形ABCD）是菱形,

并进行如下所示的推理.

如图，过点A分别作BC,的垂线，垂足分别为点E,F,则=

AB//CD,AD/IBC,

：.四边形ABC。是平行四边形，

AE=AF,

二四边形ABC。是菱形.

小芳认为小明的推理不严谨，她认为应在“=和“.•・四边形ABCD是菱形”之间作补充.

下列说法正确的是（）

A.应补充：S四边形ABC»=BC=CD

B.小明的推理严谨，不必补充

C.应补充：BD±AC

D.应补充：BD=AC

4.如图，在平面直角坐标系中，四边形。钻C为菱形，0（0,0）,4（4,0）,ZAOC=60°,则

对角线交点E的坐标为（）

5.如图，在菱形A3CD中，E是对角线AC上的一点，过点E作FH//AD,GIHAB,点、F,

G,H,1分别在A3,BC,CD,D4上.若AC=a,NB=60。，则图中阴影部分的周长为（）

A

C

A.26aB.4aC.2亚aD.6a

6.如图，在菱形ABCD中摆放了一副三角板.等腰直角三角板OEF的一条直角边在菱形边

A。上，直角顶点E为AD的中点含30。角的直角三角板的斜边GB在菱形ABCD的边

上.NCDE的度数等于（）

7.如图，已知菱形ABCD,AC.BD交于点、0,延长B4到E,使=连接ED、

EO,ZABC=60°,BC=2,则£0=()

C

A.4B.472C.8D.布

8.如图1,在菱形ABCD中，对角线AC、5。相交于。，要在对角线30上找两点M、N,使

得四边形AMCN是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（）

（方案甲:双8A][/方案乙:分别作

....................................'1的舶千分&U/、ANJ

ffil图2

A.只有甲B.只有乙C.甲和乙D.甲乙都不是

9.如图，在菱形纸片ABCD中，ZABC=60°,E是。边的中点，将菱形纸片沿过点A的直

线折叠，使点5落在直线AE上的点G处，折痕为A/，FG与CD交于点、H,有如下结论：

①N51=30。；

@DE=—AE；

3

③CH=GH；

④SAABF-S四边形AFCD=3-5,

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④

10.如图所示，一块三角尺放在一张菱形纸片上，斜边与菱形的一边平行，则N1的度数是

11.如图，在菱形ABCD中，AB=5,对角线AC与3。相交于点。，且AC=6.AELCD于点

12.如图，菱形ABCD的顶点A(1,O)、3(7,0)在x轴上，4MB=60。，点E在边上且横坐

标为8,点R为边CD上一动点，y轴上有一点P(0,-：6).当点P到所所在直线的距离取得

13.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,3。的长分别为6,4,将△ABC沿射线CA的方向平

移得到△GEE,分别连接DE,FD,AF,则QF+DE的最小值为.

14.如图，矩形A3CD中，将此矩形折叠，使点。与点3重合，折痕为EE

(1)求证：四边形3EDR为菱形.

(2)若A5=3,AD=9,求△BEF的面积.

15.如图1,在平行四边形ABCD中，E,R分别为AB,CD的中点，连接A/，CE.

(2)如图2,连接AC,且AC=5C,。为AC的中点.

①的中点为连接E。，EM,试判断四边形的形状，并说明理由;

②如图3,AG平分NB4C交CE于点G,连接G。，若NAG9=90。，AB=8,求AC的长.

答案以及解析

1.答案：D

解析：根据菱形和平行四边形的性质可知菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是四边相

等，对角线互相垂直，故选D.

2.答案：B

解析：四边形ABCD是平行四边形，

.-.CD=AB=4,

四边形ECDb为菱形，

.-.EC=CD=4,

BC=6,

:.BE=BC-CE=2,

..a=2.

故选：B.

3.答案：A

解析：S四边形=且AE=AF，

BC=CD,

四边形ABC。是平行四边形，

二四边形ABCD是菱形，

故选项A正确；

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，

故选项B不符合题意；

从AE=AF无法证得BD±AC,

故选项C不符合题意；

菱形的对角线不一定相等，

故选项D不符合题意.

故选：A.

4.答案:D

解析：过点石作灰，工轴于点E

cB

/^E：\/

O~FAx

四边形Q4BC为菱形，ZAOC=60°,

ZAOE=-ZAOC=30°,OBVAC,ZE4E=60。，

2

A（4,0）,「.Q4=4,

:.AE=-AO=-x4=2,

22

:.AF=-AE=\,EF=^AE2-AF2=A/22-12=A/3,

2

:.OF=AO-AF=4-1=3,

:.E（3网.

故选D.

5.答案：B

解析：四边形A3CD是菱形，:.AB=BC=CD=AD,AD//BC,AB//CD,4=60。,

.•.△ABC是等边三角形，:.AB=BC=AC=a,FH//AD//BC,GillABHCD,二四边形

BFEG和四边形EHD1都是平行四边形，

：.FE=BG,FB=EG,EH=ID,EI=HD,

二题图中阴影部分的周长

=AF+FE+EI+AI+EG+CG+CH+EH

=AF+BF+BG+CG+CH+HD+AI+ID^AB+BC+CD+AD^4aM^B.

6.答案：C

解析：如图，

四边形ABCD是菱形,

：.AB//CD,则NADC+NA=180。，

根据题意知：ZGBH=30°,NDEF=ZAEH=NGHB=90。,NEZ*=45°,

ZHGB=90°-30°=60°,AE//GH,

:.ZA=60°,

ZADC=1800-ZA=180°-60°=120°,

ZCDF=120。—45°=75°.

故选：C.

7.答案：D

解析：四边形ABC。是菱形，

AC±BD,AB=AD=DC=BC=2,ZADC=ZABC=60°,

且BD平分/ABC和ZADC,

：.ZABD=ZADB=30°,

：.NEAD=ZABD+ZADB=60°.

又AE=BA,BA=AD,

AE=AD,

.•.△ADE是等边三角形，

:.ED=AD=2,ZADE=60。，

/BDE=ZADB+ZADE=90°.

及△AOD中，AD=2,ZADB=3Q°,

AO--AD=1,

2

：.DO=y/Alf-AO2=V22-l2=73,

EO=y]ED~+DO2=也2+（石了=布.

故选：D.

8.答案：C

解析：四边形ABC。是菱形，

OB=OD,OA=OC,AC±BD,

BM=DN,

OB-BM=OD-DN,即OM=ON,

：.四边形AMCN是平行四边形，

AC±BD,

.•・四边形AMCN是菱形，故方案甲正确；

四边形ABC。是菱形，

OB=OD,OA=OC,AC1BD,AB//CD,

ZOAB=ZOCD,

AA/平分/BAO,CN平分NOCD,

：.ZOAM=-NOAB,ZOCN=-ZOCD,

22

ZOAM=ZOCN,

AM//CN,

在^AOM和△CON中,

ZOAM=ZOCN,OA=OC,ZAOM=ZCON,

△AOM//\CON,

AM=CN.

：.四边形AMCN是平行四边形，

AC1BD,

.••四边形4WCN是菱形，故方案乙正确.

故选：C.

9.答案:B

解析：连接AC,

四边形ABC。是菱形，

：.AD=CD,ZD=ZABC=60°,

.•.△ACD是等边三角形，

E是C。边的中点，

：.AG±CD,

：.ZAED=ZGEH=90°,

由折叠得NG=NB=60。，

:.NCHF=NEHG=30。,

ZC=1800-ZB=120°,

:.NCFH=30°,故①正确；

ZZME=90°-ZD=30°,

AD=2DE,

AE=y/AD2-DE2=6DE,

:里==也,即。E="AE,故②正确；

AEy[3DE33

连接CG,

由折叠得AG=AB=A。，

•△ACD是等边三角形，

AC=AD,

AC=AG,

ZACG=ZAGC,

ZACD^ZAGF=60°,

:.ZHCG=ZHGC,

:.CH=GH,故③正确；

过点尸作府_LAB于点M,

ABAD=180°-ZB=120°,ZDAE=3Q°,

.-.ZBAG=90°,

由折叠得N&F=NG4b=45。，

ZAFM=450=ZBAF,

：.AM=FM,

NBFM=90°—ZB=3。。,

MF=J3BM,

设W=x,则=

.-.AB=(1+A/3)X,S/=|X(1+73)X-^X=^^X2,

AD=CD=AB=(l+@x,

,A口_%_A/3+3

..AE—21^1+y/3Jx————x9

S菱形ABC。=C»AE=(l+6)x・^^x=(3+2省卜2,

'''四边形AFCZ)的面积=S菱形ABCO-S^ABF=(3+2代卜2_"；3X。=3+；'》2，

2

•1'S^ABF:S四边形AFCO=X:3+；"=百：3w3:5，故④错误；

故选：B.

10.答案：60

解析:如图，

EFHCD,ZADC=ZGEF=60°，又四边形ABCD是菱形,

:.ZADB=ZBDC=3G°,

NG=90。.

.-.Zl=180°,ZG-ZGDB=60°.

74

11.答案：y

解析：四边形ABCD是菱形，

:.AO=-AC=-x6=3,OB=-BD,AC±BD,

222

AB=5,

BO=7AB2-AO2=752-32=4,

/.BD-8,

S变^形.ASRCcOn=-2ACBD=CDAE,

—x6x8=5AE,

2

24

:.AE=—

5

故答案为：—.

5

12.答案:（6,3我

解析：如图，AB=AD=6,

ZDAB=60°,

：.。（4,3a,

点E在边上且横坐标为8,

r.E（8,6），C（10,3厉），

直线防过定点E,

.•.PELEF时，点P到防所在直线的距离取得最大值.

P（0,—孚），E（8,回

设PE解析式为y=-孚，代入点E坐标得，

73=8^-—,即左=且.

33

此刻直线研的左值为：kEF=-73,

设直线EF解析式为：y=-y/3x+m,代入点E坐标得：6—8y/3+m,

m=9A/3,

二直线防的解析式为：y=-6x+9有,

令＞=36，则3君=-岛+98,解得了=6.

此刻点F的坐标为：（6,3百）.

故答案为：（6,3石）.

13.答案：3行

解析：连接3。与AC交于点。，延长03到使得即/=〃，连接3斤,

四边形ABCD是菱形，

：.AC±BD,OA=]-AC=3,OB=OD=-BD=2,

22

,-.OM=2+4=6,

由平移性质知，BF//AC,

:.BF±DM,AF=DE,

:.FM=FD,

:.DF+DE=AF+DF>AM,

当点A、F、。三点共线时，+•=■+=4饮的值最小，

二.£)尸+DE的最小值为：AM=^AO2+OM2=732+62=375.

故答案为：3卮

14.答案：(1)证明见解析

(2)—

2

解析：(1)证明：由折叠的性质可得5E=DE,BF=DF,ZBEF=ZDEF,

四边形A3CD是矩形，.•.AD〃5C,

ZDEF=ZBFE,:.ZBEF=ZBFE,

:.BE=BF,:.BE=BF=DE=DF,

二四边形BEDR为菱形.

(2)设AE=x,则6£=。£=池—AE=9—x,

在RtZXABE中，由勾股定理可得BE?=.2+隹2,

即(9-X)2=3?+X2,解得X=4,

即AE=4,BF=BE-9—X—5,

S人RFF=—BF-AB=—x5x3——.

△BEF222

15.答案：(1)见解析

(2)①四边形取。。是菱形，见解析.②12

解析：(1)平行四边形ABCD,

AB//CD,AB=CD,