《应用数学基础》课件-9-2等差数列

第9章数列及其极限9-2等差数列

本节主要内容☉等差数列的概念

☉等差数列的通项公式、中项公式、前n项和公式一、等差数列的概念先看下面的数列.(1)由正偶数组成的数列:2,4,6,8,10,…;(2)2007年10月的所有星期一的日期分别是1,8,15,22,29;(3)某个做匀减速直线运动的物体前5秒的速度分别是60,50,40,30,20.可以看出,

这些数列的共同特点是,

从第2项起,

每一项与它前一项的差都等于同一个常数.

一般地,

如果数列{an}从第2项起,

每一项与它前一项的差都等于同一个常数d,

即

d=a2-a1=a3-a2=a4-a3=…=an-an-1=…,

那么这个数列就叫做等差数列,

常数d叫做公差.数列(1)、(2)、(3)都是等差数列,

公差分别是2、7、-10.在等差数列中,

若公差d>0,

则数列是递增数列;

若d<0,

则数列是递减数列;

若d=0,

数列各项都相等,

这样的数列也称为常数列,

例如数列2,2,2,2,….在数列(1)中,

这个常数是4-2=6-4=8-6=10-8=…=2;

在数列(2)中,

这个常数是8-1=15-8=22-15=29-22=7;

在数列(3)中,

这个常数是50-60=40-50=30-40=20-30=-10.二、等差数列的通项公式1.通项公式设{an}是等差数列,

公差是d,

由等差数列的定义,

可知a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d,……依次类推,

得到

an=a1+(n-1)d.(9-1)这就是等差数列的通项公式.例1求等差数列20,18,16,14,…的通项公式和第20项.

解a1=20,

d=18-20=-2,

所以an=20+(n-1)×(-2).把n=20代入,

得a20=20+(20-1)×(-2)=-18.例2

在等差数列{an}中,

设a3=3,

a21=39,

求a10.解因为a21=a1+(21-1)d=(a1+2d)+(21-3)d=a3+18d,

所以39=3+18d,

d=2.

于是a10=a3+(10-3)d=3+7×2=17.例3在8与20之间插入三个数,

使它们与这两个数成等差数列,

求这三个数.解设a1=8,

代入公式(9-1),

得20=8+4d,d=3.

所求三个数为11、14、17.2.等差中项

那么A叫做a和b的等差中项,

例如2、4、6三个数成等差数列,

由等差数列的定义知,

4就是2和6的等差中项.A-a=b-A,

一般地,

在一个等差数列中,

从第2项起,每一项(有穷等差数列的最后一项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.三、等差数列的前n项和设等差数列{an}的前n项和为Sn,

根据等差数列的通项公式,

即Sn=a1+a2+…+an.上式可以写成

再把项的次序反过来,

Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d].②式①还可以写成把式①、②两边分别相加,得

=n(a1+an),这就是等差数列的前n项和公式.公式(9-3)表明,

等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.

a10=75,

例4

求S10;(2)若a1=100,

(3)若d=2,

an=11,

Sn=35,

求a1和n.解(1)把a1=5,

n=10,

a10=75代入公式(9-3),

(2)把a1=100,

n=30,

d=-2代入公式(9-4),

(3)由题意得

解方程组,得a1=3,

n=5或a1=-1,

n=7.

例5

自由落体第1秒降落4.9米,

以后每秒比前一秒多落9.8米,

求前10秒内物体下落的距离.解