2020春冀教版九年级数学下册 第29章 全章教案

29.1点和圆的位置关系

教学目标

知识与技能理解并掌握点和圆的三种位置关系及数量间的关系，探求过点画圆

的过程，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法。

过程与方法通过生活中实际例子，探求点和圆的三种位置关系，并提炼出相关

的数学知识，从而渗透数形结合、分类讨论等数学思想。

情感、态度与价值观通过本节知识的学习，体验点和圆的位置关系与生活中的

射击、投掷等活动紧密相连，感知数学就在身边，从而更加热爱生活，激发学生

学习数学的兴趣。

教学重点难点

重点：（1）点和圆的三种位置关系，（2）过三点的圆。

难点：点和圆的三种位置关系及数量关系。

教学过程

（一）创设情境导入新课

活动一：观察

我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉，图是射击靶的示意图,

它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置

的成绩是如何计算的吗？

提示：解决这个问题要研究点和圆的位置关系.（乙

活动二：问题探究I

问题1：观察图中点4点8,点C与圆的位置关系？

点八在圆内，点8在圆上，点C在圆外

问题2：设。。半径为r,说出来点4点B,点C与圆心。的距离与半径的关系:

0A<r,0B=rf0C>rn

问题3：反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能

否判断点和圆的位置关系？

设。。的半径为「，点P到圆心的距离则有：

点P在圆内=d<r

点P在圆上od二r

点P在圆外<=>d>r

（二）合作交流解读探究

活动三

你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的

吗？

射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，他们把靶图由内到外分

成几个区域，这些区域用由高到底的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的

环数来表示.弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它

所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击的成绩越好.

活动四：探究

（1）如图，做经过己知点4的圆，这样的圆你能做出多少个？

（2）如图做经过已知点4、B的圆，这样的圆你能做出多少个？他们的圆心分

布有什么特点？-~、A，一、

思考

经过不在同一条直线上的三点做一个圆，如何确定这个圆的圆心？

分析：如图三点、A、B、C不在同一条直线上，因为所

求的圆要经过小B、C三点,所以圆心到这三点的距离L1人

相等，因此这个点要在线段AB的垂直的平分线上，又/^\~^\\

要在线段BC的垂直的平分线上./Vj、

1.分别连接48、8C、AC\X^\\\）

2.分别作出线段A8的垂直平分线/i和匕，设他们的交BY---------"7C

点为。，则OA=OB=OC；

3.以点。为圆心，0A（或OB、0C）为半径作圆，便可L2

以作出经1±乂、8、C的圆.

由于过4、8、C三点的圆的圆心只能是点0,半径等于04所以这样的圆只能

有一个，即：

结论：不在同一条直线上的三点确定一个圆.

经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，

外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.

（三）应用迁移巩固提高

例1、如图在RtaABC中，ZC=90°,BC=3cm,AC=4cm,/^

以B为圆心。以BC为半径做OB。问点A、C及AB、A夕备y<\\

中点D、E与OB有怎样的位置关系？//\\

B

例2、如图，已知菱形ABCD的对角线为AC和BD,E,F,G,H分别是AB,

BC,CD,DA的中点，求证：E,F,G,H四点在

同一个圆上。

（四）总结反思拓展升华一一二^

总结：1、本节学习的数学知识：（1）点和圆的

位置关系；（2）不在同一直至线上的三点确定一个圆。

2、本节学习的数学方法是数形结合

反思：（1）点和圆有三种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外；它是由点

P到圆心的距离d和圆的半径r的数量关系决定的，在运用这一性质时应注意

“形”与“数”之间的转化。

（2）经过一点或经过两点作圆，因为圆心不能唯一确定，半径也就不能确定。

所以，作出的圆都有无限多个。“不在同一直线上的三点确定一个圆”，这个“确

定”的含义是“有且只有”。

（3）三角形外接圆的圆心叫三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点,

三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等。要注意的是，锐角三角形的外心

在三角形的内部；直角三角形的外心是三角形斜边重点；钝角三角形的外心在三

角形的外部，反之成立。

29.5.1正多边形和圆

课

正多边形和圆授课人

题

使学生经历正多边形的形成过程，了解正多边形的有关概念，掌握用

知识技能

等分圆周画圆的内接正多边形的方法；

教

数学思考使学生丰富对正多边形的认识，通过设计图案，发展学生的形象思维；

学

使学生会等分圆周，利用等分圆周的方法构造正多边形，并会设计图

目问题解决

案，发展学生的实践能力和创新精神；

标

通过等分圆周、构造正多边形等实践活动，使学生在数学学习活动中

情感态度

获得成功的体验，建立自信心.

教理）蜂掌握正多边形的半径、中心角、边心距、边等名称及其中的关系;

入发现正多边形和圆的关系.极探索，

新调动学生

课学习积极

性.

1.探究新知L将结论

问题1:将一个圆分为五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这由特殊推

五边形一定是正多边形吗？如果是，请你证明这个结论.广到一

师生活动：教师演示作图并引导学生从正多边形的A般，符合

定义入手证明，引导学生观察、分析，教师指导学

e学生的认

生完成证明过程.《.。/

知规律，

教师在学生思考、交流的基础上板书证明过程：\，

并交给学

C^-_-^D

如图，生一种研

究问题的

・.・AB=BC=CD=DE=EAf:.AB=BC=CD=DE=EA,

方法.

BAD=CAE=3AB,.・.ZC=Z£>,

2.教学中，

使学生明

活同理可证：N^=N8=NC=ND=NE,

动确圆内正

.■•・・・五边形A3CDE是正五边形.多边形必

须满足各

,:A、B、C、D、E在。。上，

边相等，

・・・五边形ABCDE是圆内接正五边形.

实问题2：如果将圆n等分，依次连接各顶点得到一个n边形，这个n各角相

等，培养

践边形一定是正n边形.

探师生活动：学生思考，小组内交流、讨论，教师根据学生回答进行总学生严谨

究结.的态度和

交教师重点关注：学生能否按照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接思维批判

性.

流正n边形.

新问题3：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接3.通过学

知正多边形呢？如果是为什么？请说明，不是，请说明理由.生探索、

师生活动：学生讨论，思考回答，教师进行总结讲解.归纳，教

教师重点关注：给学生等

学生能否利用正多边形的定义进行判断；分圆周的

学生能否由圆内接正多边形各边相等得到弦相等，及弦所对的弧相方法，尤

等；其是尺规

学生能否列举反例说明各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形.作正方

形、正六

2.应用新知

活动一：教师演示课件，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心边形.

距等概念.

教师提出问题：/

（1）正多边形的中心角怎么计算？

（2）边长a,半径R,边心距r有什么关系？卡

（3）正多边形的面积如何计算？产〃

师生活动：学生在教师的引导下，结合图形，得到‘y”

结论：

正n边形的中心角等于360。+n,（^）2+r2=R2.

活动二：提出问题：如何把一个圆进行n等分明？

师生活动：学生小组内讨论，得到如果把中心角n等分则弧被n等分，

即可得到正多边形.

教师引导分析：

①正方形的中心角为90°,说明两条半径互相垂直；

②正六边形的中心角为60“，说明半径和边长构成等边三角形；

【应用举例】学生在教

师的引导

例1：如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正/

下，将正

六边形，求地基的周长和面积.Aff多边形的

活师生活动：教师引导学生画出图形，进行分析，完成中心、半

动例题的解答.径、中心

，••■教师总结：正六边形中由相邻的半径和边组成的三角形为等边三角角、边心

开形，所以半径与边相等，所以正六边形的周长为半径的6倍；正六边距等一些

放形的面积分割为六个全等的等边三角形，先求每个等边三角形的面积量集中在

训再乘以6即可.一个三角

练【拓展提升】形中研

体（课件展示）究，可以

现例2：已知半径为R的。0,用多种工具、多种方法作出圆内接正三利用勾股

应角形.定理进行

用师生活动：学生先独立解决问题，然后小组中讨论，鼓励学生勇于探索计算，进

实践，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注学生的解题而能够求

过程.得正多边

形的所有

量，教师

愈恋@“建引导学生

将实际问

题转化为

数学问

（方法一）《方法二）（方法三）（方法四）

题，将多

方法一：边形问题

①用量角器画圆心角NAOB=120°,ZBOC=120°；转叱为三

②连接AB,BC,CA,则4ABC为圆内接正三角形；角形问题.

方法二：

①用量角器画圆心角NB00120。；

②在。0上用圆规截取弧AC=MAB；

③连接AC,BC,AB,则AABC为圆内接正三角形.

方法三：

①作直径AD：

②以0为圆心，以0A长为半径画弧，交。。于B,C；

③连接AB,BC,CA,则AABC为圆内接正三角形.

方法四：

①作直径AE；

②分别以A,E为圆心，0A长为半径画弧与。0分别交于点D,F,B,

C；

③连接AB,BC,CA1或连接EF,ED,DF）,则4ABC（或aEFD）为

圆内接正三角形.

【达标测评】达标测评

1.圆内接正六边形一边所对的圆周角是（）是为了加

A.30°B.60°C.150°D30°或深对所学

150°知一只的理

2.若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的解运用，

边数是（）在问题的

A.4B.6C.8选择上以

D.12.基础为

3.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的主、疑难

直径最小要____________cm.点突出，

4.有一个边长为1.5cm的正六边形，如果要剪一张圆形纸片完全盖住增加开放

这个图形，那么这张圆形纸片的最小半径为__________cm.型、探究

5如.图，己知。。的两直径AB、CD互相垂直，弦MN垂直平分OB,型问题，

交0B于点E；求证：MB与MC分别为该圆的内接正六边形和正十二使学生思

边形的边长.维得到拓

B展、能力

7

“J七一N得以提升.

A

师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行个别提问，并指导

学生解释做题理由和做题方法，使学生在个别思考解答的基础上，共

同交流、形成共识、确定答案.

巩固、梳

1.课堂总结：

理所学知

（1）谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？

识.对学生

（2）学习本节课后，还存在哪些困惑？

进行鼓

2.布置作业：

励、进行

教材习题

思想教育.

【板书设计】提纲挈

正多边形和圆领，重点

活突出

|正多边形相关概念||画正■1例题1

1

动中心、半径、是角器测量圆心角

四：中心角、边心距尺视作图

课【教学反思】反思教学

堂①［授课流程反思］过程和教

总A.复习回顾口B.创设情景口C.探究新知口D.课堂训练口E.师表现，

结课堂总结口进一步提

反在探究新知的过程中，使学生认识到事物之口1是普遍联系的，是可以升操作流

思相互转化的，并培养和训练学生的综合运用知识的能力和解决实际问程和自身

题的能鼓励，渗透数形结合的思想和方法.素质.

②［讲授效果反思］

A.重点口B.难点口C.易错点口D.□E.□

引导学生注意了这几点：（1）正多边形的相关:概念；（2）正多边形中

的相关计算；

③［师生互动反思］

从学生课堂发言和表现来看，学生能够主动参与，亲身体验知识的发

生和发展过程，学有所获，学有所张.

④［练习反思］

29.2直线和圆的位置关系

教学内容

1.直线和圆相交、割线；直线和圆相切、圆的切线、切点；回直线和圆没有

公共点、直线和圆相离等概念.

2.设。。的半径为r,直线L到圆心0的距离为d

直线L和。0相交<=>d<r；直线和。0相切od=r；直线L和。0相离<=>d>r.

教学目标

（1）了解直线和圆的位置关系的有关概念.

（2）理解设OO的半径为r,直线L到圆心。的距离为d,则有：

直线L和。0相交Oder；直线L和。。相切od=r；直线L和。。相离

复习点和圆的位置关系，引入直线和圆的位置关系，以直线和圆的位置关

系中的d二ro直线和圆相切，讲授切线的判定定理和性质定理.

重难点、关键

难点与关键：团由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位

置关系的三个对应等价.

教学过程

一、复习引入

（老师口答，学生口答，老师并在黑板上板书）同学们，我们前一节课已经

学到点和圆的位置关系.设。。的半径为r,点P到圆心的距离0P=d,

则有：点P在圆外od>r,如图（a）所示；

点P在圆上od=r,如图（b）所示；

点P在圆内。d<r,如图（c）所示.

二、探索新知

活动1：思考：把海平面看作一条直线，太阳看作一个圆，由此你能得出直

线与圆的位置关系吗？

由此你能归纳出直线和圆有儿种位置关系吗?

如图（a）,直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这

条直线叫做圆的割线.

如图（b）,直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，团这条

直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.

如图（c）,直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.

活动2：判断正误:

1、直线与圆最多有两个公共点.........（）

2、若C为。0上的一点，则过点C的直线与。0相切。......（I

3、若A、B是。。外两点,则直线AB与。。相离。........（）

4、若C为。。内一点，则过点C的直线与00相交。（）

活动3：思考：如何判断直线与圆的位置关系？

老师点评直线L和。0相交od<r,如图（a）所示；

直线L和。。相切od=r,如图（b）所示；

直线L和。0相离=d>r,如图（c）所示.（幻灯片12、幻灯片13）

思考：在相切的情形下，意味着切点即为垂足，为什么呢？

（用反证法，利用圆的轴对称性证明）

小结：直线与圆的位置关系

直线与圆的相交相切相离

位置关系

图形

公共点个数

公共点名称

直线名称

圆心到直线距

离d与半径r的关

系

活动4、练习1

1、已知。。的半径为5cm,0到直线a的距离为3cm,则。。与直线a的位

置关系是。直线a与。。的公共点个数是o

2、已知。。的半径是4cm,0到直线a的距离是4cm,则00与直线a的

位置关系是

3、已知。。的半径为6cm,0到直线a的距离为7cm,则直线a与。0的公

共点个数是—o

4、己知。。的直径是6cm,0到直线a的距离是4cm,则。0与直线a的

位置关系是—o

练习2

1、设。。的半径为4,点0到直线a的距离为d,若。0与直线a至多只有

一个公共点，则d为（）

A、dW4B、d<4C、d»4D、d=4

2、设。p的半径为4cm,直线I上一点A到圆心的距离为4cm,则直线I与

。。的位置关系是)

A、相交B、相切C、相离D、相切或相交

补充例题：（幻灯片）

三、归纳总结：1、直线与圆的位置关系3种：相离、相切和相交。

2、识别直线与圆的位置关系的方法:

（1）一种是根据定义进行识别:

直线L与。。没有公共点直线L与。。相离。

直线L与。。只有一个公共点直线L与。。相切。

直线L与O。有两个公共点直线L与。。相交。

（2）另一种是根据圆心到直线的距离d与圆半径r数量

比较来进行识别：

d>r直线L与。o相离；

d=r直线L与。。相切；

d<r直线L与。o相交。

四、布置作业：

五、课后反思：用反证法证明="d=r直线L与。。相切”学生

很难理解：①为什么要证这时候垂足即为切点？②如何用反证法证明“垂足即为

切点”？这个问题弄清楚之后，对下节课讲解切线的性质大有好处。

切线的性质

建议思考的问题：

如何处理好课本的知识点，才更利于学生掌握？

学生会选择正确的性质定理去证明一些简单的几何例题吗？

课堂实录：

（一）引入

［师］:前面两节课我们学习了直线与圆的二种位置关系。那么是哪二种位置关系

呢？设。的半径为r,圆心。到直线1的距离d,那么这三种位置关系与d与的

关系是什么？

［点评］:采用这种方法复习的目的是已达到，可是引入新课未免平淡，针对性也

不强。

［生］：直线1与圆o相交d<r；直线1与圆o相离d>r；直线1与圆o相切d=r

（学齐声回答，看来这个问题难度较低，不至于引人入胜。）

［师］:请同学们翻开书本，看图6-8,我提几个问题。如果AT切。于A,那么半

径0A有什么关系？过点A的直线AT的垂线一定过圆心吗？过圆心引AT的垂线

一定过切点A吗？从而引出课题（板书节）请同学分组讨论，并回答。

（学生中少有讨论，大多数同学感到茫然）

［师］:有谁来回答这个问题？大家比一比，赛一赛？（教师提出问题后没有学生

回答）

［点评］:显然这几个问题与前面的问题比较起来难度有较大的提高。梯度过于明

显。最后教师采取了点名的方法叫了三名成绩优异的学生回答出了垂直过圆心、

过切点。新课的引入在这里，教师已陷入被动与学互动变成了个别优秀学生的秀

场，何来比一比，赛一赛？如果没有学生的积极主动参与是不能取得好的效果的。

［师］:刚才这几位同学的回答非常正确，你们真棒！

［点评］:对学生的回答用赞赏语言，适时地进行激励，激发学生的学习兴趣。

［师］：1、大家抬头黑板，听听我的分析：由直线L和0相切可推半径0A与0A

的长度有什么关系？因此它们在位置.上有什么关系（由学生集体回答）

2、思考下列问题；过圆心垂直于切线的直线（0A）

过切点的半径

过切点与切线垂直的直线

这三者之间有什么关系？

［点评］:为什要听老师析呢：分析后学生是否就真正理解了呢？思考的这三个问

问题都是老师事先设计好的，至于为什么要这样设计，有什么应用意义，在引入

切线的三条性质的问题情境创设上是还有改变目前的这种“八股”模式？

课后分析与思考：《数学课程标准》强调：“参加特定数学活动，具休情境中初步

认识对象的特征。获得一些经验”。“教师应激发学的学习积极性。向学生提供充

分从事数学活动的机会。帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌

握基本的数学知识与技能等”。“学生是数学学习的主人，教师是数学学习组织者、

引导者与合作者”教师应该意识到随着新一轮课和改革的推论，针对老教材，我

们的教学方式也要随之改变。根据新课程的要求，这堂课的引入是否可以这样的。

教师设计：

［复习作图题］:已知圆及圆上一点，怎样过该点作圆的切线。

已知一直线及直线上一点，作一半径等于定长的圆与该直线相切于

该点。

［提出新问题］：1、已知0与直线L相切，怎样确定切点？

2、已知LI、L2分别与圆相切于点A、B,怎样确定圆心。的位置？

［学生小组讨论］:学生以固定的小组模式为单位，要求把各自作法先画在纸上，

然后组织校对交流，最后汇总，推举代表发言。汇总后发现结果不谋而合，而两

结论恰好是切线性质1、3。

［再次提出问题］:“圆的切线垂直于半径”这句话对吗？如果正确，说出理由。

如果不正确，请将其改进。

［学生讨论］:归纳出切线性质2。

［师］:知识的呈现可采用不同的表达方式，作图、判断、讨论，以满足多样化的

学习需求。

师自评：通过三个问题的解决得出了切线三个性质，给了学生三个初步经验。那

么在后面三性质的应用的衔接可能会更自然些。更利于学生在一些具体的问题中

判断是切点尚未确定，或是圆心尚未确定，还是垂直关系尚未确定然后选择合适

的性质去确定它。

总之，新知识的引入是否贴合主题，是否吸引学生是学生进一步学习的重要前提。

教师应注意把握开展探究教学。这是适合于需求，新理念指导下的教学方式，有

待于在教学实践中学生不断探索、完善。

29.