河南省豫北名校联考2024−2025学年高二下学期4月期中考试数学试题含答案

/河南省豫北名校联考2024−2025学年高二下学期4月期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．2．的展开式的第4项为（）A． B． C． D．3．若随机变量的分布列为，则（）A．12 B．10 C．9 D．84．已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（）A． B．C． D．5．若随机变量的所有可能取值为2，4，且，则（）A． B． C．1 D．6．已知等差数列的公差，前项和为，若，则（）A．6 B．5 C．4 D．37．2025年2月深圳福田区推出基于DeepSeek开发的AI数智员工，并上线福田区政务大模型2．0版，该模型能进一步驱动政务效能全面跃升．某地也准备推出20名AI数智员工（假定这20名AI数智员工没有区别），分别从事三个服务项目，若每个项目至少需要5名AI数智员工，则不同的分配方法种数为（）A．21 B．18 C．15 D．128．已知盒中装有9个除颜色外其他完全相同的小球，其中有3个白球，6个红球，每次从盒中随机抽取1个小球，观察颜色后再放回盒中，直到两种颜色的球都取到，且取到的一种颜色的球比另一种颜色的球恰好多2个时停止取球，则停止取球时取球的次数为6的概率为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．在空间直角坐标系中，已知点，（与点不重合），则下列结论正确的是（）A．若点，关于平面对称，则B．若点，关于轴对称，则C．若，则D．若，则10．已知函数的导函数为，则（）A．一定是偶函数B．一定有极值C．一定存在递增区间D．对任意确定的，恒存在，使得11．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点从点处出发，每次向上或向右移动1个单位长度，直至到达点时停止移动，则下列结论正确的是（）

A．移动的方法共有252种B．仅有4次连续向上移动的方法有30种C．经过点的移动方法有70种D．若对任意，从第次到第次的移动方向相同，则移动的方法有2种三、填空题（本大题共3小题）12．某地高中生的肺活量（单位：mL）服从正态分布，若该地有12000名高中生，则其中肺活量低于2800mL的高中生的人数约为．参考数据：．13．若函数的图象在处的切线与在处的切线互相垂直，则的一个值为．14．甲、乙、丙三人进行篮球传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第4次传球传给乙的概率为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知椭圆经过点，且的离心率．(1)求的方程；(2)若直线经过点且与相切，求的方程．16．如图，在长方体中，，，，．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．17．河南省是我国小麦产量第一大省，约占全国小麦产量的．小麦品种是在河南省广泛种植的一个品种，某科研基地在实验田种植的品种小麦收获时，随机取10个该小麦的种子样本，每个样本均为1000粒，测得每个样本的质量（称为千粒重，单位：g）分别为40，48，42，46，50，46，52，43，48，45，记这10个数据的平均数为．(1)从这10个数据中随机选取3个，记这3个数据中大于的个数为，求的分布列；(2)用这10个样本中千粒重大于g的频率作为每个样本千粒重大于g的概率，从品种小麦种子中随机抽取20个样本，千粒重大于g的样本最有可能是几个？18．已知数列满足，．(1)求证：是等比数列；(2)若，求数列的前项和；(3)判断是否存在，使得，，成等差数列，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．19．若函数在区间上有意义，且存在，使得对任意的，当时，单调递增，当时，单调递减，则称为上的“抛物线型函数”，其中为在上的峰值．(1)若函数，试判断是否是区间上的“抛物线型函数”；(2)若是区间上的“抛物线型函数”，求实数的取值范围；(3)若函数，求证：是区间上的“抛物线型函数”，并求在区间上的峰值．

参考答案1．【答案】C【详解】由双曲线即知，则离心率为.故选C.2．【答案】B【详解】因为，所以.故选B.3．【答案】B【详解】根据分布列中概率之和为1，列方程得：，即，解得.故选B.4．【答案】C【详解】设圆心坐标为：由题意可知圆的标准方程为：，由圆过点，所以，解得：，所以圆的标准方程为，故选C.5．【答案】A【详解】由分布列的性质可知：，所以，所以，故选A.6．【答案】D【详解】因为，所以，所以，即，所以，所以.故选D.7．【答案】A【详解】先每组分5名员工，然后剩余5名分成三组，采用隔板法，五名员工和两个隔板，共有七个位置，所以不同的分配方法种数为种.故选A.8．【答案】C【详解】从袋中有放回地取球，每次取到红球的概率，取到白球的概率是，连续有放回地取次，相当于次独立重复试验；根据题意，知第6次时首次满足：两种颜色都取到；一种比另一种多2.即：前5次不满足“两种都取到且差为2”；第6次后满足“两种都取到且差为2”.可能的序列：①第6次后4白2红：前5次3白2红（差1），第6次白；②第6次后4白2红：前5次4白1红（差3），第6次红；③第6次后2白4红：前5次2白3红（差1），第6次红；④第6次后2白4红：前5次1白4红（差3），第6次白.设所求的概率为,所以.故选C.9．【答案】BC【详解】对A，若点，关于平面对称，则，所以，故A错误；对B，若点，关于轴对称，则，所以，故B正确；对C，若，则，故C正确；对D，若，则，所以，两式相减得，故D错误.故选BC.10．【答案】ACD【详解】对于A，由得，定义域为关于原点对称，且，所以一定是偶函数，故A正确；对于B，当时，，在上单调递增，没有极值，故B错误；对于C，当时，，在上单调递增，当时，得或，则在和上单调递增，综上，一定存在递增区间，故C正确；对于D，因为，所以的值域即在上的值域，而在上必有大于0的最大值，记该最大值为，则，即对任意确定的，恒存在，使得，故D正确.故选ACD.11．【答案】ABD【详解】对A，由题可知，无论怎样走，一定移动10次，其中5次向上移动，5次向右移动，故移动的方法共有种，故A正确；对B，仅有4次连续向上移动的方法有种，故B正确；对C，若经过点，则前3次向右移动2次向上1次，后7次向右3次向上4次，所以移动的方法有种，故C错误；对D，由题可知，当时，第1,2次的移动方向相同，当时，第3,4,5次的移动方向相同，当时，第6,7,8,9次的移动方向相同，因为向右5次，向上5次，所以第次的移动方向相同，则移动的方法有2种，故D正确.故选ABD.12．【答案】300【详解】因，则，于是得，所以12000名高中生肺活量低于2800mL的高中生的人数约为.13．【答案】(答案不唯一)【详解】由，可得，所以在处的切线斜率为，在处的切线斜率为由题意：，可设，则，解得：，，同时取，得，所以的一个值为.14．【答案】/【详解】前4次传球接球的情况有：乙甲乙甲、乙甲乙丙、乙甲丙甲、乙甲丙乙、乙丙甲乙、乙丙甲丙、乙丙乙甲、乙丙乙丙、丙甲乙甲、丙甲乙丙、丙甲丙甲、丙甲丙乙、丙乙甲乙、丙乙甲丙、丙乙丙甲、丙乙丙乙，共16种，第4次传球传给乙的情况有：乙甲丙乙、乙丙甲乙、丙甲丙乙、丙乙甲乙、丙乙丙乙，共5种，设第4次传球传给乙的事件为，则.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由椭圆经过点，且的离心率，可得，且，解得，所以椭圆的方程为.（2）解：当过的直线的斜率不存在时，此时，显然不符合题意，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，联立方程组，整理得，因为直线与椭圆相切，所以，整理得，解得，所以的方程为，即.16．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面；（2）由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点，向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

有，，，，，设，，，，，因为，所以，解得，所以，设平面的一个法向量为，有，令，可得，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.17．【答案】(1)0123P(2)8【详解】（1），10个数据中有4个数据大于平均数，所以从这10个数据中随机选取3个，记这3个数据中大于的个数为，，，，，，的分布列如下：0123P（2）由题意知每个样本千粒重大于g的概率为，从品种小麦种子中随机抽取20个样本，千粒重大于g的样本个数记为Y，则Y～，，令，即解得，又，所以，所以从品种小麦种子中随机抽取20个样本，千粒重大于g的样本最有可能是8个.18．【答案】(1)证明见解析(2)(3)不存在【详解】（1）由条件得，所以，又，所以是首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）知，所以，设，则，两式相减得，所以，设，则．（3）由（1）知，所以，假设存在，使得，，成等差数列，则，所以，即，即，当时，，，，当时，，所以不存在，使得，，成等差数列.19．【答案】(1)不是区间上的“抛物线型函数”(2)(3)证明见解析；-2【详解】（1）因为，所以，设，则，当时，可得，所以函数在区间上单调递减，所以，所以，所以在区间上单调递减，故不是是区间上的“抛物线型函数”（2）因为，所以，当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，但区间为，所以在区间上单调递增，不满足题意；当时，令得或，若，当时，，函数在区间上单调递增，当时，，函数在区间