重难点专题 1-2 抽象函数的赋值计算与模型总结【15类题型】（原卷版）-2025届高考数学热点题型归纳与重难点突（新高考专用）

重难点专题1-2抽象函数的赋值计算与模型总结近5年考情（2020-2024）考题统计考点分析考点要求2023年新高考1卷，第11题赋值法判断抽象函数的奇偶性，周期性（1）熟悉常见函数的抽象表达式（2）用赋值法判断抽象函数性质2022年新高考2卷，第8题模块一模块一总览热点题型解读（目录）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【题型1】抽象函数的赋值计算求值【题型2】抽象函数的奇偶性【题型3】抽象函数的单调性【题型4】抽象函数的最值与值域【题型5】抽象函数的对称性【题型6】抽象函数的周期性【题型7】一次函数的抽象表达式【题型8】对数型函数的抽象表达式【题型9】指数型函数的抽象表达式【题型10】幂函数的抽象表达式【题型11】正弦函数的抽象表达式【题型12】余弦函数的抽象表达式【题型13】正切函数的抽象表达式【题型14】二次函数的抽象表达式【题型15】其它函数的抽象表达式模块二模块二核心题型·举一反三(讲与练)【题型1】抽象函数的赋值计算求值赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，一般有以下几种：1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解2024·长沙市第一中适应性训练已知定义域为的函数，满足，且，，则________.（2024·福建龙岩·一模）已知函数的定义域为，且，，则________【巩固练习1】定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x,y∈R)，f(1)＝2，则f(3)=，f(-3)=.【巩固练习2】已知对所有的非负整数均有，若，则______．【巩固练习3】（2024·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（

）A． B． C． D．【题型2】抽象函数的奇偶性证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到与的关系2024·福建莆田·二模已知定义在上的函数满足：，证明：是奇函数2024·长沙市第一中适应性训练已知定义域为的函数，满足，且，，证明：是偶函数【巩固练习1】（多选）定义在上的函数满足：对任意的，则下列结论一定正确的有（

）A． B．C．为上的增函数 D．为奇函数【巩固练习2】（多选）已知定义在上的函数满足，且，则（

）A． B．C． D．【巩固练习3】（2024·全国·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，满足，则（

）A． B．C．为偶函数 D．为奇函数【巩固练习4】（2024届韶关市一模）已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数满足，若，则（

）A． B． C． D．【题型3】抽象函数的单调性判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.=1\*GB3①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;=2\*GB3②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或.函数的定义域为，对于，，，且当时，，证明：为减函数.已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立.（1）求（2）判断的奇偶性并证明（3）证明在上单调递减【答案】（1），（2）奇函数;(3)在上单调递减【详解】（1）由对任意，总有，令，则，则，又由，可得，则，故选项A判断正确；（2）令，则，则有，故，则是奇函数【巩固练习1】（多选）定义在上的函数，对于任意的都有；且；当时，；则下列结论正确的是（

）A． B．是奇函数C．在上单调递增 D．的解集为【巩固练习2】若定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2∈R,都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1成立，且当x＞0时，f(x)＞1.(1)求证:y＝f(x)－1为奇函数;(2)求证:f(x)是R上的增函数;(3)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)＜3.【巩固练习3】（2023·湖南师大附中校考）已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（）A．B．C．在上的最大值是10D．不等式的解集为【题型4】抽象函数的最值与值域结合奇偶性与单调性来判断最值或值域已知函数对任意的，总有，若时，，且，则当时，的最大值为（）A．0B．C．1D．2【巩固练习1】已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则在上的最大值是________【巩固练习2】已知连续函数对任意实数x恒有，当时，，，则f(x)在[－3，3]上的最大值是________【题型5】抽象函数的对称性抽象函数的对称性常有以下结论（1）关于轴对称，（2）关于中心对称，2024·江苏南通·二模（多选）已知函数，的定义域均为R，的图象关于点(2，0)对称，，，则（）A．为偶函数 B．为偶函数 C． D．【巩固练习1】已知对任意实数x，y，函数满足，则（

）A．有对称中心 B．有对称轴C．是增函数 D．是减函数【巩固练习2】（2024·重庆八中校考）（多选）已知函数的定义域为R，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是（

）A．为奇函数B．C．不等式的解集为D．【巩固练习3】（多选）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（

）A． B．是偶函数C．关于中心对称 D．【题型6】抽象函数的周期性抽象函数周期问题一般先求对称性2024山东青岛·统考三模设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有．则______．函数的定义域为，且，，，则.（2024届厦门一中校考）若定义域为的奇函数满足，且，则．【巩固练习1】2024·山东青岛·一模，，，则的值为（

）A．2 B．1 C．0 D．－1【巩固练习2】（2024·福建龙岩·一模）已知函数的定义域为，且，，则（

）A． B．为奇函数C． D．的周期为3【巩固练习3】（2024·福建厦门·一模）已知函数的定义域为，，，，若，则（

）A． B． C．2 D．4【巩固练习4】函数的定义域为，对任意，恒有，若，则，．【巩固练习5】深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研数学试题（多选）已知函数的定义域为，且，，为偶函数，则（

）A．为偶函数 B．C． D．【题型7】一次函数的抽象表达式一次函数的抽象表达式（1）

对于正比例函数

，与其对应的抽象函数为

.（2）

对于一次函数

，与其对应的抽象函数为

.（3）

对于一次函数

，与其对应的抽象函数为

.已知函数的定义域为，且的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列三个条件的一个的解析式为.①，；②为奇函数；③在上单调递减.（2023-2024学年重庆一中高一期中）（多选）已知定义在区间上的函数满足：对任意均有；当时，．则下列说法正确的是A． B．在定义域上单调递减C．是奇函数 D．若，则不等式的解集为【巩固练习1】(2024·安徽安庆·二模)（多选）已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（

）A． B．C．函数为减函数 D．函数的图象关于点对称【巩固练习2】(2024·山东泰安·一模)（多选）已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（

）A． B．有最大值C． D．函数是奇函数【题型8】对数型函数的抽象表达式对数函数的抽象表达式（重要）

对数函数

，其对应的抽象函数为

或补充：对于对数函数

，其抽象函数还可以是奇偶性证明：只需构造即可已知函数f（x）满足：①对，，；②．请写出一个符合上述条件的函数f（x）＝______．（2024·安徽·二模）已知函数满足，当时，，则（

）A．为奇函数 B．若，则C．若，则 D．若，则【巩固练习1】已知定义在上的函数，满足，且，则（

）A． B． C． D．【巩固练习2】已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，.(1)证明：当时，；(2)判断的单调性并加以证明；【题型9】指数型函数的抽象表达式对于指数函数

，与其对应的抽象函数为

或

.奇偶性证明：由得，判断和1的大小关系已知函数的定义域为，且的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列二个条件的一个的解析式为.①，；②在上单调递减.【答案】（答案不唯一）【分析】根据函数的性质直接得解.【详解】由题意为指数型函数，且在上单调递减，（2023上·浙江·高一校联考）（多选）已知定义在上的函数满足：①是偶函数；②当时，；当，时，，则（

）A． B．在上单调递增C．不等式的解集为 D．【巩固练习1】如果且，则（

）A． B． C． D．【巩固练习2】已知函数满足，，则的值为（

）A．15 B．30 C．60 D．75【巩固练习3】已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且.(1)判断的奇偶性；(2)判断在上的单调性，并证明；【题型10】幂函数的抽象表达式对于幂函数

，与其对应的抽象函数为或（2024·河北·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则（

）A．是奇函数且在上单调递减B．是奇函数且在上单调递增C．是偶函数且在上单调递减D．是偶函数且在上单调递增【巩固练习】已知函数的定义域为，且，则（

）A． B． C．是偶函数 D．没有极值点【题型11】正弦函数的抽象表达式三角函数注意系数的配凑，，，以下均以为例对于正弦函数

，与其对应的抽象函数为注：

此抽象函数对应于正弦平方差公式：2024·广东江门·一模函数的定义域为，对任意的，，恒有成立.请写出满足上述条件的函数的一个解析式.【巩固练习1】（多选题）（2024·辽宁·模拟预测）已知函数的定义域为R，且，则下列说法中正确的是（

）A．为偶函数 B． C． D．【巩固练习2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则下列说法中正确的是（

）A．为偶函数 B． C． D．【题型12】余弦函数的抽象表达式三角函数注意系数的配凑，，，以下均以为例（1）

对于余弦函数

，与其对应的抽象函数为注：

此抽象函数对应于余弦和差化积公式：（2）

对于余弦函数

，其抽象函数还可以是注：余弦积化和差公式：，2022新高考2卷T8用的就是这个模型2024·吉林白山·一模已知函数的定义域为，且，，请写出满足条件的一个（答案不唯一），．2024·重庆一中3月月考（多选）函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的有（

）A． B．C．为偶函数 D．的图象关于对称【巩固练习1】已知函数满足：，则.【巩固练习2】（2022新高考2卷T8）已知函数的定义域为R，且，则（

）A． B． C．0 D．1【巩固练习3】（2024·河北·模拟预测）（多选）已知定义在上的连续函数满足，，，当时，恒成立，则下列说法正确的是A． B．是偶函数C． D．的图象关于对称【题型13】正切函数的抽象表达式对于正切函数

，与其对应的抽象函数为注：

此抽象函数对应于正切函数和差角公式：已知函数满足，，则（

）A． B．C．的定义域为R D．的周期为4【巩固练习1】（2024·广西贺州·一模）（多选）已知函数的定义域为，且当时，，则下列说法正确的是（

）A．是奇函数B．为增函数C．若实数a满足不等式，则a的取值范围为D．【巩固练习2】定义在上的函数满足：对任意的都有，且当时，．（1）判断在上的单调性并证明；（2）求实数t的取值集合，使得关于x的不等式在上恒成立．【题型14】二次函数的抽象表达式二次函数

对于二次函数

，与其对应的抽象函数为（2024·浙江杭州·模拟预测）对于每一对实数，，函数满足函数方程，如果，那么满足的的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个（2024·高三·河北保定·期末）已知函数满足：，，成立，且，则（

）A． B． C． D．【巩固练习1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（

）A． B．方程有解C．是偶函数 D．是偶函数【答案】C【解析】对于A，因为函数的定义域为，且满足，取，得，则，取，得，则，故错误；对于B，取，得，则，所以，以上各式相加得，所以，令，得，此方程无解，故B错误.对于CD，由知，所以是偶函数，不是偶函数，故C正确，错误.故选：C.【巩固练习2】（2024·河南·三模）已知函数满足：，且，，则的最小值是（

）A．135 B．395 C．855 D．990【答案】C【解析】由，得，令，得，令，得，故，又，所以，所以，因为，当时，的最小值为855．【题型15】其它函数的抽象表达式理论上，有多少种原函数就有多少种抽象函数与之对应，但也不乏一种原函数可以与多种抽象