2024-2025学年甘肃省嘉峪关市高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1甘肃省嘉峪关市2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题一、单选题.1.若复数满足，则的虚部为（）A. B. C.1 D.i【答案】A【解析】由，可得，所以，所以，所以的虚部为.故选：A.2.如图，四边形是正方形，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知.故选：B.3.已知向量满足，则实数的值为（）A B. C. D.【答案】D【解析】由可得.故选：D.4.已知的内角，，的对边分别是，，，且，则的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】C【解析】因为，不妨设，，则为最大角，由余弦定理可得，即为钝角，所以是钝角三角形.故选：C.5.已知向量满足，则（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】向量满足，所以.故选：B.6.已知平面向量，不共线，，，，则（）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线【答案】D【解析】对于A，，与不共线，A不正确；对于B，，，则与不共线，B不正确；对于C，，，则与不共线，C不正确；对于D，，即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确．故选：D．7.如图，为测量山高MN，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测．已知山高，两座山都垂直地面，则山高MN长度为（）.A.150 B. C.300 D.【答案】A【解析】在直角中，，BC＝100，可得，在中，，，则，由正弦定理有：，即，故，在直角△中，，可得().故选：A.8.在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如下图所示：，即，，，，，，，、、三点共线，则.，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.二、多选题.9.已知复数，以下结论正确的是（）A.是纯虚数B.C.D.在复平面内，复数对应的点位于第三象限【答案】ABD【解析】，对于A，，纯虚数，A正确；对于B，，B正确：对于C，，C错误：对于D，，对应的点为，位于第三象限，D正确.故选：ABD.10.对于，有如下判断，其中正确的判断是（）A.若，则为等腰三角形B.若，则C.若，，，则符合条件的有两个D.若，则是钝角三角形【答案】ABD【解析】对于A，若，因为函数在上为单调函数，所以，所以为等腰三角形，所以A正确；对于B，若，可得，由正弦定理，可得，可得，所以B正确；对于C，因为，所以符合条件的有0个，所以C不正确；对于D，若，由正弦定理得，则，因为，所以，所以是钝角三角形，所以D正确.故选：ABD.11.下列说法中错误的有（）A.已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B.已知向量，，则不能作为平面的一个基底C.若，，则D.是所在平面内一点，且满足，则是的内心【答案】AC【解析】对A选项，，，且与的夹角为锐角，且与不共线，，则且，解得且，故A选项错误；对B选项，，则不能作为平面的一个基底，故B选项正确；对C选项，因为向量，所以不一定满足，故C选项错误.对D选项，因为，由可知，垂直与角的外角平分线，所以点在角的平分线上，同理点在角的平分线上，点在角的平分线上，所以是的内心，故D选项正确.故选：AC.三、填空题.12.设复数满足，则________.【答案】【解析】，则，故.13.已知，，向量在方向上的投影向量是（是与方向相同的单位向量），则______．【答案】12【解析】由题意知，在方向上的投影向量为，所以，所以.14.在中，，.①若，则角的大小为_____；②若角有两个解，则的取值范围是_____.【答案】【解析】①由正弦定理可得，，；②在中，，，如下图所示：若使得角有两个解，则，即.四、解答题.15.已知复数，.（1）求；（2）复数，对应的向量分别是，，其中为坐标原点，当时，求的值.解：（1）∵，∴.（2）∵，.，∵，∴.16.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，的面积为，求a的值．解：（1）由得，由正弦定理得．由余弦定理得．，．（2）由于的面积为，，，由余弦定理得：．．17.如图，在菱形中，.（1）若，求的值；（2）若，求.解：（1）因为，，所以，所以，所以，故.（2），，为菱形，，所以，.18.已知锐角的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）当时，求周长的取值范围.解：（1）∵，∴，∴，∵，∴，，∴.（2）∵，∴.∵为锐角三角形，∴，∴由正弦定理可得：，周长，∵，∴，∴周长的取值范围是.19.如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，．（1）求向量，仿射坐标；（2）当时，求；（3）设，若对恒成立，求的最大值．解：（1）由已知得，所以的仿射坐标为，同理，所以的仿射坐标为．（2）当时，，，，所以，，，所以．（3），，，由得．得对恒成立，又．所以，得．此时．因为，，所以，所以，所以，所以的最大值为．甘肃省嘉峪关市2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题一、单选题.1.若复数满足，则的虚部为（）A. B. C.1 D.i【答案】A【解析】由，可得，所以，所以，所以的虚部为.故选：A.2.如图，四边形是正方形，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知.故选：B.3.已知向量满足，则实数的值为（）A B. C. D.【答案】D【解析】由可得.故选：D.4.已知的内角，，的对边分别是，，，且，则的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】C【解析】因为，不妨设，，则为最大角，由余弦定理可得，即为钝角，所以是钝角三角形.故选：C.5.已知向量满足，则（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】向量满足，所以.故选：B.6.已知平面向量，不共线，，，，则（）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线【答案】D【解析】对于A，，与不共线，A不正确；对于B，，，则与不共线，B不正确；对于C，，，则与不共线，C不正确；对于D，，即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确．故选：D．7.如图，为测量山高MN，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测．已知山高，两座山都垂直地面，则山高MN长度为（）.A.150 B. C.300 D.【答案】A【解析】在直角中，，BC＝100，可得，在中，，，则，由正弦定理有：，即，故，在直角△中，，可得().故选：A.8.在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如下图所示：，即，，，，，，，、、三点共线，则.，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.二、多选题.9.已知复数，以下结论正确的是（）A.是纯虚数B.C.D.在复平面内，复数对应的点位于第三象限【答案】ABD【解析】，对于A，，纯虚数，A正确；对于B，，B正确：对于C，，C错误：对于D，，对应的点为，位于第三象限，D正确.故选：ABD.10.对于，有如下判断，其中正确的判断是（）A.若，则为等腰三角形B.若，则C.若，，，则符合条件的有两个D.若，则是钝角三角形【答案】ABD【解析】对于A，若，因为函数在上为单调函数，所以，所以为等腰三角形，所以A正确；对于B，若，可得，由正弦定理，可得，可得，所以B正确；对于C，因为，所以符合条件的有0个，所以C不正确；对于D，若，由正弦定理得，则，因为，所以，所以是钝角三角形，所以D正确.故选：ABD.11.下列说法中错误的有（）A.已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B.已知向量，，则不能作为平面的一个基底C.若，，则D.是所在平面内一点，且满足，则是的内心【答案】AC【解析】对A选项，，，且与的夹角为锐角，且与不共线，，则且，解得且，故A选项错误；对B选项，，则不能作为平面的一个基底，故B选项正确；对C选项，因为向量，所以不一定满足，故C选项错误.对D选项，因为，由可知，垂直与角的外角平分线，所以点在角的平分线上，同理点在角的平分线上，点在角的平分线上，所以是的内心，故D选项正确.故选：AC.三、填空题.12.设复数满足，则________.【答案】【解析】，则，故.13.已知，，向量在方向上的投影向量是（是与方向相同的单位向量），则______．【答案】12【解析】由题意知，在方向上的投影向量为，所以，所以.14.在中，，.①若，则角的大小为_____；②若角有两个解，则的取值范围是_____.【答案】【解析】①由正弦定理可得，，；②在中，，，如下图所示：若使得角有两个解，则，即.四、解答题.15.已知复数，.（1）求；（2）复数，对应的向量分别是，，其中为坐标原点，当时，求的值.解：（1）∵，∴.（2）∵，.，∵，∴.16.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，的面积为，求a的值．解：（1）由得，由正弦定理得．由余弦定理得．，．（2）由于的面积为，，，由余弦定理得：．．17.如图，在菱形中，.（1）若，求的值；（2）若，求.解：（1）因为，，所以，所以，所以，故.（2），，为菱形，，所以，.18.已知锐角的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）当时，求周长的取值范围.解：（1）∵，∴，∴，∵，∴，，∴.（2）∵，∴.∵为锐角三角形，∴，∴由正弦定理可得：，周长，∵，∴，∴周长的取值范围是.1