2024-2025学年河南省南阳市六校高一下学期4月期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河南省南阳市六校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B.2.若角满足，则角为（）A.第一或第四象限角 B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角 D.第一或第三象限角【答案】D【解析】因，由可得，则为第一象限角，即，也即.当时，，即为第一象限角；当时，，即为第三象限角.综上，角为第一或第三象限角.故选：D.3.在中，已知，则C＝（）A.60° B.30° C.30°或150° D.60°或120°【答案】D【解析】由正弦定理可得，即，解得，则或.故选：D.4.已知向量，不共线，，且与共线，则m＝（）A.2 B.－2C.1 D.－1【答案】B【解析】因为与，则存在唯一的实数t，满足，即，整理可得，已知向量，不共线，等式成立等价于，解方程组，可得.故选：B.5.已知平面向量满足，，若向量与的夹角为，则（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】因为，又，所以，所以，即，所以，解得（负值已舍去）.故选：A.6.若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，所以的最小正周期，又，所以，所以，则，又为奇函数且，所以，所以，所以的最小值为.故选：A.7.如图，在中，，且BF与CE交于点M，设，则（）A. B. C. D.－1【答案】C【解析】因为三点共线，且，所以，又因为三点共线，且，所以，可得，解得，所以.故选：C.8.已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】因为，即为的中点，又，所以为的中点，又正三角形的边长为，所以，依题意，，所以，所以当时取得最小值，如图，此时点在的位置，连接，则，又，，所以，所以，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若非零向量满足，，则B.C.若为单位向量，则D.向量可以作为平面内的一个基底【答案】AC【解析】对于A：因为为非零向量，，所以存在非零实数，使得，又，所以存在实数使得，所以，所以，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：因为为单位向量，所以，所以，，所以，故C正确；对于D：因为，所以，即，所以向量不可以作为平面内的一个基底，故D错误.故选：AC.10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.若将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象，则为奇函数【答案】ABC【解析】由图象可知，函数过，代入则有，所以，又，所以，故A正确；又图象过点，所以，所以，可得，，因为，所以，即，故B正确；由AB可知：，故C正确；将的图象向左平移个单位长度可以得到，为偶函数，故D不正确.故选：ABC.11.已知函数，则（）A.的图象关于直线对称 B.是周期函数C.对任意恒成立 D.在上单调递减【答案】BCD【解析】，故A不正确；，所以是周期函数，故B正确；由三角函数的有界性可知：，，所以，故C正确；时，单调递增，且，又在上单调递减，所以由同增异减的原则可知在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，折扇的扇面可看作从一个圆面中前下扇形制作而成如图，扇面的两条弧长分别为，的长度为，则扇环的面积为______．【答案】【解析】设所在扇形的半径为，圆心角为，则，解得，所以扇环的面积为.13.南水北调中线工程源头位于丹江口水库，重点解决河南，河北，北京，天津的水资源短缺问题．如图所示，B，E，F为山的两侧处于同一水平线上的三点，在山顶A处测得点B，E，F的俯角分别为60°，75°，45°，计划沿直线BF开通引水隧洞，现已测得，则隧洞BE的长度为______．参考数据：．【答案】【解析】在中，由图可知，，由正弦定理可得：，又因为，解得，在中，由图有，，则由正弦定理可得：，解得.14.已知在平行四边形ABCD中，，过点B作于点E，则的取值范围为______．【答案】【解析】设，，则，，因，则，，得，，因，且不共线，则，则，联立与，得，解得，得，则，因，则，故的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，，且点的坐标为．单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是的面积的倍．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为在单位圆上，且位于第一象限，所以且，解得，所以，所以，.（2）因为面积是的面积的倍，所以，又，所以，即，又，解得或（舍去）；所以.16.已知向量，，且在方向上的投影数量为．（1）求；（2）若与的夹角是锐角，求实数的取值范围．解：（1）因为，，所以，，又在方向上的投影数量为，所以，解得.（2）由（1）可知，所以，，因为与的夹角是锐角，所以且与不共线；当时，即，解得；当与共线时，，解得；综上可得实数的取值范围为.17.已知函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合．（1）若，求值域；（2）求函数的值域．解：（1）因为函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合，所以，所以，又，所以，所以，且其最小正周期，所以在上的值域与的值域相同，由，则，所以，所以当时的值域为.（2）因为，又，所以，所以，即函数的值域为.18.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）求在区间上的单调性；（3）若函数在区间上恰有2个零点，求b的取值范围．解：（1）由图象可知，解得：，又由于，所以，由图象及五点法作图可知：，所以，因为，所以，所以.（2）由（1）知，，因为，所以，当时，即时，单调递增，当时，即时，单调递减，所以的单调递增区间为，的单调递减区间为.（3），函数在区间上恰有2个零点，等价于在区间上恰有2个零点.时，，令，则图象的第二个零点为，即，第三个零点为，即，所以.19.在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边上一点．（1）若，，求；（2）若，平分，，求的取值范围；（3）若于点，且，求的最大值．解：（1）因为，由余弦定理可得，整理得，又，所以，则，所以，所以，由余弦定理，又，所以.（2）因为，即，所以，由余弦定理，所以，所以，因为，且，所以，当且仅当时取等号，则，所以，令，则，，所以，因为在上单调递增，当时，当时，所以，即的取值范围为.（3）设，由，所以，又，即，又，所以，所以，如图在中过点作的垂线且使，则，因为，所以，即，所以，所以的最大值为.河南省南阳市六校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B.2.若角满足，则角为（）A.第一或第四象限角 B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角 D.第一或第三象限角【答案】D【解析】因，由可得，则为第一象限角，即，也即.当时，，即为第一象限角；当时，，即为第三象限角.综上，角为第一或第三象限角.故选：D.3.在中，已知，则C＝（）A.60° B.30° C.30°或150° D.60°或120°【答案】D【解析】由正弦定理可得，即，解得，则或.故选：D.4.已知向量，不共线，，且与共线，则m＝（）A.2 B.－2C.1 D.－1【答案】B【解析】因为与，则存在唯一的实数t，满足，即，整理可得，已知向量，不共线，等式成立等价于，解方程组，可得.故选：B.5.已知平面向量满足，，若向量与的夹角为，则（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】因为，又，所以，所以，即，所以，解得（负值已舍去）.故选：A.6.若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，所以的最小正周期，又，所以，所以，则，又为奇函数且，所以，所以，所以的最小值为.故选：A.7.如图，在中，，且BF与CE交于点M，设，则（）A. B. C. D.－1【答案】C【解析】因为三点共线，且，所以，又因为三点共线，且，所以，可得，解得，所以.故选：C.8.已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】因为，即为的中点，又，所以为的中点，又正三角形的边长为，所以，依题意，，所以，所以当时取得最小值，如图，此时点在的位置，连接，则，又，，所以，所以，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若非零向量满足，，则B.C.若为单位向量，则D.向量可以作为平面内的一个基底【答案】AC【解析】对于A：因为为非零向量，，所以存在非零实数，使得，又，所以存在实数使得，所以，所以，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：因为为单位向量，所以，所以，，所以，故C正确；对于D：因为，所以，即，所以向量不可以作为平面内的一个基底，故D错误.故选：AC.10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.若将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象，则为奇函数【答案】ABC【解析】由图象可知，函数过，代入则有，所以，又，所以，故A正确；又图象过点，所以，所以，可得，，因为，所以，即，故B正确；由AB可知：，故C正确；将的图象向左平移个单位长度可以得到，为偶函数，故D不正确.故选：ABC.11.已知函数，则（）A.的图象关于直线对称 B.是周期函数C.对任意恒成立 D.在上单调递减【答案】BCD【解析】，故A不正确；，所以是周期函数，故B正确；由三角函数的有界性可知：，，所以，故C正确；时，单调递增，且，又在上单调递减，所以由同增异减的原则可知在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，折扇的扇面可看作从一个圆面中前下扇形制作而成如图，扇面的两条弧长分别为，的长度为，则扇环的面积为______．【答案】【解析】设所在扇形的半径为，圆心角为，则，解得，所以扇环的面积为.13.南水北调中线工程源头位于丹江口水库，重点解决河南，河北，北京，天津的水资源短缺问题．如图所示，B，E，F为山的两侧处于同一水平线上的三点，在山顶A处测得点B，E，F的俯角分别为60°，75°，45°，计划沿直线BF开通引水隧洞，现已测得，则隧洞BE的长度为______．参考数据：．【答案】【解析】在中，由图可知，，由正弦定理可得：，又因为，解得，在中，由图有，，则由正弦定理可得：，解得.14.已知在平行四边形ABCD中，，过点B作于点E，则的取值范围为______．【答案】【解析】设，，则，，因，则，，得，，因，且不共线，则，则，联立与，得，解得，得，则，因，则，故的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，，且点的坐标为．单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是的面积的倍．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为在单位圆上，且位于第一象限，所以且，解得，所以，所以，.（2）因为面积是的面积的倍，所以，又，所以，即，又，解得或（舍去）；所以.16.已知向量，，且在方向上的投影数量为．（1）求；（2）若与的夹角是锐角，求实数的取值范围．解：（1）因为，，所以，，又在方向上的投影数量为，所以，解得.（2）由（1）可知，所以，，因为与的夹角是锐角，所以且与不共线；当时，即，解得；当与共线时，，解得；综上可得实数的取值范围为.17.已知函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合．（1）若，求值域；（2）求函数的值域．解：（1）因为函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合，所以，所以，又，所以，所以，且其最小正周期，所以在上的值域与的值域相同，由，则，所以，所以当时的值域为.（2）因为，又，所以，所以，即函数的值域为.18.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）求在区间上的单调性；（3）若函数在区间上恰有2个零点，求b的取值范围．解：（1）由图象可知，解得：，又由于，所以，由图象及五点法作图可知：，所以，因为，所以，所以.（2）由（1）知，，因为，所以，当时，即时，单调递增，当时，即时，单调递减，所以的单调递增区间为，的单调递减区间为.（3），函数在区间上恰有2个零