2023年小学五年级下册数学奥数知识点讲解不规则图形面积计算试题附答案

小学五年级下册数学奥数知识点讲解第2课《不规则图形面积计算2》试题附答案

例1如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求

阴影部分的面积。

例2如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在

正方形内画圆，求阴影部分面积。

例3如右图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE半径AE=6厘米,

扇形CBF的半CB二4厘米，求阴影部分的面积。

例4如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20厘米，如果阴影

(I)的面积比阴影(II)的面积大7平方厘米，求BC长。

例5如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。

例6如右图，将直径Ab为3的半圆绕超时针旋转60°,此时Ab到达AC的位置,

求阴影部分的面积（取产3）.

例7如右图，ABCD是正方形，且FA二AD二DE二1,求阴影部分的面积.

例8如下页右上图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周上的中点，BC是半圆的

直径，且AB二BOIO,求阴影部分面积（燃3.14）。

答案

第二讲不规则图形面积的计算（二）

不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、

长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它

的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段

使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A

与集合B之间有：SAIjB=SA+S.c-SArE）合并使用才能解决。

例1如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求

阴影部分的面积。

解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右

图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的

面积相等.所以上图口阴影部分的面积等于正方形面积的•半。

解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧

边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。解法3：将下面的半

圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的

面积是正方形的一丝.

例2如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在

正方形内画圆，求阴影部分面积。

解：由容斥原理

S否备=S置当ACs+S重衫AUJ-S三万衫皿

=-XAB2X2-AB2

4

20

解：BC的长=[3,14X(―)+2-7]X2+20

=(157-7)X2+20

=15（厘米）。

例5如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。

D

10J6c

分析阴影部分的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图

中（I）的面积之差.而图中。）的面积等于边长为6的正方形面积减去"

的以6为半径的圆的面积。

解：,勇彰一5三空号&6一（,三万千3;一$鼻弓脑）

11(/1

=-X10+6)X6-(6X6--XHX62

2\1)

=48-9（取兀=3）=39（平方厘米）。

例6如右图，将直径窗为3的半圆绕健时针旋转6CT,此时AB到达AC的位置,

求阴影部分的面积（取产3）.

解：整个阴影部分被线段CD分为I和II两部分，以AB为直径的半圆被弦AD

分成两部分，设其中疝右侧的部分面积为S,由于弓形AD是两个半圆的公共部

分，去掉AD弓形后，两个半圆的剩余部分面积相等.即H二S,由于：

I+S=60°圆心角扇形ABC面积

Q

・•・阴影部分面积是9

例7如右图，ABCD是止方形，且FA二ADRE，，求阴影部分的面枳.

解：阴影M的面积+阴影N的面积=ABCD的面积=〈，

乙

阴影W的面积=（正方形面积-Jx圆面积）xl

I乙

=-X（lxi-lxirxi2）

24

=yx-=p（取兀=3）°

乙T0

・•・阴影部分的总面积=4+:=£

OO

例8如下页右上图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周上的中点，BC是半圆的

直径，且AB二BC二10,求阴影部分面积（速3.1。o

解：...三角形ABC是等腰直角三角形，以AC为对角线再作一个全等的等腰

直角三角形ACE,则ABCE为正方形（利用对称性质）。

B

・匹茨=三啜

,S(ST3AM+2

=(10Xi0+nx52^-2-1xioxi5)+2

=(100+39.25-75)+2

=64.25+2

=32.125.

总结：对于不规则图形面积的讨算问题一般将它转化为若干基本规则图形

的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法

有：

一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分

别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个

图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把

它们相加就可以了.

二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规

则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面

积再减去里面圆的面织即可.

三、直接求法：这种方法是根据己知条件，从整体出发直接求出不规则图

形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分

析发现它就是一个底是2、高是4的三角形，其面积直接可求为：Jx2X4=4

四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上

的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲

求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，

这时采用相减法就可求出其面积了.

五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助

线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决

即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，

但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.

六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部

分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部

分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正

方形面积的一半.

七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位

置，使之组合成一个新的基本规则图

形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿

中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部

分恰是一个正方形。

八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点

或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则

的图形，便于求出面积.例如，欲求上图（1）中阴影部分的面积，可将左半图

形绕B点逆时针方向旋转180。，使A与C重合，从而构成如右图（2）的样子，

此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.

九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的

基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴

影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的

面积的一半就是所求阴影部分的面积。

十、重叠法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠

部分，然后运用“容斥原理”(SAUB=SA+SB-SAHB)解决。例如,欲求右

图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影

部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.

习题二

一、填空题(根据图口所给的数据求阴影部分面积)

二、解答题:

1.如右图,大圆为直径为4厘米，求阴影部分的面积。

2.如右图,大扇形半径是6厘米，小扇形半径是3厘米.求阴影部分的面

积。

6

3.如左图，三个司心圆的半径分别是2、6、10,求B中阴影部分占大圆面

积的百分之几？

4.如右图，正方形ABCD边长为1厘米，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、

BE、CF,DG为半径画出扇形，求阴影部分的面积.

E

G

5.如下图（a）,求阴影部分的面积。

6.如下图（b）,把0A分成6个等分，以0为圆心画出六个扇形，己知最小

的扇形面积是10平方厘米，求阴影部分的面积。

0))

7.如下图（a）,/XABC是等腰直角三角形，直角边AB二2厘米，BE、BD分别

为以C、A为圆心，BC、AB为半径所作的弧,求阴影部分面积.

8.如下图（b）,己知半径OA二OB二009二厘米，N1二N2二15°,求阴影部分

的面积.

五年级奥数下册：第二讲不规则图形面积的计算（二）习题解答

习题二解答

一、填空题:

1.阴影部分等于正方形面积的一半，即4.5（平方单位）。

2.阴影部分等于三角形面积的一半，即25（平方单位）。

3.阴影部分等于一个小正方形的面积，即1（平方单位）。

4阴影部分等于9圆的面积减去三角形面积，即冗-2（平方单位）。

5.阴影部分等于长是b、宽是a的矩形面积，即ab（平方单位）。

6阴影部分等于半径为2的圆面积的;减去直角边是2的等腰直角三角

形的面积，即Jx兀X2-2X2+2=兀-2（平方单位）。

4

1

7阴影部分面积等于半圆面积减去等腰直角三角形的面积，即〈冗

2-

（平方单位）。

&阴影部分面积等于正方形面积减去圆面积，即100-25兀（平方单位）。

9.阴影部分面积等于大半圆面积减去中和个两个半圆面积，即18兀-

餐客一95冗（平方单位）。

乙乙

10.阴影部分面积等于大半圆面积减去小半圆面积再减去一个直角三角

形面积，即Jx16兀・（2兀+4X4+2）=6兀-8（平方单位）.

11.阴影部分面积等于两个半圆面积之和减去等腰直角三角形面积，即兀

X32-1X6X6=9%-18（平方单位）。

乙

12.阴影部分面积等于半圆面积，即Jx冗xF=］冗（平方单位）。

乙乙

13.阴影部分面积等于4个半圆面积减去正方形面积，即4xJx冗X5?-

10X10=50^-100（平方单位）。

14.阴影部分面积等于2个圆面积加上一个正方形面积，即2X；rXg+8A32;r

+64（平方单位）。

15二个大圆面积减去半个小圆面积，即怖（平方单位）。

I乙

16.阴影部分面积等于9个圆面积与以6为直角边的等腰直角三角形面

积差的一半，Bp|x（lx^x62

（平方单位）。

17.阴影部分面积等于小半圆面积加中半圆面积减大半圆面积再加直角

三角形面积，即Jx客+1x^x|zl+；X3X4=；X3X4=6

乙\乙/乙\乙/乙\乙/乙乙

（平方单位）。

18.阴影部分面积等于《个以2为半径圆的面积加!个以3为半径圆的面

积减长方形面积，即竽-6（平方单位）。

19.将左边阴影部分割补到右边，所以阴影部分就是这个平行四边形面

积，即2（平方单位）.

20.扇形面积减去半个圆面积再减去三角形面积等于圆外阴影部分面积，

半圆面积减去三角形面积等于圆内阴影部分面积.上述两个结果的和是丝w

(平

方单位)，即为所求阳影部分的面积.或者用圆内两个弓形从下半圆割下，补

贴于圆内上半圆两侧.阴影面积等于:大圆面积减去对角线长为5的正方形

4

E12fl5525

面枳=~7X7cX5-4x-x—x—小…(平方单位)。

4{222,

2】.兀(平方单位).阴影面积是以2为半径圆面积的9。

22.4(平方单位).阴影面积是以2为边长的正方形面积。

二、解答题:

1.先求大圆面积：即314X(g=12,56,再求4个小圆面积，即：3.14X

(4+2+2)咏4=12.56.再求4个小圆重叠部分的面积，即：；x314x(4+2+2产

-(4+2+2)隈；X8=2.28最后大圆面积减去4个小圆面积与4个小重叠部分

面积差，即12.56-(12.56-2.28)=2.28平方厘米,即为所求阴影部分面

积。

2.如右图，把阴影部分下端的一块割下，补在上面的空白部分，这样阴

影部分面积等于半径为6厘米的圆面积的!减去半径为3厘米圆面积的;所

得的差，即：

^-x3.14x62-^-x3.14x32=21,195（平方厘米）。

3.33%。

4.7.5坪方厘米。

5.如右图，阴影部分面积=矩形面积-（S1+S2）.把S向左平移2个单位,

则与S拼成一个边长为4的正方形.

，阴