2024年高考复习数学第7章第3节等比数列

第三节等比数列

考试要求：1.理解等比数列的概念及通项公式的意义.

2.探索并掌握等比数列的前〃项和公式，理解等比数列的通项公式与前〃项和

公式的关系.

3.能在具体的问题情境中，发现等比关系，并解决相应的问题.体会等比数列

与指数函数的关系.

—、必备知识-回顾教材重“四基

一、教材概念-结论-性质重现

1.等比数列的有关概念

(1)定义：一般地，如果一个数列｛&｝从第2_项起，每一项与它的前一项之比都等

于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公

比通常用字母q表示(显然夕"0).定义的递推公式为皿=冢常数).

(2)等比中项：如果在。与人中间插入一个数G,使a,G,〃成等比数列，那么

G叫做a与〃的等比中项.此时，G2=ab.

微提醒■■■

(1)注意：①等比数列的每一项都不可能为0.

②公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与〃无关的

常数.

Q)“S=ab”是“a,G,b成等比数列”的必要不充分条件.

2.等比数列的有关公式

xA

(1)通项公式：gn=a\cf.

⑵前n项和公式：

naY,q=1,

=Ja1(l-qn)_at-anq

-------------,q干

i-qi-q丫

微提醒■■■

⑴等比数列通项公式与指数函数的关系

等比数列｛而｝的图象是指数型函数》=藁•夕'的图象上一些孤立的点.

(2)求等比数列前〃项和时要对公比夕是否等于1进行分类讨论.

3.等比数列的性质

(1)通项公式的推广:an=a,n♦qn~m(m,〃£N*).

(2)对任意的正整数"7,〃，p,q,若/〃+〃=p+g,则•的.

特别地，若，〃+n=2P,贝！a,n*gft=ap.

(3)若等比数列前〃项和为S”则S〃“S2m—Sm,S3M-5%仍成等比数列，即6用一

S,“)2=S1S3”-S")(m三N‘，公比qr—1或4=—1,m为奇数).

(4)数列｛小｝是等比数列，则数列｛p〃”)(pXO,〃是常数)也是等比数列.

(5)在等比数列伍〃｝中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即0”…an

+2«,小+3人，…为等比数列，公比为俄.

4.等比数列｛〃”｝的单调性

满足的条件单调性

e1>0成V0

[q>1to<qV1｛m｝是递增数列

Pi>0成但<o

｛勿｝是递减数列

仔i*0

U=1｛〃”｝是常数列

q<0｛〃”｝是摆动数列

微提醒■■■口

等比数列的单调性并不是只与公比有关，而是与首项和公比都有关系.

=基本技能-思想-活动经验

1.判断下列说法的正误，对的画“J”，错的画“X”.

(1)满足m+i=qa〃(〃£N*,q为常数)的数列｛.｝为等比数列.(X)

(2)如果数列｛〃〃｝为等比数列，d=3一+。2”，则数列｛历十也是等比数列.(X)

(3)如果数列｛〃〃｝为等比数列，则数列｛Inm｝是等差数列.(X)

(4)数列｛〃”｝的通项公式是如=〃"，则其前〃项和为S产丝产.(X)

1-a

2.已知数列｛〃”｝是等比数列，且0=3。4=-1,则｛““｝的公比夕为()

8

A.2B.--C.-2D.-

22

C解析：由氏=/=—8潺9=—2.故选C.

3.已知在等比数列｛〃〃｝中，424304=1,0/748=64,则45等于()

A.—2B.±2

C.2D.士工

2

C解析：因为等比数列｛〃〃｝中，。2。3出=1,06a748=64,所以返=1,(^=64,

所以。3=1,47=4,因此城=4307=4,因为。5,。3同号，所以。5=2.故选C.

4.已知伍”｝是等比数列，若⑺=1,46=843,数歹UR｝的前〃项和为丁"，则"

()

A.—B.31

16

C.蔡D.7

A解析：设等比数列(〃〃｝的公比为％因为41=1,46=843,所以小=8,解得

4=2.

所以m=2".所以十所以数列｛3｝是首项为1,公比为：的等比数列.则

/1-(丁_31

75―_可__I?

5.在3与192中间插入两个数使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为

12,48解析：设该数列的公比为小由题意知，

192=3X^\炉=64,

所以夕=4.

所以插入的两个数分别为3X4=12,12X4=48.

-、关键能力-研析考点强“四翼”不一

考点1等比数列基本量的计算——基础性

「多维训练」

1.(2022•全国乙卷)已知等比数列｛小｝的前3项和为168,。2—。5=42,则倘=

)

C.V2D.一四或加

D解析：设等比数列｛a“的公比为夕，由。2,46是方程/+6x+2=0的根，可

得42al6=2,即Q；</6=2,即谒=2,则曜这=。9=±疸.故选D.

a9

(2)在数列｛4>｝中,41=2,am+n=aman.若以+1+或+2T---卜或+10=215—2，,则k=

()

==

C解析:由dm+nClniClnt令fJ11可得4〃+1=。1。〃=2".，所以数列｛4〃｝是公比为

2的等比数列,所以4=2X2川=2”,则以+1+以+2+…+以+10=24讨+2a2+…+

2Mio=丝支丝1=2介“一2"|=215—25,所以攵=4.故选C.

1—2

同源异考/

本例(1)的条件变为:若等比数列｛〃”｝中的45,42017是方程打一4%+3=0的两个

根，试求log?Qi+log3a2+log3Q?+…+logM2M.

解：等比数列｛〃”｝中的45,42017是方程4x+3=0的两个根，

则6/54-«2017=4,as,«2017=3,

所以等比数列｛而｝中奇数项为正，所以防0"=百，

1010

所以log3al+log3a2+log3a34------Flog3a2021=log3[(asa2017)*a\011]=

解联通法

等比数列性质应用的要点

(1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前〃项和公式，建立方程

组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质，如“若/〃+〃=〃+/则有如以“=

如劭”，则可以减少运算量.

(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数

列&,Sik—SkfS3K—52储…成等比数列，公比为。(疗一1).

「多维训练」

1.在等比数列｛小｝中,a〃>0,ai+a2T---1俏=4,…寺=16,则工+工+…

+上的值为()

a8

A.2B.4

C.8D.16

A解析：由分数的性质得到工+工+…+工=也四+%3+…+巴卫.因为a刈

仁2a8a8ala7a2a4a5

=aiai=a3a6=aaas,所以原式=+…=，_又〃1①…侬=16=(公公六,a„>

a4a5a4a5

0,所以44a5=2,所以工+2+…+工=2.故选A.

a2%

2.已知等比数列｛〃“｝的公比不为一1,设S〃为等比数列他〃｝的前〃项和，&2=

7s4,则卜.

3解析：由题意可知S4,58-54,S2—S8成等比数列，则(58-54)2=54・(512—

S8).又S12=7SA,所以(S8-S4)2=S4・(7S4-S8),可得一6s系一$854=0,两边都

除以枭，得(£)2一日一6=°，解得£=3或-2.又£=l+/(g为伍”｝的公比)，所

以包〉1,所以包=3.

S4S4

考点3等比数列的判断和证明——应用性

「典例引领」

考向1定义法判定等比数列

例❷，・己知数列｛〃〃｝和｛/?〃｝满足。1=1,加=0,4〃”+1=3以一瓦+4,4bw+i=3bn—

小一4.

(1)证明：｛m+为｝是等比数列，｛〃”一儿｝是等差数列；

(2)求数列｛〃〃｝和｛儿｝的通项公式.

(1)证明：由4a〃+i=3a〃一力〃+4,4儿+i=3〃”一小一4,两式相加得4(a〃+i+/%+。=

=a

2(。〃+bn),即alt+1+bn+1~(»+bn).

又因为a\+b\=\,

所以｛。”十力”｝是首项为1,公比为1的等比数列.

2

由44”i=3a”一力〃+4,4儿+i=3瓦一如一4,两式相减得4(a〃+i—儿+1)=4(如一/?”)

+8,

即(〃“+1—b“+i)—(an—bn)=2.

又因为a\—b\=I,

所以(小一①｝是首项为1,公差为2的等差数列.

(2)解：由(1)知，。〃+仇=-^7，an—bn=2n—\t

所以。”=j(。〃+bn)+(Cln—bn)]=1+〃—5

bn=夕(a”+bn)—(an—bn)]=表-〃+卜

解联通法

判断或证明一个数列为等比数列时应注意的问题

⑴判断或者证明数列是否为等比数列最基本的方法是定义法.

⑵等比数列的前〃项和公式法一般不用于证明，可在选择或填空题中灵活使用.

(3)若要判定一个数列不是等比数列，只需判定存在连续三项不成等比数列.

考向2等比中项法判定等比数列

例0<在数列｛。〃｝中，成+1+2。〃+1=+alt+an+2,且。।=2,g=5.

(1)证明:数歹是等比数列；

(2)求数列｛公｝的前〃项和S〃.

(1)证明：因为W+i+2a”+i=a”a〃+2+a”+a〃+2,

所以(a〃+i+l)2=(a〃+l)(a”+2+1),

即0n+l+l一an+z+l

an+1an+i+1

因为。I=2,a2=5,所以“I+1=3,42+1=6,

所以。2+1=2,

ai+1

所以数列｛々”+1｝是以3为首项，2为公比的等比数列.

(2)解：由(1)知，。”+1=3・2”-1,所以。”=3・2"—1,

所以S”=3(i-2")一〃=3-2〃一〃一3.

1-2

解题通法

证明等比数列问题的注意点

(1)W="〃_M+I5>2,"SN*)是｛a〃｝为等比数列的必要不充分条件，也就是-列定

一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.

(2)证明数列｛m｝为等比数列时，不能仅仅证明a〃+i=q小，还要说明#0,才能递

推得出数列中的各项均不为零，断定数列｛而｝为等比数列.

多维训练

1.在数列优〃｝中，满足0=2,1-a〃+i(〃22,〃三N*),S”为｛〃”｝的前〃项

和.若俏=64,则S7的值为()

A.126B.256

C.255D.254

D解析：数列｛〃”｝中，满足嫌〃£N"),则数列｛〃〃｝为等比数列，

设其公比为g,又由仙=2,然=64,得“5=*=32,则夕=2,则S7=°«：)=

Qi1-2

28-2=254.

2.已知数列｛雨｝的首项s>0,。川=£^(〃£N)且⑺=/

(1)求证：｛2-1｝是等比数列，并求出数列伍〃｝的通项公式；

(2)求数列｛J的前〃项和Tn.

(1)证明:记bn=

则如+1=an+「_2a“+l-3即_―即_1.

bn--—13-3（1“3（1-。口）3

an

,,,1,3,1

又b\=—―1=--1=-,

ax22’

所以｛十一1｝是首项为也公比为g的等比数列,

所以F•(叶，2-3n-1

即a=

nl+2-3n-1，

所以数列｛4〃｝的通项公式为痴=；；35

(2)解：由⑴知,G)n\

脸="(3…+L

所以数列七｝的前n项和〃(1一表)+机

拓展考点构造法解答数列问题

对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公

式的特点，还有以下几种构造方式.

构造法1形如。〃+i=ca〃+d(c、WO,其中3=。)型

(I)若c=l,数列｛〃“｝为等差数列.

(2)若4=0,数列｛而｝为等比数列.

(3)若cHl且dWO,数列｛〃”｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等

比数列来求.

方法如下：设。”+1+幺=。(。〃+2),得a〃+i=ca〃+(c—1)九与题设a〃+i=ca〃+d比

较系数得久=二(。#1).

所以。”+/^=｛。71一1+FJ)(〃N2),

即｛Q〃+构成以内+专为首项，以c为公比的等比数列.

「典例引领」

例0,•在数列｛〃〃｝中，若的=1,a〃+i=3a〃+2,则通项.

2・3〃”-1解析：因为的+1=3所+2,所以。e+1=3(。”+1).又s=l,所以

«i+l=2,故数列｛。〃+1｝是首项为2,公比为3的等比数列，所以。〃+1=2・3〃-

,,所以。〃=2・3〃/一1.

构造法2形如〃〃+i=pa”+q-"+i(pWO,1,产0)型

加尸p〃〃+夕・/kSW(),1,qWO)的求解方法是两端同时除以“口即得豁一

端=q,则数列愤｝为等差数列.

「典例引领」

例血,(1)已知正项数列｛〃“)满足ai=4,a〃+i=2a〃+2〃+i,则小等于()

A.n•2,,dB.(〃+1)・2"

C.n•2,r+lD.(〃-1)・2"

B解析：因为。用=2小+2向,所以普=黄+1,即普一招=].又枭=户2,

所以数列｛畀是首项为2,公差为1的等差数列，所以羽=2+(〃一”1=〃+1,

所以〃”=(〃+1)2”.

(2)已知在正项数列｛小｝中，0=2,m+1=2斯+3X5”,则数列｛斯｝的通项所等于

()

A.一3X2"B.3X2〃/

C.5〃+3X2”/D.5〃一3X2"」

D解析：在递推公式〃用=2小+3X5〃的两边同时除以5田，得篝翳+：.

①令儿=引则①变为儿川=|儿+|,所以瓦+1—1=|（房一1）,所以数列｛儿T｝

是首项为一右公比为；的等比数列，所以仇—1=（-§X（§“T,则/"=l—£x

Q）nl,所以意=1一|'0一'所以。”=5〃一3X2".

构造法3相邻项的差为特殊数列（形如z+i=pz+gi,其中m=a,ai=b型）

可化为小十1—X1〃"=*2（々"-X14"_|）,其中XI,X2是方程f—px一夕=0的两根.

「典例引领」

例应，在数列｛〃“｝中，m=l,6=2,a”+2=ga7t+1+,，求数列｛〃”｝的通项公式.

解：由an+2=/+1+孤可得,

1,、

。〃+2-。〃+1=—&（〃〃+1-。〃），

所以数列｛〃”+1—4“｝是首项为1,公比为一1的等比数列.

当〃22时，Cl2-a\=\,43-42=-*

44—43=：,…,。〃―。〃-1=（一1）,

将上面的式子相加可得即-1=1+（-3+3+…+（-9n从而可求得an=2

+（/）+*+（一旷］

故有a”=Z+2x（-，n,〃22.

44\3/

又m=l满足上式，所以a〃=Z+-x

构造法4倒数为特殊数列（形如痴=上”型）

ran-i+s

「典例引领」

例初，已知数列｛而｝中，0=1,4〃+1=生，求数列的通项公式.

解：因为a〃+i=三七，ai=l,

an+2

所以4#0,所以二-=工+=,即二一一上="

Qn+10n2Qn+10n2

又山=1,则2=1,所以廿｝是以1为首项，泸公差的等差数列，

所以2-=工+（〃_1）义工=2+工，

Qfia1222

所以a尸急〃£N,).

、一题N解•深化综合提“素养”/

「试题呈现」

己矢口等比数歹|」｛。”｝的前〃项和为S〃.若Sio=2O,520=60,贝I」S3O=

［四字程序1

读想算思

1.求和公式.

等比数列的基本

求5302.如何确定首项转化与化归

运算

与公立

1.列方程组求基

等比数列，1.求和公式.

1.基本量法.本量.

Sio=2O,2.通项公式.

2.性质法2.利用性质直接

520=603.和的性质

求解

「一题多解」

法

思路参考：用s,夕表示Sio,So,求

140解析:设数列｛〃“｝的公比为q.因为S#2Sio,所以#1.

又Sio=2O,$20=60,

21M=20,

所以

11-q

两式相除得/0=2,

所以S3O=SIO+/°S2O=2O+2X6O=14O.

法I2;

S2nl-q2n

思路参考：利用性质

140解析：由So=2O,520=60,易得公比小M.

根据等比数列前〃项和的性质，可得等=上绦，即黑=匕喘=1+严，解得严=

□io1-201—

2.

又如毒，所以圻三=7,530=140.

法

思路参考：利用性质S〃+M=S〃+/5”.

140解析：根据等比数列前〃项和的性质，可得S2O=Sio+/°So,即60=20+

2(0°,解得/°=2,

所以S3O=SIO+/°S2O=2O+2X6O=14O.

解)去

思路参考：利用性质S〃，S2〃一S〃，S3“一S2“成等比数列.

140解析：根据等比数先前〃项和的性质，可知Sio,Szo-Sio,S30—S20成等比

数列，

则(S20—S10)2=SiO(S3O_520),

即(60—20)2=20(53。-60),解得530=140.

「思维升华」

1.本题考查等比数列的求和问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助等比数

列的基本量计算，或转化为等比数列和的性质求解，对于此类问题要注意认真计

算或转化.

2.基于课程标准，解答本题一般需要具备良好的运算求解能力、推理能力和转

化能力.本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，试题的解答过程展

现了数学方法多样化的魅力.

3.基于高考数学评价体系，本题条件明确简单，通过知识之间的联系和转化，

将数列求和转化为熟悉的数学模型.本题可以从不同的角度解答，体现了基础性;

同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性.

「类题试练」

等比数列｛〃”｝中，S”表示数列｛。〃)的前.〃项和，43=252+1，〃4=2S3+1,则公比

q为.

3解析：由43=252十I,04=253+1,

得44—43=2(53—Si)=2(13,

所以出=3。3,所以q=%=3.

课时质量评价（四十一）

A组全考点巩固练

1.（2022•深圳模拟）设等比数列他”｝首项为⑶，公比为夕，则“口<0,且0<q<1"

是“对于任意N*都有的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

A解析：若防<0,且0<g<l,则a”+i—同〃一。1夕"=。4*（4一1）>0,

所以a”+i>a”，反之，若则。〃+1—。〃=。同"一a"*1）>0,

所以«i<0,且0<</<1或«|>0,且q>\,

所以“svO,且（）<^<1”是“对于任意N\都有z+]>aJ的充分不必要条件.故

选A.

2.（2022•济宁模拟）已知数列｛m｝是各项均为正数的等比数列，S〃是它的前〃项

和.若。2。6=4,且。4+2动=£则S5=（）

A.29B.3（）

C.31D.32

C解析：因为。2。6=欣=4,且4">0,所以44=2.又tu+2a7=g,所以47=（.设

｛。〃｝的公比为小则母=炉=,q=3,所以a〃=a4（m=25-”，所以55=16+8+

4+2+1=31.故选C.

3.（2022•日照一模）河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文

化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一

石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个

“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”

的数量构成一个数列｛〃“｝，则lOg2（43・⑸的值为（）

A.16B.12

C.10D.8

B解析：现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍,

总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像'’构成一幅优美的图案，从敲下层往

上“浮雕像”的数量构成一个数列｛如｝,则优〃｝是以2为公比的等比数列，

所以S7=也空3=1016,127山=1016,

1—2

解得。1=8,所以log2(G•«5)=log2(8x22X8X24)=12.

4.已知数列｛。〃｝是等比数列，S”为前〃项和.若4|+々2+。3=4,44+。5+。6=8,

则&2等于()

A.40B.60

C.32D.50

C解析：因为数列｛4〃｝是各项均为正数的等比数列，所以a142a3,a4a546,,

00411412,…也成等比数歹［.不妨令罚=414243,b2=(14(15(16,

则公比q="=U=3.所以麻=4X3"Z.

bl4

令历”=324,即4*3"=324,

解得〃?=5,所以〃5=324,即m384m5=324.所以〃=14.故选C.

5.已知等比数列｛小｝的前〃项和为S〃=a-2"+；,则。的值为()

6

A..1-1Bn.-1

33

C.--D.-

22

A解析：当〃22时，a〃=S〃-S〃-i=。・2"一。・2"2=〃・24，当〃=1时，a\

=Si=a+±又因为｛小｝是等比数列，所以所以a=一乙故选A.

6623

6.记S”为等比数列｛〃”｝的前〃项和，若数歹U｛S〃-2m｝也为等比数列，则%=()

a3

A.-B.1

2

C.ID.2

A解析：设等比数列｛a〃｝的公比为q,当q=1时，S"-2ai=〃ai—2ai=(〃-2)m,

显然⑸一20｝不为等比数列.当#1时，£-2al=岑芦一2防=一言/+言

—2ai,欲符合题意，需四2ai=0,得故幺=q=：.故选A.

1-(?22

7.已知｛而｝是各项均为正数的等比数列，S”为其前〃项和.若m=6,S+2G=

6,则公比夕=,S4=.

—解析：由ai=6,及+2〃3=6,可得4同+2〃同2=61+12/=6,即2片+

24

1.6x[1-(l)*l45

q—1=0,解得或4=—1(舍去).所以S4=―i=—.

8.已知正项等比数列｛m｝的前〃项和5〃满足S2+4S4=S6,41=1.

(1)求数列｛m｝的公比4；

⑵令b,尸杀一15,求7=|历|+|岳|+…+向0|的值.

解：(1)由S2+4S4=S6,可得#1,

1-q1-q1-q，

所以(1一片)+4(1—/)=1一46,而存1,q>0,

所以l+4(l+4)=l+q2+g4,即44-37-4=0,

所以(『-4)(。+1)=0,所以g=2.

(2)由(1)知。〃=2",则的前〃项和当=二=2〃-1,当〃25时，儿=2"一

15>0,〃W4时，儿=2〃/一15V0,

所以T=—S1+岳+加+历)+(儿+尻H---FZ?io)

=­(01+02+03+44-15X4)+(a5+a6T---F«io-15X6)

=-54+5IO-54+6O-9O

=SIO-2S4-3O=(2,O-1)-2(24-1)-30

=2l0-25-29=l024-32-29=963.

9.已知S〃是数列｛m｝的前〃项和，且满足*一2〃”二〃-4.

(1)证明：｛S〃一〃+2｝为等比数列；

(2)求数列｛*｝的前〃项利Tn.

(1)证明:由题意知S〃一2(S〃-S〃一一4(〃22),

即S”=2S”一1一〃+4,

所以S”一〃+2=2[S〃一।一(/;—1)+2].

又易知n=3,所以&-1+2=4,

所以｛S〃一〃+2｝是首项为4,公比为2的等比数列.

⑵解：由(1)知S-"+2=2"+i,

所以S”=2"i+〃一2,

于是7；=(22+23+…+2向)+(1+2+…+〃)一2〃=个手+—2〃=

2n+3+*3n-8

2•

B组新高考培优练

10.设等比数列｛m｝的公匕为q>0,且“Wl,S”为数列｛〃“｝的前〃项和，记7；=

森则（）

A.OWKB.T3<76

C.T^nD.73>?6

T_T—_a3(l-q)_q"l-q)_q2Q_q)__q2(i_q)

D解析:63a1(l-q6)ai(l-q3)1-q61-q31-q6由于q>0且

（用,所以1一夕与1一小同号，所以及一73<0,所以KV7U攵选D.

11.《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自

半，莞生日自倍.意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后

蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍.”请问当莞长高到长度是

蒲的5倍时，需要经过的天数是（结果精确到0.1.参考数据：lg2»0.30,1g

3Q0.48）（）

A.2.9天B.3.9天

C.4.9天D.5.9天

C解析：设蒲的长度构成等比数列｛〃〃｝,其首项0=3,公比为也其前〃项和

为4〃.莞的长度构成等比数列｛〃〃｝,其首项方=1,公比为2,其前〃项和为8”,

则4=枣利，&=芍二，由题意可得5X企也=芍二，解得2〃=30或2"=1（舍

1—2—11—2—1

去）.所以〃=厩230=臀=瞥4.9.

°ig2lg20.3

12.（多选题）（2021•济南二模）已知数列优〃｝中，0=1,〃”・3+1=2〃，则

下列说法正确的是（）

A.44=4

B.{/〃}是等比数列

C.。2〃-42"一1=2"”

D.。2〃-1+。2”=2"+|

n

ABC解析：因为。1=1,an•«w+i=2,

所以〃2=2,43=2,6/4=4.

由On*5+1=2〃可得an+l•4”+2=2"M,

所以皿=2,

所以｛g｝,｛显1｝分别是以2,1为首项，公比为2的等比数列,

所以G〃=2・2〃/=2〃,。2〃一1=1・2”“=2",

所以。2〃一。2〃一1=2",。2〃-1+。2〃=3・2"H2〃M,

综上可知，ABC正确，D错误.故选ABC.

13.若数歹。”｝是等比数列，且。1=1,s=2,“3=5,贝I」小=.

3nJ解析：因为42—。=1,43—42=3,所以9=3,

所以4"+l一如=3"",所以Un~a\=U2-Cl\-\-U3,—U2~\-----F〃〃-1-4“-2十"〃一4"-1=1

+3+…+3"-2=T二

1-3

因为41=1,

所以〃产宁.

14.记等比数列｛m｝的前〃项积为O(〃£N"),已知mi・碗一一2。〃=0,且乃,“

-i=128,则m=

4解析：因为am-\am+\—2am=0,

由等比数列的性质可得，鼎-2a〃=0.

因为。#0,所以(lm=2.

,9,,2l1lml

则Tim-\=a\•a2^a2m-i