2025年山东省济南市天桥区九年级中考数学二模考试试题（含答案）

年九年级学业水平考试模拟测试数学试题注意事项本试题共8页，满分为150分，考试时间为120分钟。答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上。答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答。答案写在试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.2025的相反数是（）A.2025B.-2025C.12025D.﹣2.太阳与地球的平均距离大约是15000000千米，15000000用科学记数法表示为（）A.1.5×107B.1.5×108C.15×107D.15×1063.如图，该三棱柱的俯视图是（）4.芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术。下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）5.已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A.1m>0B.∣−n∣<0C.mn<06.已知关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（）A.-2B.1C.2D.37.如图，已知直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90∘，若∠1+∠B=60∘，则∠2的度数为（）A.50∘B.40∘C.30∘D.20∘8.一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H，O，C，N的小球（除元素符号外无其他差别），从袋子中随机摸出两个小球，则所选小球含“C”的概率是（）A.16B.13C.149.如图，在正方形ABCD中，点E是AC上一点，连接ED，过点C作ED的垂线交对角线BD于点M，垂足为F，若CE=CD=2，则DM的长为（）A.1B.22−2C.2−2D.210.新定义：若函数图象恒过点(m,n)，我们称(m,n)为该函数的“永恒点”。如：一次函数y=k(x−1)(k≠0)，无论k值如何变化，该函数图象恒过点(1,0)，则点(1,0)称为这个函数的“永恒点”。点P和点B分别为抛物线y=−mx2−2mx+3m(m>0)的顶点和x轴正半轴上的“永恒点”，设点B到直线y=mx+3m(m>0)的距离为d1，设点P到直线y=mx+3m(m>0)的距离为d2，则d1d2A.1B.2C.3D.2第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）11.客厅地面上铺了18块地砖，有12块是白色的，其余都是黑色的，小猫停留在任何一块地砖上的机会都相等，小猫停留在黑色地砖上的概率等于____。12.代数式3x+2与代数式213.小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），示意图如图所示，则形成的∠1的度数是____。14.如图，射线OA与函数y=kx(k>0,x>0)图象相交于点A(1,3)，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与OA，OB相交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部相交于点P，作射线OP，交函数y=15.如图，在菱形纸片ABCD中，BC=43+4，∠B=60∘，将菱形纸片翻折，使点B落在CD边上的点P处，折痕为MN，点M，N分别在BC，AB上，若PN⊥AB，则折痕MN的长为____。三、解答题（本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明、证明或演算步骤。）16.（本小题满分7分）计算：9−(π−3.14)0+(14)−1+∣317.（本小题满分7分）解不等式组2（18.（本小题满分7分）如图，在□ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，EF，BD相交于点O，求证：OE=OF。19.（本小题满分8分）某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点A与点B所在的直线与CD平行），层高AD为8m，坡角∠ACD=20∘，为使得顾客乘坐自动扶梯时不碰头，A，B之间必须达到一定的距离。（1）要使身高1.8m的小明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A，B之间的距离要大于多少米？（精确到0.1m）（2）商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：AE段（上坡段自动扶梯）、EF段（水平平台，即EF∥DC）、FC段（上坡楼梯），如图中虚线所示。AE段和FC段的坡度（垂直距离与水平距离之比）相同，为保障安全其坡度i不能超过1:2，商场希望尽可能延长平台EF的长度，以方便顾客休息。在其他条件不变的情况下，请探究平台EF的最大长度。（精确到0.1m）（参考数据：sin20∘≈0.34，cos20∘≈0.94，tan20∘≈0.36）20.（本小题满分8分）如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90∘，BD平分∠ABC，CD与⊙O相切于点D，以AD为直径作⊙O交AB于点E，交BD于点H。（1）求证：AB=AD；（2）若tan∠BDC=12，DH=521.（本小题满分9分）每年4月15日是全民国家安全教育日。某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取40名学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对成绩进行了整理和分析，下面给出了部分信息：【收集数据】甲校成绩在70≤x<80这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78。【整理数据】甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：【分析数据】甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 根据以上信息，回答下列问题：（1）a=；b=；c=；（2）m=____；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在70≤x<80这一组的扇形的圆心角是____度；本次测试成绩更整齐的是____校（填“甲”或“乙”）； （3）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是____校的学生（填“甲”或“乙”）； （4）甲校有600名学生都参加此次测试，如果成绩不低于75分可以参加第二轮比赛，请你估计甲校能参加第二轮比赛的人数。 22.（本小题满分10分） 为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书。所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样。经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元。 （1）求每本文学名著和人物传记各多少元？ （2）根据学校图书馆的采购计划，拟用1500元预算购买文学名著和人物传记各40本，请通过计算判断此次采购总费用是否在预算内？若经费不足，还需追加多少资金？ （3）图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 23.（本小题满分10分）知，一次函数y=2x+4的图象交反比例函数y=mx（1）求反比例函数的解析式；（2）如图1，点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数y=2x+4图象于点N，连接BM，若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求△BMN的面积；（3）如图2，一次函数y=2x+4交y轴于点F，将一次函数绕C顺时针旋转45∘交反比例函数y=mx24.（本小题满分12分）某城市计划在滨河步道AB上方搭建一座抛物线型观景台。根据以下素材探索完成任务。【素材1】如图1，步道AB的宽为20m，观景台拱顶最高处距离地面为8m。【素材2】如图2，为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，要求两个支撑柱关于桥拱对称轴对称。支撑柱CD=EF=4m。【素材3】如图3，在两个支撑柱上搭一个限高横杆CE，为提升景观效果，现要在横杆CE上方设置一个矩形宜传牌，要求宜传牌满足以下条件：①宜传牌在观景台内部，且一边落在CE上；②矩形长、宽均为整数；③宜传牌关于观景台的对称轴对称；④矩形面积为20m2。（1）以步道AB的中点为原点，求出抛物线的解析式；求两个支撑柱之间的距离（不考虑柱体厚度）；设计宜传牌方案：给出符合要求的宜传牌尺寸，并说明理由。25.（本小题满分12分）“联想”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关“联想”就有很多…… 【问题提出】 （1）如图1，PC是△PAB的角平分线，求证：PAPB=ACBC。 请写出完整的证明过程，以下解决问题思路仅供参考。 思路1：联想“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥PA，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”。 思路2：联想“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥PA交PA于点D，作CE⊥PB交PB于点E，利用“等面积法”。【理解应用】（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，求BD的长。【深度思考】（3）如图3，△ABC中，AB=6，AC=4，AD为∠BAC的角平分线。AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，连接AF，当BD=3时，求AF的长。【拓展升华】（4）如图4，AD是△ABC的角平分线，若BC=4，BD=2CD，请直接写出△ABC的面积最大值。答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.2025的相反数是（B）A.2025B.-2025C.12025D.﹣2.太阳与地球的平均距离大约是15000000千米，15000000用科学记数法表示为（B）A.1.5×107B.1.5×108C.15×107D.15×1063.如图，该三棱柱的俯视图是（A）4.芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术。下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（D）5.已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（C）A.1m>0B.∣−n∣<0C.mn<06.已知关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（A）A.-2B.1C.2D.37.如图，已知直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90∘，若∠1+∠B=60∘，则∠2的度数为（C）A.50∘B.40∘C.30∘D.20∘8.一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H，O，C，N的小球（除元素符号外无其他差别），从袋子中随机摸出两个小球，则所选小球含“C”的概率是（D）A.16B.13C.149.如图，在正方形ABCD中，点E是AC上一点，连接ED，过点C作ED的垂线交对角线BD于点M，垂足为F，若CE=CD=2，则DM的长为（B）A.1B.22−2C.2−2D.210.新定义：若函数图象恒过点(m,n)，我们称(m,n)为该函数的“永恒点”。如：一次函数y=k(x−1)(k≠0)，无论k值如何变化，该函数图象恒过点(1,0)，则点(1,0)称为这个函数的“永恒点”。点P和点B分别为抛物线y=−mx2−2mx+3m(m>0)的顶点和x轴正半轴上的“永恒点”，设点B到直线y=mx+3m(m>0)的距离为d1，设点P到直线y=mx+3m(m>0)的距离为d2，则d1d2A.1B.2C.3D.2第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）11.客厅地面上铺了18块地砖，有12块是白色的，其余都是黑色的，小猫停留在任何一块地砖上的机会都相等，小猫停留在黑色地砖上的概率等于__1312.代数式3x+2与代数式2x﹣13.小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），示意图如图所示，则形成的∠1的度数是__132°__。14.如图，射线OA与函数y=kx(k>0,x>0)图象相交于点A(1,3)，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与OA，OB相交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部相交于点P，作射线OP，交函数y=kx15.如图，在菱形纸片ABCD中，BC=43+4，∠B=60∘，将菱形纸片翻折，使点B落在CD边上的点P处，折痕为MN，点M，N分别在BC，AB上，若PN⊥AB，则折痕MN的长为__62__。三、解答题（本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明、证明或演算步骤。）16.（本小题满分7分）计算：9−(π−3.14)0+(14)−1+∣3=3﹣1+4+3﹣3=617.（本小题满分7分）解不等式组2（解不等式①，得：x＞﹣1解不等式②，得：x≤2原不等式组的解集是﹣1＜x≤2该不等式组的所有整数解是0，1，2．18.（本小题满分7分）如图，在□ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，EF，BD相交于点O，求证：OE=OF。证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC∴∠ODE=∠OBF∵AE=CF∴AD﹣AE=BC﹣CF，即DE=BF又∠DOE=∠BOF，∠ODE=∠OBF∴△DOE≌△BOF(AAS)∴OE=OF19.（本小题满分8分）某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点A与点B所在的直线与CD平行），层高AD为8m，坡角∠ACD=20∘，为使得顾客乘坐自动扶梯时不碰头，A，B之间必须达到一定的距离。（1）要使身高1.8m的小明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A，B之间的距离要大于多少米？（精确到0.1m）（2）商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：AE段（上坡段自动扶梯）、EF段（水平平台，即EF∥DC）、FC段（上坡楼梯），如图中虚线所示。AE段和FC段的坡度（垂直距离与水平距离之比）相同，为保障安全其坡度i不能超过1:2，商场希望尽可能延长平台EF的长度，以方便顾客休息。在其他条件不变的情况下，请探究平台EF的最大长度。（精确到0.1m）（参考数据：sin20∘≈0.34，cos20∘≈0.94，tan20∘≈0.36）解：（1）如图1，连接AB，过点B作BM⊥AB交AC于点M∵AB∥CD∴∠BAM=∠ACD=20°∵tan∠BAM=BM∴AB=1.8÷0.36≈5.0（米）答：AB之间的距离要大于5.0米；（2）延长FE交AD于点H，过点C作CG⊥EF，交EF的延长线于点G设AH=x米，则HD=CG=x∵要使EF的最长，AE段和FC段的坡度i1:2∴HE=2x米，FG=2(8﹣x)米在RtACD中，∠ACD=20°则CD=8÷0.36≈22.22∵四边形HDCG为矩形∴HG=CD=22.22则EF=CD﹣EH﹣FG=22.22﹣2x﹣（16﹣2x）≈6.2（米)答：平台EF的最大长度约为6.2米．20.（本小题满分8分）如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90∘，BD平分∠ABC，CD与⊙O相切于点D，以AD为直径作⊙O交AB于点E，交BD于点H。（1）求证：AB=AD；（2）若tan∠BDC=12，DH=5（1）证明：∵BD平分∠ABC∴∠CBD=∠DBE∵CD为⊙O的切线∴AD⊥CD，∠ADC=90∴∠ADB+∠BDC90又Rt△BCD中，∠DBC+∠CDB=90∴∠ADB∠ABD∴AB=AD．（2）解：连接AH，∵AD为直径，∴∠AHD=90∵∠C=∠ADC=90∴∠ADH+∠CDB=∠ADH+∠DAH=90∴∠DAH=∠CDB∵tan∠BDC=1∴tan∠DAH=DHAH=∵DH=5∴AH=25∴AD=5∴⊙O的半径为521.（本小题满分9分）每年4月15日是全民国家安全教育日。某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取40名学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对成绩进行了整理和分析，下面给出了部分信息：【收集数据】甲校成绩在70≤x<80这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78。【整理数据】甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：【分析数据】甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 根据以上信息，回答下列问题：（1）a=；b=；c=；（2）m=____；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在70≤x<80这一组的扇形的圆心角是____度；本次测试成绩更整齐的是____校（填“甲”或“乙”）； （3）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是____校的学生（填“甲”或“乙”）； （4）甲校有600名学生都参加此次测试，如果成绩不低于75分可以参加第二轮比赛，请你估计甲校能参加第二轮比赛的人数。 解：（1）13；2；15；（2）72.5；135；乙．（3）甲．（4）估计甲校能参加第二轮比赛的人有：600×1640=222.（本小题满分10分） 为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书。所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样。经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元。 （1）求每本文学名著和人物传记各多少元？ （2）根据学校图书馆的采购计划，拟用1500元预算购买文学名著和人物传记各40本，请通过计算判断此次采购总费用是否在预算内？若经费不足，还需追加多少资金？ （3）图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 解：（1）设每本文学名著x元，每本人物传记y元，根据题意得：30x+20y=解得：x答：每本文学名著25元，每本人物传记20元；文学名著和人物传记各40本费用：25×40+2×40=1800元∵1500＜1800∴总费用不在预算，还需追加资金300元。（3）设人物传记买m本，则文学名著买(m+20)本根据题意得：25(m+20)+20m≤2000解得：m≤100又m为正整数，∴m的最大值为33．答：人物传记至多买33本23.（本小题满分10分）知，一次函数y=2x+4的图象交反比例函数y=mx（1）求反比例函数的解析式；（2）如图1，点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数y=2x+4图象于点N，连接BM，若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求△BMN的面积；（3）如图2，一次函数y=2x+4交y轴于点F，将一次函数绕C顺时针旋转45∘交反比例函数y=mx解：（1）当x=1时，y=2x+4，则点B(1,6)将点B的坐标代入反比例函数表达式得：k=1×6=6即反比例函数表达式为：y=6（2）设点N的坐标为(t,2t+4)，则点M(t,6t若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，则点B在MN的中垂线上，则12(2t+4+6解得：t=1（舍去）或t=3则点M，N的坐标分别为：(3,10)，(3,2)则面积为（10﹣2）×（3﹣1）÷2=8（3）（19﹣1，19+24.（本小题满分12分）某城市计划在滨河步道AB上方搭建一座抛物线型观景台。根据以下素材探索完成任务。【素材1】如图1，步道AB的宽为20m，观景台拱顶最高处距离地面为8m。【素材2】如图2，为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，