2025年春鲁教版数学九年级下册课件 5.3 垂径定理

第五章

圆5.3垂径定理赵州桥情境导入5.3垂径定理情境导入赵州桥是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．情境导入新课探究课堂小结单击此处添加标题文本内容情境导入新课探究课堂小结

问题：它的主桥是圆弧形,它的跨度

(弧所对的弦的长AB)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)7.2m，

问题情境:你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？AB37.47.2新课探究如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB于M．(1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？探究一：O·CDABM5.3垂径定理是.对称轴是任意一条直径.（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说理由.AM＝BM，⌒AC＝⌒BC,⌒AD＝⌒BD,[验证篇]已知：如图5-18，在⊙O中，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M.求证：AM＝BM，=O·CDABM图5-18⌒AC⌒BC,⌒AD=⌒BD,验证发现新课探究情境导入课堂小结证明：连接OA，OB，则OA＝OB.如何验证呢？相互交流一下吧！单击此处添加标题文本内容新课探究情境导入课堂小结归纳总结垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.OEDCBA怎样用几何语言表达?

∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB⌒⌒⌒⌒.∴AE＝BE，AD=BD，AC=BCABC

O(3)ABCD

O(2)ABCD

O(1)EABCD

O(4)E以下图形是否具备垂径定理条件？1.过圆心（直径）2.垂直于弦

辨一辨：√√新课探究情境导入课堂小结AB是⊙O的一条弦(不是直径）,且AM=BM.过点M作直径CD.2.你能发现图中有哪些相等的弧?CD与AB垂直吗？说说理由.●OCD●ABM合作探究1.这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？议一议3.“不是直径”这个条件能去掉吗？

如果不能，请举出反例.

·特别说明：圆的任意两条直径都互相平分.合作要求：（

计时3分钟

）1.先独立思考

2.根据问题记录结论3.推荐一名代表发言●O新课探究情境导入课堂小结知识概括垂径定理推论：平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.∵CD是直径AM=BM条件●OABCD结论⌒⌒AD=BD⌒⌒AC=BC∴CD⊥AB.（不是直径）M新课探究情境导入课堂小结例1.如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.●OCDEF┗建模思想典例示范半径半弦弦心距连半径

用勾股方程思想新课探究情境导入课堂小结

（1）求弦a、半径r、弦心距d、拱高h的计算问题，

可用垂径定理＋勾股定理来解决.d+h=rABCDhrd方法归纳（2）重要的辅助线：（半径半弦弦心距）

作垂直，用垂径；连半径，用勾股.新课探究情境导入课堂小结BODACR解决求赵州桥拱半径的问题答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.解得R≈27．9（m）在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2OA2=AD2+OD27.2

情境再现∵CD=7.2

∴OD=OC－CD=R－7.2解：

设主桥拱的半径为Rm,由题意，得37.4新课探究情境导入课堂小结课堂小结知识方面垂径定理情感方面3.辅助线：作垂直，用垂径；

连半径，用勾股.1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.垂径定理推论：平分弦（不是直